2025年新九年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题10 y＝a (x－h)2与y＝a (x－h)2＋k 的图象和性质 (12大类型精准练) (学生版)

专题10y＝a(x－h)²与y＝a(x－h)²＋k的图象和性质

（12大类型精准练+过关检测）

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：X大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：二次函数ya(xh)2(a0)的图象和性质

温馨提示：二次函数的对称性及最值问题

对于二次函数y=a(x-h)²(a≠0)图象上的点，当图象开口何上，到对你抽的距离越大，到对应的函数值

就越大；当图象开口何下，点到对你抽的距离越大，则对应的函数值就越；若两点到对你轴的距离相等，

则对应的函数值相等，观察图象可得以上规律

【课前热身】

2

1．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）抛物线yx2的顶点坐标为（）

A．1,2B．2,1C．2,0D．2,0

1

2

2．（24-25九年级上·全国·假期作业）对于二次函数y9x1，下列结论正确的是（）

A．y随x的增大而增大B．当x0时，y随x的增大而增大

C．当x1时，y随x的增大而增大D．当x1时，y随x的增大而增大

3．（2022九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．

1

(1)y(x1)2(2)y2x27(3)y2(x3)26

4

4．（24-25九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开

口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性．

(1)yx2；

(2)y(x2)2；

(3)y(x1)2．

知识点2：二次函数ya(xh)2k(a0)的图象和性质

2

【课前热身】

2

1．（2025·山东潍坊·三模）关于抛物线yx21，下列说法中错误的是（）

A．开口方向向上B．对称轴是直线x2

C．顶点坐标为2,1D．当x2时，y随x的增大而减小

2

2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数y2x13的最小值是（）

A．1B．1C．2D．3

2

3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数yx24．

(1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；

(2)当x取什么范围时，y随x的增大而增大？

2

4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数yx21．

2

(1)直接写出二次函数yx21的对称轴和顶点坐标；

(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图；

(3)当1x3时，直接写出y的取值范围．

3

知识点3：二次函数的平移

1.平移步骤：

2

⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；

⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

2.平移规律：

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加

下减”．

【课前热身】

1．（2025·四川绵阳·二模）如果将抛物线yx21向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，那

么所得的抛物线的解析式是（）

2

A．yx13B．yx22

2

C．yx21D．yx11

2

2．（2025·广东东莞·模拟预测）将二次函数y2x23的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度，平

移后的二次函数的解析式为（）

22

A．y=-2(x-4)+1B．y2x43

2

C．y2x23D．y2x21

3．（22-23九年级上·四川凉山·阶段练习）已知把二次函数ya(xh)2k的图像先向左平移2个单位长度，

1

再向上平移4个单位长度，得到抛物线y(x1)23．

2

(1)试确定a,h,k的值；

(2)指出二次函数ya(xh)2k图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．

4

【题型1】关于二次函数y＝a(x－h)²的叙述

1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）抛物线y(x3)24的对称轴是（）

A．直线x3B．直线x3C．直线x4D．直线x4

2．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）对于抛物线y3(x1)2和y3x2的图象比较，下列说法不正

确的是（）

A．开口都向下B．对称轴相同C．最大值都是0D．与y轴交点不相同

3．（24-25九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线x1，与y轴交于点A0,3．

(1)求抛物线的解析式．

(2)写出它的顶点坐标和开口方向．

【题型2】二次函数y＝a(x－h)²的图象

2

4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数ya5x1的图象如图所示，则a可能是（）

A．4B．5C．6D．7

12

5．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数yx1的大致图象是（）

2

A．B．C．D．

2

6．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数ymxn和一次函数

ymxnm0,n0的图象大致为（）

A．B．C．D．

【题型3】二次函数y＝a(x－h)²的增减性

5

2

7．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）抛物线y2x1的图像经过点A3,y1，B1,y2，C4,y3，

则y1，y2，y3大小关系是（）

A．y1y2y3B．y1y3y2C．y2y1y3D．y2y3y1

22

8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数y1xm，y2xn，直线x1与函数y1，y2的

图象分别交于点A1,a1，B1,a2，得（）

A．若1mn，则a1a2B．若m1n，则a1a2

C．若mn1，则a1a2D．若m1n，则a1a2

9．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数y3(xh)2，当x1时，y随x的增大而

增大，则h的取值范围是．

【题型4】二次函数y＝a(x－h)²的最值

2

10．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知关于x的二次函数yxh，当2x5时，函数有最大值

1，则h的值为．

11．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数y(xh)2（h为常数），当2x5时，函数

的最大值为1，则h的值为．

2

12．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数yxh（h是常数），且2x3．

(1)当h1时，求函数的最大值；

(2)若函数的最大值为1，求h的值．

【题型5】二次函数y＝a(x－h)²与几何综合问题

112

13．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，直线yx1与抛线y(x4)交于B,C两点（点B在

22

点C的左侧）．

(1)求B,C两点的坐标；

(2)记抛物线的顶点为A，求VABC的面积．

6

2

14．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yxh的

顶点为B2,0，与y轴交于点A，过点A作ACy轴，交该抛物线于点C，连接BC，以AC、BC为边作

ACBD，点D在x轴的负半轴上．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求点D的坐标及ACBD的面积．

2

15．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知二次函数yx2的图象与x轴交于点A，与y

轴交于点B．

(1)写出该抛物线的对称轴并求点A，B的坐标；

(2)求SAOB；

(3)在对称轴上是否存在一点P，使以P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形？

【题型6】二次函数y＝a(x－h)²+k的性质叙述

2

16．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知二次函数y3x23，下列说法正确的是（）

A．对称轴为x2

B．顶点坐标为2,3

C．函数的最大值是3

D．当x2时，y随x的增大而减小

17．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）抛物线y3(x1)25的对称轴为直线．

2

18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）二次函数y2x25的最大值是．

【题型7】二次函数y＝a(x－h)²+k的增减性

2

19．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）已知二次函数yx12的图象上有三点，

A2,y1,B2,y2,C3,y3，则y1,y2,y3的大小关系为．

7

2

20．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）如果二次函数y(x1)m（m为常数）的图象上有两点4,y1和

4,y2，那么y1y2（填“>”、“=”或“<”）．

2

21．（24-25九年级上·北京海淀·期中）1.已知抛物线yaxhka0经过A1,0，B3,0两点．若

P2,y1，Qm,y2是抛物线上的两点，且y1y2，则m的值可以是．（写出一个即可）

【题型8】二次函数y＝a(x－h)²+k的最值

2

22．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）抛物线yx142x2如图所示，则函数y的最小值

和最大值分别是．

2

23．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数y2x15，当4x1时，y的取值范围

是．

2

24．（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数yxmm21（m是常数）

(1)若m1，

①该函数的顶点坐标为___________；

②当2x2时，该函数的最大值___________；

③当1x3时，该函数的最大值为___________；

(2)当2x1时，该函数的最大值为4，则常数m的值为___________．

【题型9】二次函数y＝a(x－h)²+k的平移问题

25．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某二次函数的图象经过原点，且顶点是1,2．

(1)求此二次函数解析式；

(2)求此二次函数图象如何平移可以得到y2x2图象？

26．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知抛物线ya(xh)2的对称轴为直线x2，且过点1,3．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)该抛物线是由抛物线yax2经过怎样的平移得到的？

(3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？

8

22

27．（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线l1:y1a(x1)2与l2:y2(x2)1交于点A(1,2)，以下结

论：

①无论x取何值，y2总是负数；

②l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；

③当3x1时，随着x的增大，y1y2的值先增大后减小．

下列说法正确的是（）

A．只有①正确B．只有②正确C．只有③不正确D．①②③都正确

【题型10】二次函数y＝a(x－h)²+k与几何性质问题

2

28．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线yax3k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线另一

点于B，点C为该抛物线的顶点．若VABC为等边三角形，则a的值为（）

31

A．B．2C．D．1

32

2

29．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线yx21与y轴交于点D0,3，其顶点为点A，与x轴交

于B,C两点（B在C的左侧），连接DB,DC，若在抛物线上存在一点P，使得S△POCS△DBC，则P的坐标

是（）．

A．2,1B．0.5,1.25C．33,323D．23,2

9

【题型10】二次函数y＝a(x－h)²+k性质的推理计算与证明

2

30．（2025·浙江湖州·二模）已知二次函数yx1h（h为常数）的图象经过点A2,3．

(1)求此二次函数的表达式．

(2)将抛物线先向左平移n(n0)个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值．

2

(3)已知点p,m,q,m在二次函数yx1h的图象上，且72p3q2，求m的取值范围．

12

31．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yxhk过点A1,1，B5,1．

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知Mx1,y1和Nx2,y2是抛物线上的两点，若对于0x12，ax2a1，都有y1y2，求a的取值

范围．

2

32．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yaxm3a0上有

、

Ax1,y1Bx2,y2两点．

(1)对于x11,x23，有y1y2，求该抛物线的顶点坐标；

(2)对于任意实数m，若m2x1m1,x2m2，都有y1y20，求a的值．

10

【题型11】二次函数y＝a(x－h)²+k的实际应用

33．（2025·江西上饶·一模）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则

游戏成功．弹力球着地前后的运动路径可近似看成形状相同的两条抛物线．在如图所示的平面直角坐标系

xOy中，x（单位：m）是弹力球距抛出点的水平距离，y（单位；m）是弹力球距地面的高度．甲站在原点

处，从离地面1m的点A处抛出弹力球，弹力球在点B处着地后弹起．已知弹力球第一次着地前抛物线的函

数解析式为ya(x2)21.8．

(1)求a的值及OB的长．

(2)若弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低1m．

①求弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的函数解析式．

②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为0.2m，高0.6m的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平距离

为dm．若要使得游戏成功，则d的取值范围是________．

【题型12】二次函数y＝a(x－h)²+k与几何综合问题

2

34．（2025·甘肃陇南·一模）如图，二次函数yx21的图象与y轴交于点A，与轴交于点B，C．

(1)求点A，B，C的坐标，

(2)在抛物线上是否存在一点P，使SPABSABO？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请

说明理由．

11

42

35．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数yx14的图

9

象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．

(1)求A，B，C三点的坐标；

(2)一个二次函数的图象经过B，C，Mt,4三点，其中t1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线

段OB上（与点O，B不重合）．

①若D点的坐标为3,0，求t的值；

②用t表示OD和DB，并求ODDB的最大值．

12

一、单选题

2

1．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）对于二次函数y3x3的图象，下列说法错误的是（）

A．顶点坐标为3,0B．x3时，y的值随x值的增大而减少

C．对称轴为x3D．函数的最小值为0

2

2．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数y3xa的图象上，当x2时，y随x的增大

而增大，则a的取值范围是（）

A．a2B．a2C．a2D．a2

3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）下列抛物线中，与y2x25抛物线形状相同、开口方向不同，且

顶点坐标为(1,2)的是（）

A．y2(x1)22B．y2(x1)22

C．y2(x1)22D．y2(x1)22

xc2

4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线y1xa于点Ac,m，交抛物线

2

y2xb于点Bc,n，下列结论：①若abc，则mn，②若bac，则mn，③若cba，

则mn，④若acb，则mn；其中正确的是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2

5．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）对于抛物线yx21，下列判断不正确的是（）

A．抛物线的开口向下

B．当x2时，y有最大值1

C．对称轴为直线x2

D．当x2时，y随x的增大而增大

2

6．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知二次函数yxh2（h为常数），当自变量x的值满足2x4的

情况下，与其对应的函数值y的最大值为2，则h的值为（）

A．0或4B．2或6C．0或6D．2或4

2

7．（2025·福建泉州·模拟预测）直线l:ykxbk0与抛物线yx23交于A，B两点，与抛物线

2

yx13交于C，D两点，且始终满足ABCD，则直线l必过的定点为（）

333

A．3,B．,1C．,0D．3,0

222

8．（24-25九年级上·河北承德·期末）对于点Pm3,m24，下列描述不正确的是（）

2

A．不论m为何值，点P都在抛物线yx34上

13

B．点P有最高点为3,4

C．在x轴上能找到两个符合条件的点P

D．点P不会在第三象限出现

二、填空题

2

9．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知点A1,y1，B2,y2，C6,y3在抛物线yx2上，则y1，

y2，y3的大小关系是（用“<”号连接）．

10．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）已知抛物线开口向上，对称轴是直线x5，抛物线上两点坐标

为（2，y1），（4，y2），那么y1y2．（填“>”或“<”）

2

11．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）已知A2,y1，B2,y2，C2,y3是二次函数y3x1k

图像上三点，则y1，y2，y3的大小关系为

2

12．（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）已知二次函数yax1a(a0)，当1x4时，y的最

小值为4，则a的值为．

2

13．（2025·广东珠海·一模）抛物线L:yax31过A2,3,Bm,3两点，将抛物线L向左或向右平

移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若VABC是以AB为斜边的直角三角形，则点C的坐标

为．

2

14．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知二次函数yx3aa1（a为常数）．当a取不同的值时，

其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当a1，a0，a1，a2时，二次函数的图象，则它

们的顶点坐标满足的函数解析式是．

三、解答题