2025年新九年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题24 第24章圆单元测试 (培优提升卷) (教师版)

专题24第24章圆单元测试（培优提升卷）

班级：___________________姓名：_________________得分：_______________

注意事项：

本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑

色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．

1．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）已知O的半径是10cm．点P是O内一点．则OP的长可能是

（）

A．8cmB．10cmC．12cmD．15cm

【答案】A

【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟知点与圆心的距离小于半径是正确解答此题的关键．

当该点在圆内．则半径大于点到圆心的距离，据此即可作答．

【详解】解：∵O的半径为10cm，点P在O内，

∴OP10cm，

则A、B、C、D四个选项，唯有A选项的8cm满足小于10cm，

故选：A．

2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，以△ABC的边AB为直径作O交AC于点D，过点D作DEBC

于点E．若要使DE是O的切线，则下列补充的条件不正确的是（）

A．ADCDB．OD∥BCC．ACD．ODDE

【答案】D

【详解】根据三角形中位线定理、平行线的性质与判定、切线的判定定理证明，判断即可．

【解答】解：A、ADCD，AOOB，

OD是△ABC的中位线，

ODBC，

DEBC，

DEOD，

DE是O的切线，故本选项不符合题意；

B、由A选项可知：DE是O的切线，故本选项不符合题意；

C、OAOD，

1

AODA，

AC，

ODAC，

ODBC，

DEBC，

DEOD，

DE是O的切线，故本选项不符合题意；

D、当ODDE时，不能证明DE是O的切线，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查的是切线的判定，三角形中位线定理、平行线的性质与判定，经过半径的外端且垂直于

这条半径的直线是圆的切线．

3．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列命题中，正确的是（）

A．三个点确定一个圆B．等弧所对的圆周角相等

C．直角三角形的内心与外心重合D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线

【答案】B

【分析】根据圆的确定，圆周角定理，内心和外心的定义，切线的定义逐一进行判断即可．

【详解】A、不在同一条直线的三个点确定一个圆，选项说法错误，不符合题意；

B、等弧所对的圆周角相等，选项说法正确，符合题意；

C、直角三角形的内心和外心不重合，选项说法错误，不符合题意；

D、经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，选项说法错误，不符合题意；

故选B．

【点睛】本题考查圆的确定，圆周角定理，内心和外心的定义，切线的定义，熟练掌握不在同一条直线的

三个点确定一个圆；等弧所对的圆周角相等；三角形的内心是三条角平分线的交点，外心是三边的中垂线

的交点和切线的判定定理是解题的关键．

4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，CD是O的直径，弦ABCD于点E，如果AB=4，则AE

的长为（）

A．1B．2C．4D．8

【答案】B

1

【分析】本题考查垂径定理，根据垂径定理得出AEAB即可得到答案

2

2

【详解】解：∵CD是O的直径，弦ABCD于点E，

1

∴AEAB2，

2

故选B

5．（2025·湖南长沙·二模）如图，AB是O的直径，若C36，则AOD的度数是（）

A．62B．66C．72D．80

【答案】C

【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半．根据圆周角定理求解即可．

【详解】解：C和AOD都对着AD，

AOD2C23672．

故选：C．

6．（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，P的半径为2，点P的坐标为0,3，

若将P沿y轴向下平移，使得P与x轴相切，则P向下平移的距离为（）

A．1B．5C．3D．1或5

【答案】D

【分析】分圆P在x轴的上方与x轴相切和圆P在x轴的下方与x轴相切两种情况分别求解即可．

【详解】解：当圆P在x轴的上方与x轴相切时，平移的距离为321，

当圆P在x轴的下方与x轴相切时，平移的距离为325，

3

综上所述，P向下平移的距离为1或5．

故选：D．

【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键．

7．（2025·安徽滁州·一模）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，B，CAD，则ACD

的大小为（）

1

A．B．C．D．2

2

【答案】A

【分析】本题考查了圆内接四边形、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．由

四边形ABCD是O的内接四边形，得到BD180，得出D180，再在CAD中利用三角形内

角和定理即可求解．

【详解】解：四边形ABCD是O的内接四边形，

BD180，

D180B180，

ACDCADD180，

ACD180CADD

180180

．

故选：A．

8．（2025·重庆·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点O在BC边上，BO2CO2，以O为圆心，OB的

长为半径画弧，这条弧恰好经过点D，且交AD于点E，则阴影部分的面积为（）

24

A．B．C．D．

3233

【答案】C

nπr2

【分析】本题考查的是扇形的面积计算，掌握矩形的性质、等边三角形的性质和扇形的面积公式S是

360

4

解题的关键．

根据矩形的性质得到ODE为等边三角形，根据扇形的面积公式计算即可．

【详解】如答图，连接OD，

由题意得，OBOEOD，

OD2OC2，

OC1

sinODC，

OD2

ODC30，

则ODE60，

ODE为等边三角形，

BOE180606060，

60π222π

阴影部分的面积为．

3603

故选：C．

9．（2025·河南信阳·三模）如图，平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的顶点D，E在x轴上，顶点F

在y轴上，若正六边形的中心点P的坐标为2,3,则点B的坐标为（）

A．2,23B．23,3C．23,2D．3,23

【答案】D

【分析】过点P作PKAB与点K，延长BA交y轴与点N，连接BP，AP，FP，先证明四边形NFPK是

矩形，再根据矩形的性质得出FPAK2，由含30度直角三角形的性质得出

1

AKAP1，由等腰三角形的性质得出KB1，由勾股定理求出KP，求出点K的坐标即可得出点B的

2

坐标．

【详解】解：过点P作PKAB与点K，延长BA交y轴与点N，连接BP，AP，FP，

5

则KNF90，PKN90，

∵ABCDEF是正六边形，且中心角为360案6=60，

则APFAPB60，APBPFP，

∴APK30，AKKB，

∴KPF90，

∴四边形NFPK是矩形，

∵正六边形的中心点P的坐标为2,3,

∴FPAK2，

1

∴AKAP1，

2

∴KB1，KPAP2AK23

∴点K的坐标为：2，23，

∴B点的坐标为3,23，

故选：D．

【点睛】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标，等腰

直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的关键．

10．（上海市闵行区2024-2025学年下学期七年级期末数学试题）一张直角三角形纸片，两条直角边长分

别为a和bab，将纸片先绕长为b的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体甲；再绕长为a的直角边所

在直线旋转一周，得到圆锥体乙，关于这两个圆锥体，有下列两个结论：

①甲、乙的侧面积之比为a:b；②甲、乙的体积之比为a:b．

对于结论①和②，下列说法正确的是（）

A．①正确，②错误B．①②都正确

C．①错误，②正确D．①②都错误

【答案】B

【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，圆锥的体积，

分别计算绕不同直角边旋转形成的圆锥的侧面积和体积，再求比值判断结论是否正确．

22

【详解】解：绕长为b的直角边旋转，底面半径r1a，高h1b，母线lab，

6

221212

所以甲的侧面积Srlaab，甲的体积V1r1h1ab；

1133

22

绕长为a的直角边旋转，底面半径r2b，高h2a，母线lab，

11

所以乙的侧面积Srlba2b2，乙的体积Vr2hb2a．

2223223

Saa2b2a

则侧面积之比：1，故结论①正确；

22

S2babb

1

a2b

Va

体积之比：13，故结论②正确．

V12b

2ba

3

综上，①②均正确．

故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上

11．（2025·福建厦门·二模）已知直线l与O相交，圆心O到直线l的距离为5cm，则O的半径可能为

cm．（只写一个）

【答案】6（或r5其他值）

【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据dr圆和直线相交即可求解，掌握直线和圆的位置与圆心

距d与半径r之间的关系是解题的关键．

【详解】解：∵直线l与O相交，圆心O到直线l的距离为5cm，

∴O的半径大于5cm，

故答案为：6（或r5其他值）．

12．（2025·广西南宁·模拟预测）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶

（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度AB为12cm，竖直高度CD为3cm，则

O的半径为cm；

【答案】7.5

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由垂径定理得到

1

ADAB6cm，设O的半径为xcm，则OAOCxcm，ODOCCDx3，在△AOD中，根据勾

2

股定理有AD2+OD2=OA2，代入即可解答．

【详解】解：连接AO，

7

∵OCAB，

11

∴ADAB126cm，

22

设O的半径为xcm，则OAOCxcm，

∴ODOCCDx3，

∵在△AOD中，AD2+OD2=OA2，

2

即62x3x2，

解得：x7.5，

∴O的半径为7.5cm．

故答案为：7.5．

13．（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，在正多边形ABCDPMN中，若AMB18，则该多边形的边

数为．

【答案】10

【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．根

据正多边形的性质，中心角的计算方法以及圆周角定理列方程求解即可

【详解】解：如图，设这个正n边形的外接圆为O，连接OA，OB，

1

则AMBAOB18，

2

1360

18，

2n

解得n10，

8

经检验，n10是原方程的解，

这个正多边形是正十边形，

故答案为：10．

14．（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面

半径r为3cm，高h为4cm的圆锥体，那么这个扇形的圆心角AOB的度数是．

【答案】216/216度

【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为l，由勾股定理得

nl

lh2r2，由弧长公式得2r，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关

180

键．

【详解】解：设圆锥的母线为l，这个扇形的圆心角AOBn，

lh2r2

3242

5cm，

nl

2r，

180

n5

23，

180

解得：n216，

故答案为：216．

15．（2025·广东广州·二模）如图，正方形ABCD的边长为6，以边BC为直径在正方形ABCD内部作半圆，

圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于点E，则AE．

9

15

【答案】

2

【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理；由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有

AFAB6，EFEC；设EFECx．则DE6x，AE6x，然后在三角形ADE中由勾股定

理可以列出关于x的方程，即可求出AE．

【详解】解：AE与圆O切于点F，

∴根据切线长定理有AFAB6，EFEC，

设EFECx，

则DE6x，AE6x，

22

在三角形ADE中由勾股定理得：6x626x，

3

x，

2

315

AE6．

22

15

故答案为：．

2

16．（24-25九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在直角坐标系中，以点A4,0为圆心，画半径2的

圆，点P为直线yx2上的一个动点，过点P作A的切线，切点为T，则PT的最小值为

【答案】4

【分析】设直线yx2分别与x轴，y轴交于点E,F，连接PA,TA，先求出AE6,OEFOFE45，

2

再根据圆的切线的性质可得PTAT，根据勾股定理可得PTPA22，从而可得当PAEF时，PA

的值最小，则PT取得最小值，然后根据等腰三角形的判定和勾股定理可求出PA218，由此即可得．

【详解】解：如图，设直线yx2分别与x轴，y轴交于点E,F，连接PA,TA，

10

当y0时，x20，解得x2，即E2,0,OE2，

当x0时，y2，即F0,2,OF2，

∴OEOF，

∵x轴y轴，

∴OEFOFE45，

∵A的圆心为A4,0，半径为2，

∴AT2，AE246，

∵PT是A的切线，

∴PTTA，即PTA90，

2

∴PTPA2AT2PA22，

∴当PA的值最小时，PT取得最小值，

由垂线段最短可知，当PAEF时，PA的值最小，

∴此时PAE90OEF45OFE，

∴PEPA，

∴EA2PA2PE22PA262，

∴PA218，

2

∴PT的最小值为1824，

故答案为：4．

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定、一次函数的应用，正确找出当

PAEF时，PA的值最小，则PT取得最小值是解题关键．

三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格

点A(0,4)、B(4,4)、C(6,2)三点，请在网格中进行下列操作：

11

(1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置．

(2)写出D点坐标为_________，并求D的半径长．

【答案】(1)答案见详解；

(2)2,0；25

【分析】（1）根据垂径定理得到圆的圆心D点的位置及坐标；

（2）从图上可直接读出点D的坐标；根据勾股定理进行计算，得到答案．

【详解】（1）由垂径定理得到圆的圆心D;如图所示：

（2）

D点坐标为2,0；

连接DC，由勾股定理得：DC224225

【点睛】本题考查的是过三点的圆、垂径定理、勾股定理，掌握这些知识点是解题的关键．

18．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于O，边长为2．

12

(1)求O的直径AD的长；

(2)求ADB的度数．

【答案】(1)4

(2)30

【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理：

（1）连接OB，求出AOB的度数，得到VAOB是等边三角形，得到AOAB2，即可得出结果；

（2）根据圆周角定理，即可得出结果．

【详解】（1）解：连接OB．

∵正六边形ABCDEF内接于O，

360

∴AOB60，

6

又AOBO，

∴VAOB是等边三角形．

∴AOAB2．

∴AD2AO4．

（2）解：∵ABAB，AOB60

1

∴ADBAOB30．

2

19．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，G是AC上的

一点，AG、DC的延长线交于点F

(1)求证：FGCAGD；

13

若，的度数为，求的度数．

(2)AGCGAG70F

【答案】(1)见解析

(2)35

【分析】（1）利用CDAB，可得AGDADC，再根据圆内接四边形性质可得FGCADC，即可得

到结论；

»»

（2）利用AGCG，可得AGCG70，根据圆周角定理得到BAF55，再根据直角三角形两锐角互

余即可得到F的度数；

【详解】（1）解：连接AD，

∵CDAB，

∴ACAD，

∴AGDADC，

∵四边形ADCG是O的内接四边形，

∴FGCADC，

即：FGCAGD

»

（2）∵AGCG，AG70，

»»

∴CG70，BC180707040，

1

∴BAF(7040)55，

2

∵CDAB，

∴F905535．

【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握垂径定理是

是解决本题的关键．

20．（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在

喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下：

信息二：点O为喷泉中心，AB是喷泉边缘的一条弦，AB8米，D是弦AB的中点，连接OD并延长，交

劣弧AB于点C，CD2米．

信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答

下列问题

14

(1)求喷泉的半径；

(2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（π取3.14，结果保留整数）

【答案】(1)喷泉的半径为5米

(2)大约需要安装25盏景观灯

【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键：

（1）连接OA，设喷泉的半径为r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可；

（2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可．

【详解】（1）解：连接OA，设喷泉的半径为r，则：OAOCr，

∴ODOCCDr2，

∵D是弦AB的中点，

1

∴OC平分弦AB，ADAB4，

2

∴OCAB，

∴OA2AD2OD2，

2

∴r242r2，

∴r=5米；

答：喷泉的半径为5米；

（2）解：由题意，得：R516米，

263.141.525（盏）；

答：大约需要安装25盏景观灯．

21．（2020·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在VABC中，C90，以BC为直径的O交AB于D，点E在

线段AC上，且EDEA．

15

(1)求证：ED是O的切线；

(2)若ED3，B=60，求O的半径．

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解题的关

键．

（1）连接OD．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；

（2）根据切线的性质得到EDEC，求得EDECEA3．根据直角三角形的性质即可得到结论．

【详解】（1）证明：连接OD．

EDEA，

AADE，

OBOD，

OBDBDO，

ACB90，

AABC90．

ADEBDO90，

ODE90，

DE是O的切线；

（2）解：ACB90，BC为直径，

16

AC是O的切线．

DE是O的切线，

EDEC，

ED3，

EDECEA3．

AC23，

在Rt△ABC中，B=60，

A30，

BC2．

O的半径为1．

22．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）已知，如图，VABC中，ABAC5,BC6，点D在边BC上，

O是VABC的外接圆，AE∥BC，AEBD．

(1)证明：AE与O相切；

(2)如图1，连接OD，若CE25，求OD长度；

(3)如图2，作AF∥CE，与BC交于点G，与O交于点F，若DAF2BAD，求AF长度．

【答案】(1)见解析

305

(2)

8

1510

(3)

8

【分析】（1）作直径AM,AM与BC交于点H，由圆周角定理得到BAHCAH，由等腰三角形的三线

合一得到AHBC，BHCH，再根据平行即可得到AMAE，继而求证；

2

（2）设O半径为r，由勾股定理得AH4，则OH4r，在Rt△OHB中，由勾股定理得324rr2，

257

解得：r，则OH，证明ABD≌CAESAS，则ADCE25，在RtADH中，

88

305

DHAD2AH22，在Rt△ODH中，ODOH2DH2；

8

17

（3）解：连接MC,MF,CF,OF,OB,CO，OF与MC交于点K，显然四边形AECG是平行四边形，则

CGAEBD,AGCEAD，导角得到BADDAH，而在平行四边形AECG中，CAGACE，

15

而BADACE，导角则MOFCOF，故MFCF，由中位线得到OKAC，则

22

22152222501510

MKOMOK，MFMKKF，AFAM2MF2．

8648

【详解】（1）证明：作直径AM,AM与BC交于点H，

∵ABAC，

»»

∴ABAC，

∴BMCM，

∴BAHCAH，

∴AHBC，BHCH，

∵AE∥BC，

∴AMAE，

而AM是直径，

∴AE与O相切；

（2）解：连接OB，

设O半径为r，

∵BC6,BHCH，

∴BH3，

18

∵在Rt△ABH中，AB5，

∴由勾股定理得：AH4，

∴OH4r，

∵在Rt△OHB中，由勾股定理得：BH2OH2BO2

2

∴324rr2，

25

解得：r，

8

257

∴OH4

88

∵AEAM，

∴MACCAE90，

∵BAMCAM，

∴BAMCAE90，

而BAMABD90，

∴ABDCAE，

又∵AEBD,ABAC，

∴ABD≌CAESAS，

∴ADCE25，

2

∴在RtADH中，DHAD2AH225422，

257

在Rt△ODH中，则DH2,OHAHAO4，

88

2

2272305

∴ODOHDH2；

88

（3）解：连接MC,MF,CF,OF,OB,CO，OF与MC交于点K

∵AF∥CE,AE∥BC，

∴四边形AECG是平行四边形，

19

∴CGAEBD,AGCEAD，

∵BHCH，

∴DHGH，

∴AH平分DAG，

即DAG2DAH，

又DAF2BAD，

∴BADDAH，

而在平行四边形AECG中，CAGACE，

而BADACE，

∴CAGBADDAHFAH，

∴MFCF，

∴MOFCOF，

∵OCOM，

∴AKMC，

∵AM是直径，

∴ACM90，

∴OKAC，

又点O为AM中点，点K为MC中点，

15

∴OKAC，

22

25

在RtOKM中，OMr，

8

22

2225515

∴MKOMOK，

828

2555

在Rt△MKF中，KFOFOK，

828

22

222155250

∴MFMKKF，

8864

2550

在RtAMF中，AM2OM2，

88

2

22502501510

∴AFAMMF．

8648

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，弧、弦之间的关系，平行四边形

的判定与性质，综合性很强，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键．

23．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，对于线段AB和x轴上的

20

点P，给出如下定义：若将线段AB绕点P旋转180可以得到O的弦A1B1（A1,B1分别为A，B的对应点），

则称线段AB为O以P为中心的“相关线段”．⊙

(1)如图，已知点A2,1,B2,0,C2,1,D1,1，在线段AC，BD，CD中，O以P为中心的“相关

线段”是________；

(2)已知点E3,1，线段EF是O以P为中心的“相关线段”，求点F的横坐标xF的取值范围．

(3)已知点Em,1，若直线y3x2m上存在点F，使得线段EF是O以P为中心的“相关线段”，直接

写出m的取值范围：___________．

【答案】(1)AC和BD

(2)4xF2

(3)423m423

【分析】（1）由题知“关联线段”是关于P点成中心对称的，根据中心对称的性质即可得AC和BD是O以

点P为中心的“关联线段”．

（2）由E与E1点关于P点成中心对称，且P点在x轴上，E1点在O上，可得E1点的坐标为(0,1)，P点

3

坐标为(,0)，由此可得1xF1，根据F1与F点关于P对称，可得F点的横坐标的取值范围．

21

（3）作O关于P点的对称圆C，则F点既在C上，又在直线y3x2m上，因此F点是C和直

线y3x2m的交点．当直线y3x2m与C相切时，即可求出m的最大范围．分两种情况：切线

在C左边和在C右边．根据等腰直角三角形的性质可求得F点坐标，再代入y3x2m即可求出m

的最大值和最小值，进而可得m的取值范围．

【详解】（1）解：如下图：

21

线段A1C1与线段AC关于点(1,0)成中心对称，且A1C1是O的弦，

∵

线段AC是O以点P(1,0)为中心的“关联线段”；

∴线段B1D1与线段BD关于点(0.5,0)成中心对称，且B1D1是O的弦，

∵若线段BD是O以点