2025年新九年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题21 直线与圆的位置关系 (12大类型精准练) (学生版)

专题21直线与圆的位置关系（13大类型精准练+过关检测）

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：12大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1.直线和圆的位置关系

(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆

心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中

直线与圆心的距离大于半径．

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

知识点2.切线的判定定理和性质定理（重点）（难点）

（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（2）在应用判定定理时注意：

①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．

②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．

1

③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线

的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确

指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交

点，作半径，证垂直”．

（3）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（4）切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆

心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．

（5）切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半

径，见垂直．

归纳总结：

切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.

知识点3.切线长定理

（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线

的夹角．

（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两

个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．

归纳总结：

切线长定理的一个基本图形如图所示其中包含的其他结论有：

(1)三组垂直线段：OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP:

(2)三组全等三角形：△QAP≌△OBP,△OCA≌△OCB,△ACP≌△BCP;

(3)两组相等的孤：弧AD=弧BD,弧AE=弧BE;

(4)两个等腰三角形：△OAB和△PAB.

知识点4.三角形的内切圆

1.三角形的内切圆：

2

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

2．三角形的内心：

三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离

都相等.

要点归纳：

(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的

一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：

名称确定方法图形性质

外心(三角形三角形三边中垂线的(1)到三角形三个顶点的距

外接圆的圆交点离相等，即OA=OB=OC；(2)

心)外心不一定在三角形内部

内心(三角形三角形三条角平分线(1)到三角形三边距离相等；

内切圆的圆的交点(2)OA、OB、OC分别平分∠

心)BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内

心在三角形内部.

21直线与圆的位置关系（12大类型精准练+过关检测）

【类型1】直线与圆的位置关系

1．（24-25九年级上·广东江门·期中）若半径为5m的圆，其圆心到直线的距离是4m，则直线和圆的位置关

系为（）

A．相离B．相交C．相切D．无法确定

2．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）已知直线l与圆O相交，点P在直线l上，若P点到O点的

距离等于圆O的半径，则点P的个数为（）

A．1B．2C．3D．3个以上

3．（2025九年级下·浙江·专题练习）在Rt△ABC中，C90,AC4,BC3，以点C为圆心，r为半径

画C，根据下列条件，分别求出的取值范围．

(1)边AB与C相离；

3

(2)边AB与C相切；

(3)边AB与C相交．

【类型2】已知直线与圆的位置关系求半径

4．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在Rt△ABC中，C90，AC6，BC8，以点C为圆心，

r为半径作圆，若与直线AB相离，则r的取值范围为（）

A．0r4.4B．0r4.4C．0r4.8D．0r4.8

5．（22-23九年级下·上海·阶段练习）如果一圆的半径为R，圆心到直线的距离为5，且这个圆与这条直线

有公共点，那么下列结论正确的是（）

A．R5B．R5C．0R5D．0R5

6．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知Rt△ABC的斜边AB6，直角边AC3，以点C为圆心作C．

(1)当半径r为________时，直线AB与C相切；

(2)当C与线段AB只有一个公共点时，半径r的取值范围为________；

(3)当C与线段AB没有公共点时，半径r的取值范围为__________．

【类型3】圆平移到与直线相切时满足的条件

7．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的P的圆心P的坐标为

3,0，将OP沿x轴正方向平移，使P与y轴相切，则平移的距离为（）

A．1B．1或5C．3D．3或5

8．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为3,0，以点P

为圆心，2为半径的P以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当P与y轴相切时，t

的值为（）

A．0.5B．1C．0.5或2.5D．1或3

9．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，AOC30，半径为1cm的P的

圆心在直线AB上，开始时，PO6cm．如果P以1cm/s的速度向右运动，那么当P的运动时间t(s)满足

条件时，P与直线CD相交．

4

【类型4】切线的判定的认识

10．（2025·江苏无锡·模拟预测）下列判断正确的是（）

A．同弧或等弧所对的圆心角相等B．三点确定一个圆

C．长度相等的弧是等弧D．垂直于半径的直线是圆的切线

11．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；

③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确

的命题有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

12．（2024·湖北·模拟预测）如图，O和直线l1，直线l2在同一平面内，AB是O的直径，直线l2是O的

切线，直线l1经过点A，下列条件不能判定直线l1与O相切的是（）

∥

A．l1l2B．l1AB

C．l1与O只有一个公共点D．点O到l1上某点的距离等于半径

【类型5】切线的判定条件

13．（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，AB是O的直径，C是O上一点，D是O外一点，

过点A作AECD，垂足为E，连接OC．若使CD切O于点C，添加的下列条件中，不正确的是（）

A．OC∥AEB．OACCAEC．OCACAED．OAAC

14．（17-18九年级下·全国·期末）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，

那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．

5

15．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，AB是O的直径，要使得直线AT是O的切线，需要添加

的一个条件是．（写一个条件即可）

【类型6】证明直线与圆相切

16．（19-20九年级上·福建福州·期中）如图,在RT△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分线交BC于D,以D

为圆心,DB长为半径作⊙D．求证:AC与⊙D相切.

17．（2025·江苏·二模）如图，在O中，AB是O的直径，点E在O上，点C是弧BE的中点，AECD，

垂足为点D．求证：CD是O的切线．

18．（2025·四川眉山·一模）如图，AB为O的直径，取OA的中点C，过点C作CDAB交O于点D，

D在AB的上方，连接AD、BD，点E在线段CA的延长线上，且ADAE．

6

(1)求E的度数；

(2)试判断ED与O的位置关系，并说明理由．

19．（2025·山东临沂·一模）如图，VABC内接于O，D是BC上一点，ADAC．E是O外一点，

BAECAD，ADEACB，连接BE．

(1)若CD2，DE6，求BD的长；

(2)求证：EB是O的切线．

【类型7】切线的性质

20．（2025·山西·模拟预测）如图，O与△OAB的边AB相切于点C，与边OB相交于点D．点E为优弧CD

上的点，连接CE,DE．若B40，则E的度数为（）

A．20B．25C．35D．40

21．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，过O外一点P作圆的切线PA,PB，点A,B为切点，AC为直径，

设P50，则C的度数为．

22．（2025·湖南·中考真题）如图，VABC的顶点A，C在O上，圆心O在边AB上，ACB120°，BC

与O相切与点C，连接OC．

7

(1)求ACO的度数；

(2)求证：ACBC．

23．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图VABC中，ACB90，BE平分ABC交AC于点E，

以点E为圆心，EC为半径作E交AC于点F．

(1)求证：AB与E相切；

(2)若AB15，BC9，试求AF的长．

【类型8】切线长定理

24．（2024·西藏日喀则·二模）如图，P为O外一点，PA，PB分别切O于A，B两点，若PA6，则PB

（）

A．3B．6C．9D．12

25．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，O是VABC的内切圆，切点分别为D，E，F．若CF7，

AB9，则VABC的周长为（）

A．16B．23C．25D．32

8

26．（19-20九年级上·贵州黔西·期末）如图，PA，PB分别切O于点A，B，MN切O于点C，分别交

PA，PB于点M，N，若PBPA7.5cm，则PMN的周长是．

【类型9】有关切线长定理的计算与证明

27．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，PA,PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，

BAC25，求PAB和P的度数．

28．（18-19九年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一点E，以BE

为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．

(1)求⊙O的直径BE的长；

(2)计算△ABC的面积．

29．（18-19九年级·安徽马鞍山·阶段练习）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，

OB＝6cm，OC＝8cm．

（Ⅰ）求证：OB⊥OC；

（Ⅱ）求CG的长．

【类型10】三角形的内切圆

9

30．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，VABC中，A80，点O是VABC的内心．则BOC的度

数（）

A．60B．80C．120D．130

31．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，O为Rt△ABC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD9，

BD6，则VABC的面积为．

32．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，O是VABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且A90，

5

BC，CA2，则O的半径是．

2

33．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在VABC中，请利用尺规作图法作出VABC的内心O．（不

写作法，保留作图痕迹）

34．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）（1）尺规作图：如图，已知VABC．求作：VABC的内切圆O．（要

求：不写作法，保留作图痕迹）．

10

（2）VABC的内切圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB5cm,BC7cm,CA6cm，求AF

的长．

35．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，VABC中，C90，BC5，O与VABC的三边分别相

切于点D，E，F，若O的半径为2，求VABC的周长．

【类型11】切线的性质与判定的计算与证明

36．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在O上取一点C，

延长AB至点D，连接DC，DCBDAC，过点A作AEAD交DC的延长线于点E．

(1)求证：CD是O的切线

(2)若CD4，DB2，则AE的长

37．（22-23九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，AB是O的直径，点P在O上，且PAPB，点M是

O外一点，MB与O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交O于点C，连接BC交OM于点D．

11

(1)求证MC是O的切线

(2)若AB20，BC16，连接PC，求PC的长．

38．（21-22九年级上·福建莆田·期末）如图，AB是⊙O的直径，D在AB上，C为⊙O上一点，AD＝AC，

CD的延长线交⊙O于点E．

(1)点F在CD延长线上，BC＝BF，求证：BF是⊙O的切线；

(2)若AB＝2，CE2，求∠CAE的度数．

【类型12】切线的综合问题

39．（2022·河北石家庄·一模）如图，AB是半圆形量角器的直径，点O为半圆的圆心，DA与半圆O相切

于点A，点P在半圆上，且点P对应的示数为120°（60°），点C是PB上一点（不与点P重合）．连接

DO交半圆O于点E，点E对应的示数为60°（120°）．

(1)连接PC，AC，求∠PCA的度数；

(2)连接AP，PB，求证：△DAO≌△APB；

(3)若直径AB上存在一点M，使得EM＋PM的值最小，已知半圆O的半径是2，直接写出EM＋PM的最小

值．

40．（19-20九年级上·河北石家庄·期中）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P

在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．

（1）线段AC的长度是．

（2）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；

（3）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，

⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值

12

的取值范围．

【类型13】新定义材料探究

41．（20-21九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1．

给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在O上时，平移线段AB，使点M落在O上，得到

线段AB（A,B分别为点A,B的对应点）线段AA长度的最小值称为线段AB到O的“平移距离”．

（1）已知点A的坐标为(1,0)，点B在x轴上．

①若点B与原点O重合，则线段AB到O的“平移距离”为________；

②若线段AB到O的“平移距离”为2，则点B的坐标为________；

4

（2）若点A,B都在直线yx4上，且AB2，记线段AB到O的“平移距离”为d，求d的最小值；

311

（3）若点A的坐标为(3,4)，且AB2，记线段AB到O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．

42．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，对于平面内点P和y轴上点Q，

给出如下定义：将点P绕着点Q旋转90得到的对应点P恰好在O上，称点P为O的“赋能点”．

13

(1)已知点Q的坐标为0,1．

①如图1，在点P12,1,P21,1,P31,2中，O的“赋能点”是_____；

②如图2，若直线yxb上存在点P，使点P为O的“赋能点”，求b的取值范围；

(2)如图3，点Q0,t,M1,2,N2,2．若线段MN上存在点P，使点P为O的“赋能点”，直接写出t的取

值范围．

一、单选题

1．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）已知O的半径3cm，直线l上有一点到圆心O的距离为3cm，

那么直线l与O的位置关系是（）

A．相切B．相交

C．相离或相切D．相切或相交

14

2．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点O到直线l的距离为5，如果在以点O为圆心的圆上有且只有

两个点到直线l的距离为2，那么这个圆的半径长r的取值范围是（）

A．2r5B．3r5C．2r7D．3r7

3．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线AB经过O上的点C，并且OAOB，下列条件中不能

判断直线AB是O切线的是（）

A．CACBB．AOCBOC

C．ACOBCOD．OA2OC

4．（2025·四川自贡·中考真题）PA，PB分别与O相切于A，B两点．点C在O上，不与点A，B重合．若

P80，则ACB的度数为（）

A．50B．100C．130D．50或130

5．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，以AB为直径的半圆O交BC于点D，已知AC与O相切于点A，

若AOD60，则C的度数为（）

A．30B．60C．45D．75

6．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点

F，交AD边于点E，若CDE的周长为12，则正方形ABCD周长为（）

A．14B．15C．16D．17

7．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，点I为VABC的内心，AB12cm，AC9cm，BC=6cm，将

ACB平移，使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为（）

15

A．10cmB．12cmC．13.5cmD．15cm

8．（2024·四川德阳·二模）如图，O内切于正方形ABCD，边AD、CD分别与O切于点E、F，点M、N

分别在线段DE、DF上，且MN与O相切．若△MBN的面积为4，则O的半径为（）

A．23B．5C．22D．2

二、填空题

9．（24-25九年级上·北京·期中）O的直径为17cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与O的位

置关系是（填“相交”、“相切”或“相离”）．

10．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）若O的圆心O到直线l的距离d小于半径r，则直线l与O的

位置关系是．

11．（2025·浙江湖州·二模）如图，BD是O的直径，点A在DB的延长线上，AC是O的切线，C为切

点，连结CO，CD，若D25，则A的度数为．

12．（2025·浙江温州·一模）如图，PA，PB是O的切线，切点分别是A，B，如果∠C65，那么P的

度数等于．

13．（2025·湖南株洲·三模）如图，在VABC中，ABBC，VABC的角平分线AD、BE交于点O，则以

点O为圆心，以为半径，可作VABC的内切圆．

16

14．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，VABC是一张三角形纸片，AB5cm，O是它的内切圆，

小陈准备用剪刀在O的左侧沿着与O相切的任意一条直线DE剪下CDE，若剪下的CDE的周长为

11cm，则VABC的周长为cm．

15．（2023·广东广州·一模）如图，在O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与O相切

于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MCMDAC，连接AD．现有下列结论：

①MD与O相切；②四边形ACMD是菱形；③ABMO；④ADM120．其中正确的结论是

（填序号）．

16．（18-19九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(−6，0)，

B(0，6)，⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，

则切线长PQ的最小值为

三、解答题

17．（21-22九年级上·江苏南京·阶段练习）在RtABC中，C90，BC4，AC3，

17

（1）斜边AB上的高为________；

（2）以点C为圆心，r为半径作⊙C

①若直线