2025年新七年级数学暑假衔接 (人教版)初高衔接点02 式与方程 (培优讲义) (教师版)

PAGE1衔接点02式与方程小学阶段初中阶段学习了字母表示数（能用字母表示常见数量关系、运算定律、常见几何体的公式等）、简单的一元一次方程及解法，培养的核心数学素养是学生的符号意识和运算能力.较小学数学在式与方程方面主要变化有：“数与式”是代数的基本语言，初中阶段重点关注代数式的运算与规律探究，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性；“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系和不等关系），是初中应用广泛的数学工具，初中一元一次方程的解法与小学的方法有所区别.培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、推理能力等.衔接指引【小学阶段基础回顾】字母表示数：用字母表示数量关系、运算定律和几何公式等.简易方程：学习简单的一元一次方程及其解法，培养符号意识和运算能力.【初中阶段的变化与提升】代数式的运算：关注代数式的运算与规律探究，字母可像数一样进行运算和推理，结论具有一般性.方程与不等式：揭示基本的相等和不等数量关系，成为初中应用广泛的数学工具，一元一次方程的解法与小学有所区别.【衔接策略】理解字母表示数的意义：明确字母可以表示任意数、特定公式、符合条件的数或具有规律的数，培养符号意识.掌握代数式的运算规则：学习数与字母、字母与字母相乘的表示方法，如省略乘号、数字在前等，以及相同字母相乘的平方表示.深化对等式与方程的理解：理解等式的性质，如两边同时加减乘除相同数（除数不为零）仍成立，掌握方程的解法及检验方法.多做练习，巩固知识：通过实际题目巩固知识点，提升熟练度，培养运算能力、抽象能力和推理能力.1．用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律1）用字母表示数和数量关系（1）一班有男生a人，女生b人，一共有（a＋b）人；（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉共重25x干克；（3）路程＝速度×时间，用字母表示s＝vt；（4）正比例：（一定），反比例：x×y＝k（一定）.2）用字母表示计算公式及运算定理长方形周长：C＝2（a＋b）；长方形面积：S＝ab；长方体体积：V＝abh或V＝Sh.加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）乘法交换律：ab＝ba乘法结合律：（ab）c＝a（bc）乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc注意：①数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面；②两个相同的字母相乘时，可写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2.2．等式与方程1）等式与方程的意义及关系意义关系等式表示相等关系的式子叫作等式所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程方程含有未知数的等式叫作方程2）等式的性质（1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式.（2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式.3）解方程（1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解.（2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程.（3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程.（4）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解.考点一：字母表示数1．（2024·浙江金华·小升初真题）学校报告厅第一排有a个座位，第二排有（a＋2）个座位，第三排有（a＋4）个座位，后面每一排比前面一排多2个座位。第n排有（

）个座位。A．a＋2n B．a＋2（n－1） C．2n D．a＋2n＋2【答案】B【分析】分析题目，第一排有a个座位，以后每次多增加2个座位，则第n排比第一排多了（n－1）个2，据此可知第n排有[a＋（n－1）×2]。【详解】a＋（n－1）×2＝[a＋2（n－1）]个学校报告厅第一排有a个座位，第二排有（a＋2）个座位，第三排有（a＋4）个座位，后面每一排比前面一排多2个座位。第n排有[a＋2（n－1）]个座位。故答案为：B2．（2024·江苏泰州·小升初真题）下面各项中，可以用表示的是（

）。A．线段的总长度： B．线段的总长度：C．靠墙围长方形所用木料长度： D．长方形的面积：【答案】C【分析】：表示两个相加的和，再加上4，据此观察四个选项，解答此题。【详解】A．线段的长度：2＋＋4＝；B．线段的长度：＋4＋4＝；C．围长方形所用木料长度：＋＋4＝；D．长方形的面积是：（4＋2）＝。故答案为：C3．（2024·重庆永川·小升初真题）一辆货车从甲地开往乙地，两地间相距300千米，货车平均速度是千米/时，已经行驶了4小时，再行驶()千米到达乙地。当时，再行驶()千米到达乙地。【答案】300－4a20【分析】根据路程＝速度×时间；用货车行驶的速度×已经行驶的时间，即a×4，求出4小时行驶的路程；再用两地间的距离－4小时行驶的路程，求出再行驶多少千米到达乙地。当a＝70时，代入求出的含有字母的式子，即可解答。【详解】300－a×4＝（300－4a）千米a＝70时：300－4×70＝300－280＝20（千米）一辆货车从甲地开往乙地，两地间相距300千米，货车平均速度是千米/时，已经行驶了4小时，再行驶（300－4a）千米到达乙地。当时，再行驶20千米到达乙地。4．（2024·辽宁大连·小升初真题）甲乙两车相距s千米，两车同时出发相向而行，甲每小时行a千米，乙车每小时行b千米。（1）行驶2小时，两车共行多少千米？（用含有a、b的式子表示）（2）行驶3小时，如果两车还没相遇，两车相距多少千米？（用含有s、a、b的式子表示）（3）行驶4时，两车正好相遇，请写出s、a、b三者的数量关系式。【答案】（1）（2a＋2b）千米（2）（s－3a－3b）千米（3）s＝4（a＋b）【分析】（1）根据“路程＝速度×时间”，用两车的速度和乘两车共同行驶的时间即可；（2）用S千米减去两车3小时行驶的路程，即可求出两车相距的路程；（3）S千米等于两车的速度和乘两车共同行驶的时间，据此解答。【详解】（1）（a＋b）×2＝（2a＋2b）（千米）答：行驶2小时，两车共行（2a＋2b）千米。（2）s－（a＋b）×3＝（s－3a－3b）（千米）答：两车相距（s－3a－3b）千米。（3）s＝4（a＋b）【解题技巧】1）字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数量关系表示出来.2）用字母表示数的意义：有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义.使思维过程简约化，易于形成概念系统.1．（2024·山东潍坊·小升初真题）妈妈去超市购物，微信的钱包余额为m元，买了6个同样的玻璃杯，每个玻璃杯n元，微信钱包里还剩（

）元。A．m－n B．6n C．m－6n D．6（m－n）【答案】C【分析】先根据“总价＝单价×数量”求出买6个玻璃杯需要的钱数，再用微信的钱包余额减去花的钱数，即是微信钱包里还剩下的钱数。【详解】m－6×n＝（m－6n）（元）微信钱包里还剩（m－6n）元。故答案为：C2．（2024·浙江杭州·小升初真题）将一个正方形的边长增加1.5cm，就得到一个新正方形。用含有字母的式子表示“增加的面积”，其中错误的是（

）。A．（a＋1.5）2－a2 B．1.5a×2＋1.52C．（a＋a＋1.5）×1.5 D．1.5×（a＋1.5）×2【答案】D【分析】A．a表示原来正方形的边长，a＋1.5表示原来正方形的边长增加1.5cm以后的边长，根据正方形的面积＝边长×边长，用增加1.5cm后的正方形的面积减去原来正方形的面积；B．增加的面积＝阴影小长方形的面积×2＋阴影小正方形的面积，据此列式；C．如图：把右面小长方形的面积割掉，把它补到最下面，则最下面阴影部分的面积就是增加的面积，最下面是一个长方形，长方形的长为（a＋a＋1.5）cm，宽为1.5cm，根据长方形的面积＝长×宽计算即可判断；D．1.5×（a＋1.5）×2表示两个长为（a＋1.5）cm，宽为1.5cm的面积，多加了一个边长为1.5cm的小正方形的面积，该选项错误。【详解】A．增加的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，也就是（a＋1.5）2－a2，正确；B．增加的面积＝阴影小长方形的面积×2＋阴影小正方形的面积，也就是1.5a×2＋1.52，正确；C．由分析可知：阴影部分的面积＝（a＋a＋1.5）×1.5，该选项列式正确；D．由分析可知：1.5×（a＋1.5）×2多加了一个小正方形的面积，错误。所以错误的是1.5×（a＋1.5）×2。故答案为：D3．（2024·河北石家庄·小升初真题）一个三位数，它的个位上的数字是a，十位上的数字是b，百位上的数字是c。这个三位数是（

）。A．100a＋10b＋c B．100c＋10b＋a C．100abc D．abc【答案】B【分析】百位上的数字是几就表示几个百，十位上的数字是几就表示几个十，个位上的数字是几就表示几个一。这个百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，那么它有a个百，b个十，c个一，据此解答。【详解】a个百是100a，b个十是10b，c个一是c所以这个三位数是100c＋10b＋a。故答案为：B4．（2024·山西忻州·小升初真题）一个长方形的宽是厘米，长是宽的3倍，这个长方形的长是厘米，周长是厘米，面积是平方厘米。【答案】3a8a3a2【分析】根据求一个数的几倍是多少，用乘法，长是宽的3倍，宽是a厘米，则长是a×3＝3a厘米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽解答即可。【详解】a×3＝3a（厘米）（3a＋a）×2＝4a×2＝8a（厘米）3a×a＝（平方厘米）所以这个长方形的长是3a厘米，周长是8a厘米，面积是平方厘米。5．（2024·湖南张家界·小升初真题）张阿姨租了一个店面，去年每月租金为a元，今年每月租金比去年上涨了，今年每月租金为()元。如果a等于1200，那么今年每月租金为()元。【答案】a1320【分析】（1）分析题目，把去年的租金看作单位“1”，则今年的租金是去年的（1＋），据此结合求一个数的几分之几是多少用乘法列式计算即可；（2）把a＝1200代入（1）中求出的式子中并求值即可。【详解】a×（1＋）＝a×＝a（元）当a＝1200时，a＝×1200＝1320（元）张阿姨租了一个店面，去年每月租金为a元，今年每月租金比去年上涨了，今年每月租金为a元。如果a等于1200，那么今年每月租金为1320元。6．（2024·湖南株洲·小升初真题）如图线段AB的长度用含有字母“a”的式子表示为分米，当a＝5分米时，线段AB的长度是分米。【答案】（2a＋3）13【分析】从图中可知，线段AB由两段长度为a分米的线段和一段长度为3分米的线段组成，两段长度为a分米的线段总长度是a＋a＝2a分米，再加上3分米的那段，所以线段AB的长度用含有字母“a”的式子表示为（2a＋3）分米；把a＝5代入2a＋3中，根据先乘除后加减的运算顺序，先算乘法2×5＝10，再算加法10＋3＝13分米，所以此时线段AB的长度是13分米。【详解】a＋a＋3＝2a＋3当a＝5时，2a＋3＝2×5＋3＝13所以线段AB的长度用含有字母“a”的式子表示为（2a＋3）分米，当a＝5分米时，线段AB的长度是13分米。考点二：等量代换1．（2020·云南昆明·小升初真题）如果○、囗、△各代表一个数，根据下面的已知条件，求○、囗、△的值。正确的是（

）。○＋△＝91

△－○＝35

○＋囗＝73A．○＝28，囗＝45，△＝63 B．○＝45，囗＝28，△＝63C．○＝45，囗＝63，△＝63 D．○＝63，囗＝45，△＝28【答案】A【分析】利用和差问题公式：（和＋差）÷2＝较大数，将○＋△＝91，△－○＝35这两个等式左右两边分别相加，再除以2，求出△的值；将△的值代入○＋△＝91中，根据和－一个加数＝另一个加数，求出○的值；将○的值代入○＋囗＝73，同理求出囗的值。【详解】△：（91＋35）÷2＝126÷2＝63将△＝63代入○＋△＝91可得：○＋63＝91○＝91－63○＝28将○＝28代入○＋囗＝73可得：28＋囗＝73囗＝73－28囗＝45故答案为：A【点睛】本题考查和差问题以及等量代换问题，弄清各图形之间的数量关系是解题的关键。2．（2024·河南三门峡·小升初真题）一辆小汽车的牌照是豫M8L〇□△，已知〇＋〇＝□，〇＋□＋□＋5＝15，△＋△＝〇，那么牌照号码的后三位数是()。【答案】241【分析】分析题目，根据“〇＋〇＝□，〇＋□＋□＋5＝15”可知：〇＋〇＋〇＋〇＋〇＋5＝15，据此可知〇＝（15－5）÷5，进而求出○，再用○＋○求出□，最后根据△＋△＝〇，用○除以2即可求出△。【详解】因为〇＋〇＝□，〇＋□＋□＋5＝15，所以〇＋〇＋〇＋〇＋〇＋5＝15，那么〇＝（15－5）÷5＝10÷5＝2□＝2＋2＝4△＝2÷2＝1因此，牌照号码的后三位数是241。3．（2023·四川成都·小升初真题）体育教师到商店买6个足球和3个篮球，要付396元；则买10个足球和5个篮球要付()元。【答案】660【分析】6个足球和3个篮球是396元，将这些球每2个足球和1个篮球放在一起，能分成3份，每一份就是132元。将10个足球和5个篮球也是每2个足球和1个篮球放在一起，这样可以分成5份。每一份是132元，5份要多少钱，用乘法。【详解】396÷3＝132（元）132×5＝660（元）则买10个足球和5个篮球要付660元。4．（2023·四川成都·小升初真题）已知，求的值。【答案】3【分析】479749这个数比较大，我们可以用暂时一个字母表示这个数。，根据分数和除法的关系，＝＝k，则＝3k，同理，。通过计算发现最后的结果和这个复杂的数字没有关系。【详解】根据分析＝＝＝＝＝35．（24-25六年级上·江苏·单元测试）看图列式计算。（1）2只小狗的质量相当于多少只兔子的质量？2只小狗的质量相当于多少只母鸡的质量？（2）2只小狗和4只兔子的总质量相当于多少只小狗的质量？也相当于多少只兔子的质量？（3）2只兔子和6只母鸡的总质量相当于多少只兔子的质量？也相当于多少只母鸡的质量？（4）1只小狗和24只母鸡的总质量相当于多少只小狗的质量？也相当于多少只母鸡的质量？【答案】（1）8只；24只（2）3只；12只（3）4只；12只（4）3只；36只【分析】（1）根据题意，求的是2只小狗＝多少只兔子，2只小狗＝多少只母鸡，依据图示，1只小狗＝4只兔子，则2只小狗＝8只兔子；依据图示，1只兔子＝3只母鸡，1只小狗＝4只兔子，则2只小狗＝2×（3×4）＝24只母鸡，据此解答。（2）根据题意，求的是2只小狗＋4只兔子＝多少只小狗，2只小狗＋4只兔子＝多少只兔子，依据图示，1只小狗＝4只兔子，则2只小狗＋4只兔子＝3只小狗；同理，2只小狗＝8只兔子，则2只小狗＋4只兔子＝12只兔子，据此解答。（3）根据题意，求的是2只兔子＋6只母鸡＝多少只兔子，2只兔子＋6只母鸡＝多少只母鸡，已知1只兔子＝3只母鸡，则2只兔子＝6只母鸡，那么2只兔子＋6只母鸡＝4只兔子；同理，2只兔子＋6只母鸡＝12只母鸡，据此解答。（4）根据题意，题中求1只小狗＋24只母鸡＝多少只小狗，1只小狗＋24只母鸡＝多少只母鸡，已知1只小狗＝4只兔子，1只兔子＝3只母鸡，可推算出，1只小狗＝12只母鸡，则1只小狗＋24只母鸡＝3只小狗；1只小狗＋24只母鸡＝多少只母鸡，同理，1只小狗＝12只母鸡，则1只小狗＋24只母鸡＝36只母鸡，据此解答。【详解】（1）2只小狗的质量相当于8只兔子的质量，2只小狗的质量相当于24只母鸡的质量；（2）2只小狗和4只兔子的总质量相当于3只小狗的质量，也相当于12只兔子的质量；（3）2只兔子和6只母鸡的总质量相当于4只兔子的质量，也相当于12只母鸡的质量；（4）1只小狗和24只母鸡的总质量相当于3只小狗的质量，也相当于36只母鸡的质量。【定义】等量代换是指用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）.在数学中，如果a=b且b=c，那么a=c.这种基于等式传递性的代换方法，是代数思想的基础，广泛应用于数学学习和问题解决中.【应用场景】在小学阶段，等量代换常常应用于以下几个方面：1.简单的算术运算：例如，如果知道333个苹果的重量等于666个橘子的重量，那么可以用666个橘子替换333个苹果，从而解决涉及重量比较的问题.2.解决代数方程：通过将一个未知量替换为与之相等的表达式，从而简化方程3.几何问题：在几何中，如果两个图形的面积相等，可以用其中一个图形替换另一个图形，从而解决面积计算问题.1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·小升初真题）A、B、C各代表一个数，已知A－B＝8，A＋B＝14，C＝A＋A＋B，则A、B、C分别等于（

）。A．10、2、22 B．11、3、25 C．11、8、30 D．12、2、26【答案】B【分析】根据A－B＝8，可得A＝B＋8，将其代入A＋B＝14中，可得到B的值，进而求出A和C的值。【详解】根据分析得，把A＝B＋8代入A＋B＝14中可得：B＋8＋B＝142B＝14－82B＝6B＝3A＝8＋3＝11；C＝11＋11＋3＝25。故答案为：B【点睛】此题主要考查了简单的等量代换问题，要熟练掌握。再运用等式的性质求出A、B、C的值。2．（2023·四川成都·小升初真题）如果，，那么()。【答案】34【分析】观察等式得：x比y大12，y比z大5，那么x比z大17。再将式子用乘法的分配律化简。【详解】3．（2023·河北石家庄·小升初真题）△、□、〇、☆、◎各代表一个数。（1）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□。求△和□的值。（2）已知〇＋☆＝160，◎＋☆＝160。〇是否等于◎？【答案】（1）△是18；□是6（2）等于【分析】（1）根据△＋□＝24，△＝□＋□＋□，可知□＋□＋□＋□＝24，即□×4＝24，根据“因数＝积÷另一个因数”据此求出□表示的数，再把□表示的数代入△＝□＋□＋□中，求出△表示的数。（2）已知〇＋☆＝160，◎＋☆＝160，根据“加数＝和－另一个加数”得出〇＝160－☆，◎＝160－☆，据此得出〇是否等于◎。【详解】（1）由△＋□＝24，△＝□＋□＋□，可得：□＋□＋□＋□＝24；□＝24÷4＝6△＝6＋6＋6＝18答：△的值是18，□的值是6。（2）由〇＋☆＝160可得：〇＝160－☆；由◎＋☆＝160可得：◎＝160－☆；所以〇＝◎。答：〇等于◎。4．（23-24六年级下·江苏·课后作业）下图中一个小玻璃球的体积是多少立方厘米？（每个小玻璃球同样大）一个大玻璃球的体积是多少立方厘米？【答案】3立方厘米；14立方厘米【分析】看图可知，1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积是17立方厘米，1个大玻璃球和3个小玻璃球的体积是23立方厘米，1个大玻璃球和3个小玻璃球的体积－1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积＝2个小玻璃球的体积，2个小玻璃球的体积÷2＝1个小玻璃球的体积，1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积－1个小玻璃球的体积＝1个大玻璃球的体积。【详解】（23－17）÷（3－1）＝6÷2＝3（立方厘米）17－3＝14（立方厘米）答：一个小玻璃球的体积是3立方厘米，一个大玻璃球的体积是14立方厘米。5．（23-24五年级上·全国·周测）观察思考：下图中③号天平的右边盘里应该放几个苹果？【答案】5个【分析】由①号天平可知：4个苹果＝8个梨，即1个苹果＝2个梨；由②号天平可知：7个梨＝1个菠萝＋1个梨，即6个梨＝1个菠萝；③号天平的左边有1个菠萝和4个梨，用6个梨代替1个菠萝，则相当于左边有个梨，再看相当于几个苹果。据此解答。【详解】①号天平：4个苹果＝8个梨，即1个苹果＝2个梨②号天平：7个梨＝1个菠萝＋1个梨，即6个梨＝1个菠萝③号天平：1个菠萝＋4个梨＝个梨＝10个梨10个梨＝个苹果＝5个苹果答：③号天平的右边盘里应该放5个苹果。考点三：等式与方程的概念辨析1．（2024·江苏盐城·小升初真题）下面的式子中，（

）是方程。A．3.2＋1.8＝5 B．x－6 C． D．2a＋3b【答案】C【分析】方程是指含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答即可。【详解】A．3.2＋1.8＝5，是等式，但不含未知数，所以不是方程；B．x－6，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；C．x＝1，含有未知数，且是等式，所以是方程；D．2a＋3b，含有未知数，但不是等式，所以不是方程。故答案为：C2．（2024·云南西双版纳·小升初真题）“妈妈买来600g蓝莓，买来的杨梅比蓝莓多，买来杨梅多少g？”关于下列等量关系正确的是（

）。A．蓝莓的重量×＝杨梅的重量 B．蓝莓的重量×（1＋）＝杨梅的重量C．蓝莓的重量÷＝杨梅的重量 D．蓝莓的重量÷（1－）＝杨梅的重量【答案】B【分析】已知杨梅比蓝莓多，把蓝莓的重量看作单位“1”，则杨梅比蓝莓多的重量占蓝莓的，杨梅的重量是蓝莓的（1＋），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此得出等量关系。【详解】根据题意可得出等量关系：蓝莓的重量×＝杨梅比蓝莓多的重量；蓝莓的重量×（1＋）＝杨梅的重量；所以，四个选项中等量关系正确的是：蓝莓的重量×（1＋）＝杨梅的重量。故答案为：B3．（2024·江苏扬州·小升初真题）如图中，不正确的是（

）。A．B．C． D．【答案】C【分析】A．表示相等关系的式子叫等式。含有未知数的等式叫做方程。据此判断。B．偶数：像2，4，6，8…都是2的倍数的数叫做偶数。奇数：像1，3，5，7…不是2的倍数的数叫做奇数。据此判断。C．质数：只有1和它本身两个因数的数叫做质数；合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数。据此判断。D．真分数：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于或者等于1。据此判断。【详解】A．据分析可知，方程是等式的一种特殊形式，正确。B．据分析可知，非0自然数中可分为奇数和偶数，正确。C．非0自然数中包含1，但1既不是质数也不是合数，因此把非0自然数直接分成质数和合数并不正确。D．据分析可知，分数可分为真分数和假分数，正确。故答案为：C4．（2024·四川成都·小升初真题）下面每组概念都是我们学过的重要知识，其中有（

）组概念可以用下面的图形来准确表示它们间的关系。①奇数和偶数

②平行四边形和长方形③平行和相交

④等式和方程A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；②在四边形中，两组对边都平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是长方形，长方形是特殊的平行四边形；③同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线；④表示等号左右两边相等的式子是等式，含有未知数的等式叫做方程；据此解答。【详解】①奇数不包含偶数，偶数也不包含奇数，不符合题意；②长方形是特殊的平行四边形，符合题意；③在同一平面内，只有两种位置关系，不是相交就是平行，不符合题意；④等式不一定是方程，方程一定是等式，符合题意；所以其中有2组概念可以用下面的图形来准确表示它们间的关系。故答案为：B5．（22-23五年级上·河北·期末）在①9+x＝18②y﹣21＝30③7a④5×16＝80⑤x÷4⑥x﹣72＞100中等式有：方程有：（填序号）【答案】①、②、④①、②【详解】等式是指用等号连接的式子；方程是指含有未知数的等式；所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。1）等式：表示相等关系的式子叫作等式。2）方程：含有未知数的等式。3）方程一定是等式，等式不一定是方程。注意：如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二是含有未知数．1．（2022·湖南湘西·小升初真题）小学阶段我们学习了很多知识，知识之间有着密切的联系。下图中：如果A表示长方形，那么B可以表示正方形；如果A表示等腰三角形，那么B表示()；如果B表示方程，那么A可以表示()。【答案】等边三角形等式【分析】长方形和正方形的关系是长方形包括正方形，正方形是特殊的长方形；等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形；方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。据此解答。【详解】根据分析得，如果A表示等腰三角形，那么B表示等边三角形；如果B表示方程，那么A可以表示等式。【点睛】此题主要考查长方形与正方形、等边三角形与等腰三角形、方程与等式之间的关系，应熟练理解并掌握它们的意义与联系。2．（2022·四川广安·小升初真题）下面式子中，不是方程的是（

）。A．－5＝1 B．4＋2＝16 C．3－2＞7 D．＋1＝3【答案】C【分析】含有未知数的等式叫做方程，据此逐项分析。【详解】A．－5＝1，既含有未知数，又是等式，所以是方程；B．4＋2＝16，既含有未知数，又是等式，所以是方程；C．3－2＞7，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；D．＋1＝3，既含有未知数，又是等式，所以是方程。故答案为：C【点睛】掌握方程的意义及辨识方法是解题的关键。3．（2018·江苏无锡·小升初真题）小学阶段学到了很多数学知识，知识之间有着密切的联系．如图中，若A表示长方体，则B可以表示正方体；若A表示等腰三角形，则B可以表示()；若B表示方程，则A可以表示()【答案】等边三角形等式【详解】略4．（2020·江苏苏州·小升初模拟）根据下图中的数量关系，求出x＝()，y＝()。xxxxxyyy16.2xx【答案】5.49【详解】先比较第一行和第三行，发现3x＝16.2，算出x＝5.4；再比较第一行和第二行，5x＝3y，算出5x＝5×5.4＝27，y＝27÷3＝9。【点睛】这题考查的是学生观察、比较、推理的能力。5．（2020·北京·小升初模拟）下面的式子中，（

）能表示如图所示的数量关系。A． B． C．b＝3a D．a＝3b【答案】B【分析】根据线段图得出a是2份，b是3份，求a是b的几分之几，用a÷b＝2÷3＝，即a＝b，据此解答即可。【详解】a是2份，b是3份，a是b的：a÷b＝2÷3＝，即a＝b。故选：B。【点睛】此题考查了等量关系与方程，解决此题的关键是求一个数是另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数。考点四：等式的性质1．（2024·河北保定·小升初真题）如果3x＝6y，那么。()【答案】×【分析】根据等式的性质2，等式两边同时除以3，化为：x＝2y；比例的基本性质：在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，根据比例的基本性质的逆运算，即可解答。【详解】3x＝6y3x÷3＝6y÷3x＝2yx∶y＝2∶1如果3x＝6y，那么x∶y＝2∶1。原题干说法错误。故答案为：×2．（24-25五年级上·福建三明·期末）在天平的“？”处添加下列物品后，天平不能保持平衡的是（

）。A． B． C． D．【答案】A【分析】从图中可知，1个球的质量相当于2个正方体的质量，那么3个球的质量相当于6个正方体的质量；右图中天平的右端已有2个正方体，再添加4个正方体，天平能保持平衡；否则天平不能保持平衡。【详解】A．天平右端原有2个正方体，再添加6个正方体，则右端有2＋6＝8个正方体，天平不能保持平衡；B．天平右端原有2个正方体，再添加，相当于添加2＋2＝4个正方体，则右端有2＋4＝6个正方体，天平能保持平衡；C．天平右端原有2个正方体，再添加，相当于添加2＋2＝4个正方体，则右端有2＋4＝6个正方体，天平能保持平衡；D．天平右端原有2个正方体，再添加4个正方体，则右端有2＋4＝6个正方体，天平能保持平衡。故答案为：A3．（24-25五年级上·北京延庆·期末）图形□，☆表示两个不为0的数，并且☆＝□，依据等式的性质，下面等式中（

）不成立。A．☆＋3＝□＋0.3 B．☆□ C．☆□ D．☆□【答案】A【分析】等式两边同时加上、减去、乘上或除以一个相同的数（0除外），等式的左右两边仍相等，据此解答即可。【详解】A．等式左边加的是3，等式右边加的是0.3，所以等式不成立；B．等式的左右两边同时除以7.2，所以等式成立；C．等式的左右两边同时减去4.6，所以等式成立；D．等式左边除以2，即乘0.5，等式右边乘0.5，所以等式左右两边同时乘0.5，等式成立；故答案为：A4．（24-25五年级上·河北·单元测试）在括号里填上合适的算式。(1)如果x＝12，那么x＋12＝()。(2)如果4x＋5＝29，那么4x＝()。(3)如果5x×3＝27，那么5x＝()。(4)如果2x÷6＝18，那么2x＝()。【答案】(1)12＋12(2)29－5(3)27÷3(4)18×6【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；（1）观察发现等式左边的x加了12，那么等式右边的12也要加上12；（2）观察发现等式左边的4x＋5变为4x是减去了5，那么等式右边的29也要减去5；（3）观察发现等式左边的5x×3变为5x是除以3，那么等式右边的27也要除以3；（4）观察发现等式左边的2x÷6变为2x是乘6，那么等式右边的18也要乘6；据此解答。【详解】（1）如果x＝12，那么x＋12＝12＋12。（2）如果4x＋5＝29，那么4x＝29－5。（3）如果5x×3＝27，那么5x＝27÷3。（4）如果2x÷6＝18，那么2x＝18×6。5．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）仔细观察如图：

x＝20

2x（

）20×（

）3x（

）60

3x÷3（

）60÷（

）（1）填一填。（2）说一说，你发现什么？【答案】（1）＝；2；＝；＝；3；（2）我发现：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变。【分析】（1）根据天平左右两边相等，可知第二个天平为2x＝20×2，第三个天平为3x＝60，因为3x÷3＝x，60÷3＝20，所以第四个天平为3x÷3＝60÷3。（2）通过观察发现，等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变。【详解】（1）（2）我发现：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变。性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。【易错易混】1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立.1．（2022·浙江宁波·小升初真题）如果，而，那么()。【答案】12【分析】根据，可得，代入到中去，利用等式的性质，求出的值。【详解】根据分析得，，，可得【点睛】此题考查简单的等量代换，利用等式的性质，求出结果。2．（2024·北京东城·小升初模拟）根据下图天平平衡的状态，求出一杯水的质量。【答案】1.5kg【分析】1杯水为单位“1”，由图可知1杯水的重量＝杯水的重量＋kg，我们可以根据等式的基本性质，两边同时减去杯水的重量，即（1－）杯水的重量＝kg。据此一杯水的重量＝kg÷（1－）杯水。【详解】÷（1－）＝÷＝×＝1.5（kg）答：这杯水的质量为1.5kg。【点睛】此题需掌握等式的基本性质，通过数形结合的思想进行转化。3．（24-25五年级下·江苏苏州·期中）在8.9×☆－☆×6.4＝10中，☆为同一个数，☆＝()。【答案】4【分析】根据乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；乘法分配律公式为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，a×c±b×c＝（a±b）×c，将算式转化为：☆×（8.9－6.4）＝10，合并计算出括号的结果后，根据等式性质2计算出结果即可，据此解答。【详解】8.9×☆－☆×6.4＝10☆×（8.9－6.4）＝10☆×2.5＝10☆＝10÷2.5☆＝4所以，在8.9×☆－☆×6.4＝10中，☆为同一个数，☆＝4。4．（23-24六年级下·江苏·课后作业）根据等式的性质在括号里填上适当的符号和数。(1)如果x＋4.5＝16.5，那么x＋4.5－4.5＝16.5()。(2)如果x－15＝25.6，那么x－15()＝25.6＋15。(3)如果4x＝7.2，那么4x÷4＝7.2()。(4)如果x÷5＝2.5，那么x÷5()＝2.5×5。【答案】(1)－4.5(2)＋15(3)÷4(4)×5【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式。等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。（1）根据等式的性质1，等式的左边减去4.5，右边也要减去4.5；（2）根据等式的性质1，等式的右边加上15，左边也要加上15；（3）根据等式的性质2，等式的左边除以4，右边也要除以4；（4）根据等式的性质2，等式的右边乘5，左边也要乘5；【详解】（1）如果x＋4.5＝16.5，那么x＋4.5－4.5＝16.5－4.5。（2）如果x－15＝25.6，那么x－15＋15＝25.6＋15。（3）如果4x＝7.2，那么4x÷4＝7.2÷4。（4）如果x÷5＝2.5，那么x÷5×5＝2.5×5。考点五：方程的解1．（2021·甘肃陇南·小升初真题）已知方程的解是，则k的值是（

）。A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】把代入到方程中，然后根据等式的性质解方程即可。【详解】当时解：故答案为：A【点睛】本题考查解方程，熟练运用等式的性质是解题的关键。2．（2022·广东梅州·小升初真题）x＝3是方程（

）的解。A．2x＋9＝15 B．3x＝6 C．3x÷2＝18【答案】A【分析】根据等式的基本性质，分别计算3个选项里方程的解，即可选择出正确的答案。【详解】A．2x＋9＝15解：2x＋9－9＝15－92x＝62x÷2＝6÷2x＝3B．3x＝6解：3x÷3＝6÷3x＝2C．3x÷2＝18解：3x÷2×2＝18×23x＝363x÷3＝36÷3x＝12所以，解是x＝3的方程是：2x＋9＝15。故答案为：A【点睛】本题主要考查方程的解，关键利用等式的基本性质解方程。3．（23-24五年级下·江苏·课后作业）括号里x的值，哪个是方程的解？把它圈出来。（1）x＋9＝46（x＝37，x＝55）

（2）39－x＝12（x＝51，x＝27）（3）1.9＋x＝5.6（x＝7.5，x＝3.7）

（4）x－0.1＝1（x＝1.1，x＝0.9）（5）5.6－x＝0.4（x＝6，x＝5.2）

（6）x＋0.8＝1（x＝1.8，x＝0.2）【答案】见详解【分析】分别把括号里x的值代入方程，如果方程左右两边的结果相等，则这个x的值是方程的解，反之则不是。据此解答。【详解】（1）把x＝37代入方程，左边＝37＋9＝46，右边＝46，左边＝右边，则x＝37是方程的解；（2）把x＝51代入方程，左边不等于右边，则x＝51不是方程的解；把x＝27代入方程，左边＝39－27＝12，右边＝12，左边＝右边，则x＝27是方程的解；（3）把x＝7.5代入方程，左边＝1.9＋7.5＝9.4，右边＝5.6，左边不等于右边，则x＝7.5不是方程的解；把x＝3.7代入方程，左边＝1.9＋3.7＝5.6，右边＝5.6，左边＝右边，则x＝3.7是方程的解；（4）把x＝1.1代入方程，左边＝1.1－0.1＝1，右边＝1，左边＝右边，则x＝1.1是方程的解；（5）把x＝6代入方程，左边不等于右边，则x＝6不是方程的解；把x＝5.2代入方程，左边＝5.6－5.2＝0.4，右边＝0.4，左边＝右边，则x＝5.2是方程的解。（6）把x＝1.8代入方程，左边＝1.8＋0.8＝2.6，右边＝1，左边不等于右边，则x＝1.8不是方程的解；把x＝0.2代入方程，左边＝0.2＋0.8＝1，右边＝1，左边＝右边，则x＝0.2是方程的解。把方程的解圈起来如下：4．（23-24五年级上·上海·单元测试）已知方程：（1）；（2）；（3）。则所满足的方程是（

）。A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【答案】D【分析】由于要使x＝1满足方程，则把x等于1代入方程，分别计算出等号左边的式子的结果和等号右边式子的结果，看两边结果是否相等，如果相等，则满足，如果不相等，则不满足，据此即可分析。【详解】（1）3x＋2＝3×1＋2＝3＋2＝57x－2＝7×1－2＝7－2＝55＝5；满足x＝1；（2）－×1＝－＝＝，所以满足x＝1；（3）（x－1）（x－2）＝0当x＝1时，x－1＝0，0乘任何数都是0，所以（x－1）（x－2）＝0，满足x＝1。故答案为：D【点睛】本题主要根据方程的解代入方程验算方程是否成立，要清楚的知道数字和字母相乘，乘号可以省略。5．（21-22五年级下·河南周口·阶段练习）已知8x－42＝30和□＋x＝9.1的解相同，那么□里应填()。【答案】0.1【分析】先利用等式的性质1和等式的性质2求出8x－42＝30的解，再把方程的解代入□＋x＝9.1，求出□里应填的数，据此解答。【详解】8x－42＝30解：8x－42＋42＝30＋428x＝728x÷8＝72÷8x＝9当x＝9时□＋9＝9.1解：□＋9－9＝9.1－9□＝0.1所以，口里应填0.1。【点睛】题中两个方程的解相同，那么两个方程中x的值相等，掌握等式的性质是求出方程中未知数值的关键。方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.解方程：求方程的解得过程叫做解方程.【易错点】1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程；2）方程的解是通过解方程求得的.3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程x2=4的解），也有可能无解（如【判断一个数是不是某方程的解的方法】只需将这个数代入方程，若方程两边的数值相等，则这个数是方程的解，否则不是.1．（22-23五年级上·河南郑州·期末）下列方程中，与x÷1.2＝6的解相同的方程是（

）。A．0.3x＝21.6 B．x÷4＝1.2 C．x－6＝1.2【答案】C【分析】分别解出题干和各个选项中x的解，找出相同的解即可。【详解】x÷1.2＝6x＝1.2×6x＝7.2A．0.3x＝21.6x＝21.6÷0.3x＝72B．x÷4＝1.2x＝1.2×4x＝4.8C．x－6＝1.2x＝6＋1.2x＝7.2由此可知题干中的解与C选项的解相同。故答案为：C2．（2020·浙江·小升初真题）已知是关于的方程：的解，则()。【答案】4【分析】根据题意，把代入原方程得，解方程即可求得a的值。【详解】解：将代入，得：2×3＋a＝10a＝10－6a＝4【点睛】本题难度较低，主要考查学生对一元一次方程的学习。把已知方程的解代入原式即可。3．（20-21六年级上·全国·期中）满足的最小正整数A＝()；B＝()。【答案】63【分析】利用代数法代入求解，注意A和B是正整数时才符合要求。【详解】因为所以24＝AB都是正整数，所以至少要大于等于24。A最小为3，当A为3，4，5时，B不是正整数不符合题干。当A＝6时，＝9，B＝3。所以A＝6，B＝3。【点睛】代入数值利用等式的性质求解，A和B是正整数是解题的关键。4．（21-22五年级下·河南洛阳·期中）方程与有相同的解，则的值为()。【答案】4【分析】根据得出的值，再代入中，即可得出答案。【详解】解：把带入，得到【点睛】此题考查了学生对解方程的熟练程度和运算能力。5．（21-22五年级上·浙江杭州·期末）看图，列方程是()，这个方程的解()。【答案】47.5【分析】观察图可知，两个b的长度加上5米等于100米，据此列方程即可；根据等式的性质1和性质2，等式的两边先同时减去5，再同时除以2，解方程即可。【详解】解：所以看图列方程是，这个方程的解。【点睛】找准图中的等量关系列方程并求出方程的解是解题的关键。考点六：解方程1．（22-23六年级上·陕西西安·期末）（－）÷－（□－）＝，求□内应填的数。【答案】【分析】（－）÷－（□－）＝，把□看作是未知数，先计算出小括号里的－的差，－＝，再计算除以的商；÷＝，原式化为：－（□－）＝，根据减法性质，原式化为：－□＋＝，再根据等式的性质1，算式两边同时加上□，再减去，即可解答。【详解】（－）÷－（□－）＝（－）÷－（□－）＝×－（□－）＝－□＋＝□＝＋－□＝＋－□＝－□＝2．（2024·河南郑州·小升初真题）解方程。（1）

（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先去括号，然后根据等式的基本性质逐步计算，依次为方程的两边同时减去，再同时加上12，再同时除以3，最后求出方程的解；（2）方程中有分数有小数，先将所有的分数转化为小数，方程转化为，然后根据等式的基本性质解方程，依次为方程的两边先同时加上，然后两边同时减去0.8，最后两边同时除以1.8即可。【详解】（1）解：（2）解：3．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）解方程。（1）（2）（7.6×35%＋6.5×0.76）∶＝1∶2【答案】（1）＝；（2）＝15.2【详解】（1）等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；根据等式的性质，方程两端同时乘6，去分母；再利用乘法的分配律，将括号去掉，然后将等式的两边的整理，有的可以利用乘法的分配律合并，得出5＋3＝12－6，再根据等式的基本性质，先两边同时减去3，交换等号两边式子的位置，再同时减去5，然后两边同时加上9，最后根据等式的性质2，将等式的两边同时除以7即可；（2）先运用乘法分配律将可以算的先算出；在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质；根据比例的性质对比例进行改写，最后根据等式的性质解方程。【解答】（1）解：2（2－1）（＋5）＝6（2－1）4－25＝12－65＋3＝12－65＋3－3＝12－6－35＝12－912－9－5＝5－57－9＝07－9＋9＝0＋97＝97÷7＝9÷7＝（2）（7.6×35%＋6.5×0.76）∶＝1∶2解：（7.6×0.35＋6.5×0.76）∶＝1∶2（0.76×3.5＋6.5×0.76）∶＝1∶2[0.76×（3.5＋6.5）]∶＝1∶2[0.76×10]∶＝1∶27.6∶＝1∶2＝7.6×2＝15.2【点睛】掌握乘法分配律，以及等式的性质，还有比例的基本性质，是解答本题的关键。4．（2023·全国·小升初模拟）解方程或比例。

【答案】；【分析】，依据比例的基本性质，先写成的形式，根据等式的性质1和2，两边同时×，再同时＋1即可。，等式左边的部分，依据分数的基本性质，将小数化成整数，然后根据等式的形式1和2，两边同时×6，去分母，再将能合并的合并起来，解方程即可；【详解】解：解：5．（2023四川成都·小升初模拟）解方程。（1）（2）【答案】；1.5【分析】（1）根据运算法则先去括号，然后把含有未知数的放在等号左边，常数放在等号右边，再根据等式的性质计算即可；（2）根据比例的性质对等式变形，然后再根据等式的性质解方程即可。【详解】（1）解：（2）解：【点睛】此题考查较复杂的解方程，但也是根据等式的性质：等式两边同时加或减相同的数等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个非0数，等式仍然成立，和比例的性质两内项积等于两外项积来计算。1）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。2）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。1．（2023·广东深圳·小升初真题）解方程或解比例。（1）2x＋6x＝8

（2）（3）12.4＋1.8x＝16

（4）∶x=0.75∶【答案】（1）x＝1；（2）；（3）x＝2；（4）【分析】（1）先计算左边的加法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以8，计算即可得解；（2）根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以。再根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时减，计算即可得解；（3）根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时减12.4。再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以1.8，计算即可得解；（4）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积。把等式转化为一般方程，先计算右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以，计算即可得解。【详解】（1）2x＋6x＝8解：8x＝8（2）解：（3）12.4＋1.8x＝16解：（4）∶x＝0.75∶解：2．（2023·陕西西安·小升初真题）解方程。

【答案】x＝2000；x＝1【分析】（1）根据比例的基本性质可得：（0.6x＋400）×3＝（x＋400）×2，运用乘法分配律去掉括号得到：1.8x＋1200＝2x＋800，再根据等式的性质1，方程两边同时减去800，得1.8x＋400＝2x，根据和－一个加数＝另一个加数，可得：2x－1.8x＝400，把方程左边化简为0.2x后，根据等式的性质2，方程两边同时除以0.2即可解答；（2）根据等式的性质2，方程两边同时乘6，得：6x－（x－3）×3＝18－（x＋2）×2，运用乘法分配律去掉括号可得：6x－3x＋9＝18－2x－4，化简方程两边得：3x＋9＝14－2x，再根据等式的性质1，方程两边同时减去9，得：3x＝5－2x，方程两边同时加上2x，得：5x＝5，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以5即可解答。【详解】

解：（0.6x＋400）×3＝（x＋400）×20.6x×3＋400×3＝2x＋400×21.8x＋1200＝2x＋8001.8x＋1200－800＝2x＋800－8001.8x＋400＝2x2x－1.8x＝4000.2x＝4000.2x÷0.2＝400÷0.2x＝2000

解：6x－（x－3）×3＝18－（x＋2）×26x－3x＋9＝18－2x－43x＋9＝14－2x3x＋9－9＝14－9－2x3x＝5－2x3x＋2x＝5－2x＋2x5x＝55x÷5＝5÷5x＝13．（2022·陕西西安·小升初真题）解方程。【答案】【分析】去掉小括号，先化简方程，再根据等式的基本性质解方程。【详解】解：4．（2022·山东济南·小升初真题）解方程。（1）

（2）（3）

（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）将分数和百分数化为小数，然后将左边合并为，最后根据等式的性质，方程左右两边同时除以6.25即可；（2）根据等式的性质，方程左右两边同时乘，再同时除以即可；（3）根据减法各部分的关系，化为，然后根据等式的性质，方程左右两边同时除以即可；（4）先算括号里面的结果为，然后根据等式的性质，方程左右两边同时加上即可。【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：5．（2024·全国·小升初模拟）解方程。

【答案】；【分析】先应用乘法分配律把计算出来，方程两边再同时加减73.5，化简后得到方程，对化简后的方程两边再同时加12后除以6，可以解出未知数；把和分别看作整体，方程两边同时加和，化简后含和的项分别在等号两边，再逆用分配律，分别提出和进行化简后，方程两边同时乘6去掉分母后，运用等式的性质解方程。【详解】解：解：6．（2020·江苏·小升初模拟）解方程。

【答案】＝42；＝19【分析】等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；（2）等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式，据此解答。【详解】解：＝42解：3（3－7）＝5（1－4）－159－21＝5－20－1521－20＝9＋15－5＝19【点睛】等式的性质是解方程的主要依据，解方程时记得写“解”。考点七：数字类规律探索1．（2024·河北张家口·小升初真题）班级联欢会上，同学们按“3个红气球、2个黄气球、2个绿气球、1个白气球”的顺序把气球串起来装饰教室。第132个气球是（

）的。A．红色 B．黄色 C．绿色 D．白色【答案】B【分析】根据题意，这组气球是以3＋2＋2＋1＝8个气球为一个循环周期，分别按3红、2黄、2绿、1白的顺序循环排列；求第132个气球的颜色，就是求132里有几个8，用除法计算，如有余数，余数是几，就是一个循环周期里的第几个气球；如果没有余数，就是一个循环周期里的最后一个气球，据此找到对应的颜色即可。【详解】132÷8＝16……4余数是4，是一个循环周期里的第4个气球，即黄气球；第132个气球是黄色的。故答案为：B2．（2024·河北石家庄·小升初真题）观察下列式子：，，，…请计算＝()。【答案】/0.9【分析】观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解。【详解】3．（2022·四川绵阳·小升初真题）观察下列各式：；；…依此规律，第个等式（为正整数）为()。【答案】【分析】通过观察可知，等式左边依次为：152、252、352，规律是第n个数为（10n＋5）2；等式右边的规律是n（n＋1）×100＋52；据此作答即可。【详解】由分析可得：；；…依此规律，第个等式（为正整数）为。【点睛】本题考查式子的变化规律，能够根据所给式子，观察出等式两边各数的规律是解题关键。4．（2024·河南郑州·小升初真题）奇奇是编程爱好者，他利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：那么，当输入数据8时，输出的数据是()。输入12345…输出…【答案】【分析】根据题意可知，输入第几个数据时，输出的分子就是输入数字×2，分母是输入数字×2＋1，据此求出当输入数据8时，输出的数据。【详解】分子：8×2＝16分母：8×2＋1＝16＋1＝17当输入数据8时，输出的数据是。奇奇是编程爱好者，他利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：那么，当输入数据8时，输出的数据是。5．（2022·陕西西安·小升初真题）如图，在各个手指间标记字母、、、。请你按图中箭头所指方向（即的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当字母第200次出现时，恰好数到的数是()。【答案】599【分析】由题可知，对应的数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，…，可得共6个数为1个周期，1个周期中字母出现2次，先用200除以2求出循环的周期数，再乘6，然后再减去最后一个数字即可。【详解】200÷2×6－1＝100×6－1＝600－1＝599因此当字母C第200次出现时，恰好数到的数是599。【点睛】明确1个周期中字母出现2次是解答此题的关键。6．（2022·陕西西安·小升初真题）将从1开始的连续自然数依次排列成如图所示的形式。观察规律，第20行的第3个数是()。【答案】193【分析】由图可知第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，由此规律可得第19行有19个数；且第19行最后一个数为（1＋2＋3＋4＋5＋…＋18＋19），计算出第19行的最后一个数，则第20行的第3个数为第19行最后一个数＋3，据此解答。【详解】1＋2＋3＋4＋5＋…＋18＋19＝（1＋19）×（19÷2）＝20×9.5＝190190＋3＝193因此第20行的第3个数是193。【点睛】解答本题的关键是计算出第19行的最后一个数，结合排列规律可知，第20行的第3个数等于第19行最后一个数加上3得到。【常见数字规律类型】1）等差数列规律定义：相邻两个数之间的差相等。示例：1,3,5,7,9，公差为2。2）等比数列规律定义：相邻两个数之间的比值相等。例：2,4,8,16,32，公比为2。3）平方数列规律定义：数列中的每个数是自然数的平方。示例：1,4,9,16,25。3）周期数列规律定义：数列按照一定的周期重复出现。示例：1,2,3,1,2,3。4）隔项数列规律定义：数列中每隔一个数字存在规律。示例：1,3,2,6,3,9，奇数位递增1，偶数位递增。5）累加数列规律定义：每个数字由前一个数字加上一个变化的值得出。示例：1,2,4,7,11，分别加1、2、3、4。6）拆项数列规律定义：将数字拆分为多个部分进行分析。示例：12,23,34,45，个位和十位分别递增。【探索数字规律的方法】1）观察法仔细观察数字之间的变化，寻找可能的规律。2）尝试法通过尝试不同的运算（加减乘除）来发现规律。3）归纳法根据已知的数列项，归纳出可能的规律，并验证其正确性。4）图形辅助法将数字转化为图形，通过图形的变化来发现规律1．（2024·四川成都·小升初真题）表二、表三分别是从表一中截取的一部分，那么表中a＝，b＝。【答案】1830【分析】从表格已有数据分析可得：每一列上下两个数字的差相等，第1列上下两个数字相差1，第2列上下两个数字相差2，第3列上下两个数字相差3。每一行左右两个数字的差相等，第1行左右两个数字相差1，第2行左右两个数字相差2，第3行左右两个数字相差3。右边一列数字的差比左边一列数字的差大1，根据规律，即可求解。【详解】根据分析，解答如下：15－12＝3，15＋3＝18从表1中可以发现：表二截取的是其中的一列：上下两个数字相差3，所以15增加3是18，a是18。25－20＋1＝6，24＋6＝30从表1中可以发现：表三截取的是两行两列的相邻的四个数字，左边一列数字的差是5，右边一列数字的差是5＋1＝6，所以b是30。表中a＝18，b＝30。2．（2022·四川绵阳·小升初真题）如果有2019名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1…的规律报数，那么第2019名学生所报的数是（

）。A．2 B．1 C．3 D．4【答案】C【分析】观察这组数的特点，每6个数为一轮，1、2、3、4、3、2，再用2019除以6，看余数，即可确定答案。【详解】根据观察，每6个数为一轮。2019÷6＝336……3则第2019名学生所报的数是3故答案为：C【点睛】本题是一道找规律的题目，对于此类题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。3．（2024·广西柳州·小升初真题）有一串数字：2、3、6、8、8、4…它的规律是：从第三个数开始，每一个数都是前面两个数字乘积的个位数字，那么这串数字的第2022个数字是多少？【答案】4【分析】我们将这串数写下去：2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、4、2、8、6……，不难发现：从第三个数字开始，6、8、8、4、2、8这六个数字循环出现，即以这六个数字为一个周期，那么第2022个数字：用算式（2022－2）÷6计算看余数，余数是几就是这个周期里的第几个数，没有余数就是这个周期里的最后一个数。据此解答即可。【详解】（2022－2）÷6＝2020÷6＝336……4答：这串数字的第2022个数字是4。4．（2024·河南南阳·小升初真题）观察右边算式的规律：22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，…(1)用含有字母n的式子表示规律：()。(2)用规律进行计算：202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12＝()。【答案】(1)n2－（n－1）2＝2n－1(2)210【分析】观察算式，发现规律，相邻两个自然数（0除外）的平方差等于这两个数的和，据此规律写出用字母n表示的式子，并用规律计算出算式的结果。【详解】（1）n2－（n－1）2＝n＋n－1＝2n－1所以用含有字母n的式子表示规律：n2－（n－1）2＝2n－1。（2）202－192＋182－172＋162－152＋……＋22－12＝20＋19＋18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋4＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝（20＋1）×20÷2＝21×10＝210【点睛】本题考查找规律，观察算式，找到算式的规律，应用发现的规律解决问题是解题的关键。考点八：图形类规律探索1．（2024·四川成都·小升初真题）认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，……按照上面的规律，第n幅图的点数为（

）。A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4【答案】A【分析】观察图形，第1幅图的点数为：1＋4×0＝1；第2幅图的点数为：1＋4×1＝5；第3幅图的点数为：1＋4×2＝9；第4幅图的点数为：1＋4×3＝13；……照这个规律，第n幅图点数应为：1＋4（n－1）＝4n－3。【详解】按照上面的规律，第n幅图的点数为（4n－3）。故答案为：A2．（2023·福建莆田·小升初真题）正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到53个正方形，需要操作的次数是（

）。A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】由题意可知，第1次：分别连接各边中点如图2，得到4＋1＝5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9个正方形……以此类推，根据以上操作，则第n次得到4n＋1个正方形，由此规律代入求得答案即可。【详解】第1次：得到4×1＋1＝5（个）正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9（个）正方形……设第n次得到53个正方形。4n＋1＝53，解：4n＋1－1＝53－14n＝524n÷4＝52÷4n＝13故答案为：B【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键。3．（2022·湖南长沙·小升初真题）观察下图，寻找规律，问号处应填入（

）。A． B． C． D．【答案】A【分析】观察图形，看前面两列，每一列的点都在同一个圆圈里，按顺时针转动。【详解】所以第三列的最后一个图跟第三列第一、第二个图一样，点在圆外按顺时针转动。故答案为：A【点睛】观察图形，找出规律，规律是每一列的点都在按顺时针转动。4．（2022·山东枣庄·小升初真题）用小棒搭房子，搭一间用5根，搭三间用13根，如图，照这样子搭504间房子要用（

）根小棒。

A．2015 B．2016 C．2017 D．2018【答案】C【分析】搭1间房子用5根小棒，即4×1＋1；搭2间房子用9根小棒，即4×2＋1；搭3间房子用13根小棒，即4×3＋1；……搭504间房子用的小棒数为：4×504＋1。【详解】4×504＋1＝2016＋1＝2017（根）故答案为：C【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，找出规律是解题的关键。5．（2024·江苏常州·小升初真题）把相同规格的小长方形（黑长方形和白长方形）按规律排列（如图），照此规律，当刚好出现第7个黑长方形时，黑长方形的个数占小长方形总个数的()。【答案】/0.25【分析】观察图形排列规律，可发现是按照“1个黑长方形，n个白长方形”这样的顺序循环排列，其中n依次从1开始递增。当出现第7个黑长方形时，需要先确定此时白长方形的个数。前面6个黑长方形对应的白长方形个数分别是1、2、3、4、5、6个，然后用黑长方形的个数除以此时小长方形（黑长方形与白长方形总和）的总个数，就能得到黑长方形个数占小长方形总个数的比例。【详解】7÷（7＋1＋2＋3＋4＋5＋6）＝7÷（8＋2＋3＋4＋5＋6）＝7÷（10＋3＋4＋5＋6）＝7÷（13＋4＋5＋6）＝7÷（17＋5＋6）＝7÷（22＋6）＝7÷28＝＝0.25黑长方形的个数占小长方形总个数的或0.25。6．（2024·山东潍坊·小升初真题）小华用边长是1厘米的正方形分别摆出如图的图形。按照规律，第5个图形有()个正方形，周长是()厘米。【答案】2528【分析】由图可知，第1个图有1层，有1个正方形，周长是4厘米；第2个图有2层，有4个正方形，周长是10厘米；第3个图有3层，有9个正方形，周长是16厘米；以此类推，正方形的个数＝层数×层数，周长＝6×层数－2，据此解答。【详解】5×5＝25（个）6×5－2＝30－2＝28（厘米）则第5个图形有25个正方形，周长是28厘米。7．（2024·云南西双版纳·小升初真题）如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有()个。【答案】4n－3【分析】第1个图形中圆点有1个，1＝1×4－3；第2个图形中圆点有5个，5＝2×4－3；第3个图形中圆点有9个，9＝3×4－3；第4个图形中圆点有13个，13＝4×4－3规律：第n个图形中圆点有（4n－3）个；按此规律解答。【详解】由分析可得：如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有（4n－3）个。【常见几何规律类型】1.图形数量规律定义：图形按照一定的规律排列，数量逐渐增加或减少。2.图形形状规律定义：图形的形状按照一定的规律变化，如旋转、对称、平移等。示例：正方形、长方形、圆形、三角形，按照一定的顺序循环出现。3.图形面积规律定义：图形的面积按照一定的规律变化，如等差数列或等比数列。示例：正方形的边长依次为1、2、3、4，面积依次为1、4、9、16。4.图形周长规律定义：图形的周长按照一定的规律变化，如等差数列或等比数列。示例：正方形的边长依次为1、2、3、4，周长依次为4、8、12、16。5.图形组合规律定义：多个图形按照一定的规律组合，形成新的图形。示例：用相同的小正方形拼成大正方形，大正方形的边长依次为2、3、4，小正方形的数量依次为4、9、16。1．（2020·江苏南通·小升初真题）现有若干个圆环，它们的外直径都是5厘米，环宽5毫米，将它们扣在一起（如图所示）拉紧后测量总长度。圆环个数1234…总长度（cm）591317…像这样，10个圆环拉紧后的长度是()厘米。如果圆环的个数为n，拉紧后总长度是()厘米。【答案】41（4n＋1）【分析】根据图示可知：1个圆环的长度是5厘米；2个圆环的总长度是5＋4＝9（厘米）；3个圆环的总长度是：5＋4＋4＝13（厘米）；……n个圆环的总长度是：5＋4（n－1）＝（4n＋1）厘米。据此解答即可。【详解】10个圆环的总长度是：4×10＋1＝40＋1＝41（厘米）n个圆环的总长度是：5＋4（n－1）＝（4n＋1）厘米【点睛】此题关键是从简单情形入手，找出图形之间的联系，数字之间的运算规律，利用规律解决问题。2．（2022·陕西渭南·小升初真题）用黑、白两种颜色的正方形按下图中的规律拼图案。第1个图中有4个白色正方形，第2个图中有7个白色正方形，第3个图中有10个白色正方形……，则第10个图中有（

）个白色正方形。A．24 B．27 C．31 D．40【答案】C【分析】对比两个相邻的图的不同之处，发现后一个图是在前一个图的右侧再添上了1个黑色正方形和3