2025年高考数学模拟试卷（新高考题型专项练习题库）

2025年高考数学模拟试卷（新高考题型专项练习题库）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|x-1>0}，则集合A∩B等于（）A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(-∞,1)2.函数f(x)=log_a(x+1)在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(0,1)∪(1,+∞)3.若复数z满足|z|=1且z^2≠-1，则z的实部可能是（）A.-1/2B.1/2C.-√2/2D.√2/24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，c=1，则角B等于（）A.30°B.45°C.60°D.120°5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=S_n+1（n≥1），则a_5等于（）A.16B.31C.48D.636.某校高三年级有500名学生，为了解学生的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，发现其中有20名学生的视力不良。根据样本估计总体，该校高三年级视力不良的学生人数约为（）A.100人B.150人C.200人D.250人7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像经过点(π/4,1)，且周期为π，则φ等于（）A.0B.π/4C.π/2D.3π/48.在直角坐标系中，点P(x,y)到点A(1,0)和点B(0,1)的距离之和等于1，则点P的轨迹方程是（）A.x^2+y^2=1B.x+y=1C.(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2D.x^2+y^2=29.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值是（）A.0B.1C.2D.310.在等差数列{a_n}中，a_1=2，a_4+a_7=17，则a_10等于（）A.9B.10C.11D.12二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）11.已知函数f(x)=x^2+px+q，若f(1)=0且f(x)在x=2时取得极值，则p+q等于_________。12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=√7，c=2，则cosB等于_________。13.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=S_n+1（n≥1），则数列{a_n}的通项公式a_n等于_________。14.在直角坐标系中，点P(x,y)到点A(1,0)和点B(0,1)的距离之和等于2，则点P的轨迹面积等于_________。15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像经过点(π/4,1)，且周期为π，则函数f(x)在区间[0,π]上的零点个数为_________。三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分15分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1。（1）求函数f(x)的极值点；（2）若关于x的方程f(x)=k有且仅有两个不同的实数根，求实数k的取值范围。17.（本小题满分15分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2√3，b=4，cosB=1/2。（1）求边c的长度；（2）求sinA的值。18.（本小题满分15分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n+1=2S_n（n≥1）。（1）求证：数列{a_n}是等比数列；（2）若数列{a_n}的前n项和为T_n，且T_n=63，求n的值。19.（本小题满分15分）在直角坐标系中，椭圆C的方程为x^2/9+y^2/4=1，过点P(2,0)的直线l与椭圆C交于A、B两点。（1）求直线l的斜率k的取值范围；（2）若△PAB的面积为2√3，求直线l的方程。20.（本小题满分15分）为了解某城市居民的健身情况，随机抽取了1000名居民进行调查，调查结果如下表所示：喜欢健身的居民数性别的分布情况男女合计喜欢健身450350800不喜欢健身250150400合计7005001200根据样本估计总体，回答下列问题：（1）求该城市居民中喜欢健身的男性居民所占的比例；（2）若在该城市随机抽取一名居民，求该居民是女性且喜欢健身的概率；（3）若在该城市随机抽取两名居民，求这两名居民都是喜欢健身的男性的概率。四、选考题（本大题共10分。请考生根据要求作答。）21.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=t^2-1，y=2t（t为参数），直线l的方程为y=4x+3。（1）求曲线C与直线l的交点坐标；（2）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程。22.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|。（1）求函数f(x)的最小值；（2）解不等式f(x)<5。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.C解析：集合A={x|x^2-3x+2>0}，解不等式得x<1或x>2，即A=(-∞,1)∪(2,+∞)。集合B={x|x-1>0}，即B=(1,+∞)。则A∩B=(2,+∞)。故选C。2.A解析：函数f(x)=log_a(x+1)在(0,1)上单调递减，则0<a<1。故选A。3.B解析：复数z满足|z|=1，则z可以表示为z=cosθ+isinθ。z^2=cos2θ+isin2θ≠-1，即cos2θ≠-1，2θ≠π+2kπ，θ≠π/2+kπ。又|z|=1，z的实部为cosθ，故cosθ=1/2，θ=π/3+k2π或θ=5π/3+k2π。z的实部为1/2。故选B。4.C解析：在△ABC中，由余弦定理得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(2^2+1^2-√3^2)/(2×2×1)=1/2，故B=60°。故选C。5.D解析：由a_n+1=S_n+1得a_n=S_n+1-S_n=a_n+1，即a_n+1=-1。又a_1=1，故a_2=a_1+1=-1，a_3=a_2+1=-2，a_4=a_3+1=-3，a_5=a_4+1=-4。故a_5=63。故选D。6.C解析：样本中视力不良的学生比例为20/100=1/5。该校高三年级视力不良的学生人数约为500×1/5=100人。故选C。7.A解析：函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π，故ω=2。又图像经过点(π/4,1)，故sin(2×π/4+φ)=1，即π/2+φ=2kπ+π/2，φ=2kπ，|φ|<π/2，故φ=0。故选A。8.C解析：点P(x,y)到点A(1,0)和点B(0,1)的距离之和等于1，即√((x-1)^2+y^2)+√(x^2+(y-1)^2)=1。整理得(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2。故选C。9.B解析：函数f(x)=x^3-3x^2+2，求导得f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。又f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故f(x)在区间[-1,3]上的最大值是1。故选B。10.D解析：等差数列{a_n}中，a_1=2，a_4+a_7=17，即2+(4-1)d+2+(7-1)d=17，10d=17-4，d=13/10。故a_10=2+(10-1)×13/10=12。故选D。二、填空题答案及解析11.-3解析：函数f(x)=x^2+px+q，f(1)=0，即1+p+q=0。f'(x)=2x+p，f'(2)=0，即4+p=0，p=-4。故p+q=-4+q=0，q=4。故p+q=-3。12.√3/2解析：在△ABC中，由余弦定理得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3^2+2^2-√7^2)/(2×3×2)=1/2。故cosB=√3/2。13.2^n-1解析：由a_n+1=S_n+1得a_n=S_n+1-S_n=a_n+1，即a_n+1=-1。又a_1=1，故a_2=a_1+1=-1，a_3=a_2+1=-2，a_4=a_3+1=-3，a_5=a_4+1=-4。故a_n=-(n-1)。故a_n=2^n-1。14.2π解析：点P(x,y)到点A(1,0)和点B(0,1)的距离之和等于2，即√((x-1)^2+y^2)+√(x^2+(y-1)^2)=2。整理得(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2。这是以(1/2,1/2)为圆心，√2/2为半径的圆。其面积为π(√2/2)^2=π/2。故点P的轨迹面积等于2π。15.3解析：函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π，故ω=2。又图像经过点(π/4,1)，故sin(2×π/4+φ)=1，即π/2+φ=2kπ+π/2，φ=2kπ，|φ|<π/2，故φ=0。故f(x)=sin2x。在区间[0,π]上，2x=0到2π，sin2x在x=π/4，3π/4，5π/4，7π/4时为零。故零点个数为3。三、解答题答案及解析16.解：（1）函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求导得f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)=0得x=1±√10/3。当x<1-√10/3或x>1+√10/3时，f'(x)>0，函数单调递增；当1-√10/3<x<1+√10/3时，f'(x)<0，函数单调递减。故x=1-√10/3是极大值点，x=1+√10/3是极小值点。（2）函数f(x)在x=1-√10/3取得极大值f(1-√10/3)=4-√10/3，在x=1+√10/3取得极小值f(1+√10/3)=4+√10/3。若关于x的方程f(x)=k有且仅有两个不同的实数根，则k必须在极小值和极大值之间，即4-√10/3<k<4+√10/3。故实数k的取值范围是(4-√10/3,4+√10/3)。17.解：（1）在△ABC中，由余弦定理得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/2，即a^2+c^2-b^2=ac。代入a=2√3，b=4得(2√3)^2+c^2-4^2=2√3c，12+c^2-16=2√3c，c^2-2√3c-4=0。解得c=√3+√15或c=√3-√15。由三角形两边之和大于第三边得c=√3+√15。（2）由正弦定理得a/sinA=b/sinB，即2√3/sinA=4/sinB。又sinB=√3/2，故2√3/sinA=4/(√3/2)，sinA=√3/4。故sinA=√3/4。18.解：（1）由a_n+1=2S_n得a_n=2S_n-2S_(n-1)（n≥2）。又a_1=1，S_1=a_1=1。故a_n=2a_n-2a_(n-1)，即a_n=2a_(n-1)。故数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列。（2）等比数列{a_n}的首项为1，公比为2，故前n项和T_n=2^n-1。若T_n=63，则2^n-1=63，2^n=64，n=6。故n的值为6。19.解：（1）设直线l的方程为y=k(x-2)。代入椭圆方程x^2/9+y^2/4=1得x^2/9+(k(x-2))^2/4=1，即(9+4k^2)x^2-16k^2x+16k^2-36=0。设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，则x_1+x_2=16k^2/(9+4k^2)，x_1x_2=(16k^2-36)/(9+4k^2)。由弦长公式得|AB|=√(1+k^2)√((x_1+x_2)^2-4x_1x_2)=√(1+k^2)√((256k^4)/(9+4k^2)^2-4(16k^2-36)/(9+4k^2))=12√(9+k^2)/(9+4k^2)。点P到直线l的距离d=|2k|/√(1+k^2)。△PAB的面积S=1/2|AB|d=1/2×12√(9+k^2)/(9+4k^2)×|2k|/√(1+k^2)=12|k|√(9)/(9+4k^2)=6|k|/(1+4k^2/9)=6/(1/|k|+4/9)。若△PAB的面积为2√3，则6/(1/|k|+4/9)=2√3，1/|k|+4/9=3√3，1/|k|=3√3-4/9。由k^2>0得1/|k|>0，故3√3-4/9>0，k≠0。解得k=±3√3/4。故直线l的斜率k的取值范围是{-3√3/4,3√3/4}。（2）由（1）知，k=3√3/4时，直线l的方程为y=3√3/4(x-2)。代入椭圆方程x^2/9+y^2/4=1得x^2/9+(3√3/4(x-2))^2/4=1，即x^2/9+27/16(x-2)^2/4=1，即x^2/9+27/64(x^2-4x+4)=1，即64x^2+243x^2-972x+972=64，327x^2-972x+912=0。解得x=4/3或x=12/109。代入直线方程得y=0或y=-√3/11。故A(4/3,0)，B(12/109,-√3/11)。故直线l的方程为y=3√3/4(x-2)。20.解：（1）该城市居民中喜欢健身的男性居民数为450，总男性居民数为700，故喜欢健身的男性居民所占的比例为450/700=9/14。（2）在该城市随机抽取一名居民，该居民是女性且喜欢健身的概率为150/1200=1/8。（3）在该城市随机抽取两名居民，这两名居民都是喜欢健身的男性的概率为(450/1200)×(449/1199)=20275/1438800。四、