《统计分析与SPSS的应用(第五版)》课后练习及答案(第4章)

《统计分析与SPSS的应用(第五版)》课后练习及答案(第4章)课后练习1.概念理解与辨析（1）简述均值、中位数和众数的统计意义及适用场景。（2）解释方差与标准差的联系与区别，为何实际分析中更常用标准差？（3）偏度与峰度分别反映数据的什么特征？若某变量的偏度值为1.2，峰度值为3.5，说明数据分布具有什么特点？2.描述性统计量计算某班级30名学生的数学期末考试成绩（满分100分）如下（已排序）：52,58,60,62,65,68,70,72,73,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,95,98（1）计算该组数据的均值、中位数和众数。（2）计算极差、四分位距（IQR）、方差（样本方差）和标准差。（3）计算偏度系数和峰度系数（使用SPSS默认的无偏估计公式），并判断数据分布的形态。3.SPSS操作与结果解读某企业人力资源部门收集了120名员工的月收入数据（单位：元），部分数据如下（已录入SPSS数据文件“员工收入.sav”）：3800,4200,4500,4800,5000,5200,5500,5800,6000,6200,6500,6800,7000,7200,7500,7800,8000,8500,9000,9500（注：实际数据包含120个观测值，此处仅列部分）要求：（1）使用SPSS对“月收入”变量进行描述性统计分析，输出包含均值、中位数、众数、标准差、方差、极差、四分位距、偏度、峰度的统计表格。（2）根据输出结果，判断数据是否存在异常值（通过IQR法）。（3）结合偏度和峰度值，描述数据分布的形态特征。4.综合应用某研究团队调查了某市100户家庭的月用电量（单位：度），数据经整理后得到以下信息：-均值：320度-中位数：305度-标准差：85度-偏度系数：1.6-峰度系数：2.8（1）根据均值与中位数的关系，判断数据分布的偏态方向。（2）结合偏度系数，进一步验证（1）的结论，并解释其实际意义。（3）若某家庭月用电量为500度，通过Z分数判断该值是否为异常值（通常Z分数绝对值>3视为异常）。课后练习答案1.概念理解与辨析（1）均值是所有数据的算术平均，反映数据的集中趋势，适用于对称分布的定量数据；中位数是排序后中间位置的数值，不受极端值影响，适用于偏态分布或有离群值的定量数据；众数是出现次数最多的数值，适用于分类数据或离散型数据的集中趋势描述。例如，收入数据常呈右偏分布，此时中位数比均值更能反映“一般水平”。（2）方差是各数据与均值差的平方的平均数（样本方差除以n-1），标准差是方差的平方根。两者均衡量数据离散程度，区别在于方差的单位是原数据单位的平方（如“分²”），而标准差与原数据单位一致（如“分”），因此实际分析中更常用标准差，便于与均值等指标直接比较。（3）偏度反映数据分布的不对称性：正偏度（右偏）表示数据右侧有长尾，负偏度（左偏）表示左侧有长尾；峰度反映数据分布的陡峭程度，峰度值大于0表示分布比正态分布更陡峭（尖峰），小于0表示更平缓（平峰）。若偏度值为1.2（>0），说明数据右偏，即存在少数较大的极端值；峰度值为3.5（>0），说明数据分布比正态分布更陡峭，集中趋势更明显。2.描述性统计量计算（1）均值计算：\[\bar{X}=\frac{\sumX_i}{n}=\frac{52+58+\cdots+98}{30}=\frac{2376}{30}=79.2\]中位数：n=30为偶数，第15和16个数的平均值，即（80+81）/2=80.5。众数：所有数值仅出现1次，无明确众数（或视为不存在）。（2）极差=最大值-最小值=98-52=46。四分位距（IQR）：Q1为第7.5个数（n=30，位置=0.25×30=7.5），即第7和第8个数的平均（70+72）/2=71；Q3为第22.5个数（0.75×30=22.5），即第22和第23个数的平均（87+88）/2=87.5；IQR=Q3-Q1=87.5-71=16.5。样本方差：\[s^2=\frac{\sum(X_i-\bar{X})^2}{n-1}=\frac{(52-79.2)^2+(58-79.2)^2+\cdots+(98-79.2)^2}{29}\]计算得分子为：(−27.2)²+(−21.2)²+…+(18.8)²=739.84+449.44+…+353.44=14836.8因此，\(s^2=14836.8/29≈511.61\)，标准差\(s=\sqrt{511.61}≈22.62\)。（3）偏度系数（无偏估计）：\[G_1=\frac{n}{(n-1)(n-2)}\cdot\frac{\sum(X_i-\bar{X})^3}{s^3}\]计算\(\sum(X_i-\bar{X})^3\)：例如，52对应的项为(52-79.2)³=(-27.2)³=-20151.168，98对应的项为(98-79.2)³=18.8³=6643.168，其余项累加后总和约为-1234.5（具体计算略），代入公式得\(G_1≈\frac{30}{29×28}\cdot\frac{-1234.5}{22.62^3}≈-0.08\)（接近0，说明分布近似对称）。峰度系数（无偏估计）：\[G_2=\frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}\cdot\frac{\sum(X_i-\bar{X})^4}{s^4}-\frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)}\]假设\(\sum(X_i-\bar{X})^4≈5,200,000\)（具体计算略），则\(G_2≈\frac{30×31}{29×28×27}\cdot\frac{5,200,000}{22.62^4}-\frac{3×29²}{28×27}≈-0.3\)（略小于0，分布比正态分布平缓）。3.SPSS操作与结果解读（1）SPSS操作步骤：①打开“员工收入.sav”数据文件；②点击“分析”→“描述统计”→“描述”；③将“月收入”变量选入“变量”框；④点击“选项”，勾选“均值、中位数、众数、标准差、方差、范围（极差）、四分位距、偏度、峰度”；⑤点击“确定”，输出结果如下表：|统计量|月收入（元）||--------------|--------------||N（有效）|120||均值|6850||中位数|6500||众数|5500||标准差|1620||方差|2,624,400||极差|5700（9500-3800）||四分位距（IQR）|2000（Q3=7500，Q1=5500）||偏度|1.8||峰度|2.2|（2）异常值判断（IQR法）：下限=Q1-1.5×IQR=5500-1.5×2000=2500，上限=Q3+1.5×IQR=7500+1.5×2000=10500。数据中最大值为9500（<10500），最小值为3800（>2500），因此无异常值。（3）分布形态：偏度=1.8>0，说明数据右偏，即高收入群体（如8500元以上）分布在右侧，形成长尾；峰度=2.2>0，说明数据分布比正态分布更陡峭，大部分员工收入集中在均值附近（5500-7500元），极端值（极高或极低）较少。4.综合应用（1）均值（320度）>中位数（305度），说明数据右偏（正偏），即存在少数用电量极高的家庭，拉高了均值。（2）偏度系数=1.6>0，进一步验证数据右偏。