2025年新七年级数学暑假衔接 (人教版)初高衔接点03 列方程解决实际问题 (培优讲义) (教师版)

衔接点03列方程解决实际问题

小学阶段初中阶段

【方程类型】主要学习简单的一元一次方程，【方程类型】从一元一次方程扩展到二元一次方程

如x+5=10或3x−8=16.组、分式方程和一元二次方程，方程的形式更加复

【解题步骤】掌握列方程解决实际问题的一般步骤，杂.

包括设未知数、找出等量关系、列方程、解方程、【解题步骤】学习多种解方程的方法，如代入消元

检验和写答语.法、加减消元法、公式法等，要求学生能够根据方

【应用题类型】涉及简单的实际问题，如购物问题、程的特点选择合适的解法.

行程问题等，通常只有一个未知数，且方程的解法【应用题类型】涉及更复杂的实际问题，如工程问

较为直接.题、利润问题、几何问题等，可能需要多个方程联

立求解.

衔接指引

【小学阶段基础回顾】

理解方程的概念：方程是含有未知数的等式，如x+2=5x+2=5.

解简单的一元一次方程：如x+3=7x+3=7，2x=102x=10.

列方程解决实际问题：如“小明有5个苹果，小红比小明多3个苹果，小红有多少个苹果？”.

【初中阶段的变化与提升】

更复杂的方程类型：一元二次方程、分式方程等.

多步骤的问题解决：需要多个方程或多个步骤才能解决的问题.

抽象思维和逻辑推理：要求更高的抽象思维和逻辑推理能力.

【衔接策略】

巩固基础：确保熟练掌握一元一次方程的解法和应用.

理解方程的本质：方程是描述数量关系的工具，理解等式的基本性质.

逐步增加难度：从简单的问题开始，逐步过渡到更复杂的问题.

培养逻辑思维：通过逻辑推理和问题解决，提高抽象思维能力.

多做练习：通过大量的练习，巩固知识和提高解题技巧.

1

1．列方程解应用题

（1）列方程解应用题的优点。

先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使

问题简单化。

（2）列方程解应用题的一般步骤。

列方程解应用题的基本思路为：问题分析方程求解解答．由此可得解决此类

抽象检验

题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．

要点诠释：

（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系；

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，

单位要统一；

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．

（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．

2．常见的数量关系

1）公式形数量关系

生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，

2

准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。

长方形面积=长×宽长方形周长=2（长+宽）正方形面积=边长×边长正方形周长=4边长

2）约定型数量关系

利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又

不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。

3）基本数量关系

在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么

把这类数量关系称为基本数量关系。

单价×数量=总价速度×时间=路程工作效率×时间=总工作量现价÷原价＝折数

3．分析数量关系的常用方法

1）直译法分析数量关系

将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知

数的等式。

2）列表分析数量关系

当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种

方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。

3）图解法分析数量关系

用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程

问题中，我们常常用此类方法。

考点一：找等量关系与列方程

1．（23-24五年级上·青海海南·期末）根据“18比x的3倍少6”，下面三位同学都列出了方程，正确的有（）

个。

3

A．1B．2C．3

【答案】B

【分析】根据题干可知“18比3x少6”，也就是“3x比18多6”，分析每个选项列式的实际含义，与题干对比

即可。

【详解】A．18－3x＝6表示“18比3x多6”，与题干不符；

B．3x－6＝18表示“3x减去6就是18”，即“3x比18多6”，与题干相符合；

C．3x－18＝6表示“3x比18多6”，与题干相符；

正确的有2个

故答案为：B

1

2．（2024·河南安阳·小升初真题）根据所给信息，如图图形可以用方程“x＋x＝60”来表示的有（）个。

3

A．3B．2C．1

【答案】B

1

【分析】图形1：圆柱和圆锥等底等高，所以圆锥的体积＝圆柱的体积，圆柱的体积是x立方厘米，圆柱

3

11

体积＋圆锥体积＝60cm3，可得：x＋x＝60，所以图形可以用方程“xx60”来表示；

33

图形2：根据三角形面积＝底×高÷2，所以高＝三角形面积×2÷底，已知三角形面积是xcm2，底边长是15cm，

2x2x

则高为：2x÷15＝（cm），可得阴影三角形的面积：5×÷2，两个三角形面积相加等于梯形面积60cm2，

1515

2x11

x＋5×÷2＝60，化简得：x＋x＝60，所以图形可以用方程“xx60”来表示；

1533

21

图形3：根据图示可知土地面积是60cm2，种牡丹的面积为土地面积的为xcm2，没种牡丹的面积为xcm2。

32

11

根据总面积加起来是60平方厘米，列方程为x＋x＝60（cm2），所以图形不可以用方程“xx60”来

23

表示；据此解答。

【详解】根据分析：

11

图形1：等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，列式为：xx60；

33

4

2x2x2x1

图形2：两个三角形面积相加等于梯形面积60cm2，2x÷15＝（cm），x＋5×÷2＝60，x＋×＝60，

151532

11

x＋x＝60，列式为：xx60；

33

11

图形3：种蔬菜的面积是xcm2，空白地方的面积是xcm2，列式为：xx60。

22

1

前两幅图图形可以用方程“xx60”来表示。即只有2个图形满足题意。

3

故答案为：B

3．（2022·北京朝阳·小升初真题）

如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所

列方程中不正确的是（）。

A．1.5x＋2＝20B．20－1.5x＝2C．1.5x＝20＋2D．1.5x＝20－2

【答案】C

【分析】根据题目中的数量关系：这周产生的可回收垃圾的质量×1.5＋2＝上一周产生的可回收垃圾的质量，

假设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克，上一周产生的可回收垃圾的质量是20千克，代入列出方程，

求解即可。

【详解】解：设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克。

x×1.5＋2＝20

1.5x＋2＝20

1.5x＝20－2

1.5x＝18

x＝18÷1.5

x＝12

即这周产生的可回收垃圾的质量是12千克。

方程1.5x＋2＝20可变换成：20－1.5x＝2和1.5x＝20－2。

故答案为：C

【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把这周产生的可回收垃圾的质量设为未知数x，找出题中数量间的相

等关系，列出包含x的等式，得到最终的结果。

5

4．（2024·江苏扬州·小升初真题）数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程。

两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉。“振兴”号的速度是x千米/时，“丰春”号的速度更快，是

32千米/时，7.5小时后两船相距30千米。

()＝

根据上面的数量关系式列出方程：。

【答案】“丰春”号的速度×时间－“振兴”号的速度×时间两船相距的路程32×7.5

－7.5x＝30

【分析】根据“路程＝速度×时间”可得出：“丰春”号7.5小时行驶了7.5x千米，“振兴”号7.5小时行驶了（32×7.5）

千米，再用“丰春”号行驶的路程减去“振兴”号行驶的路程，即是7.5小时后两船相距30千米，据此先写出

数量关系式，再根据数量关系式列出方程。

【详解】数量关系式：“丰春”号的速度×时间－“振兴”号的速度×时间＝两船相距的路程

根据上面的数量关系式列出方程：32×7.5－7.5x＝30。

5．（2024·辽宁沈阳·小升初真题）鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，如果用a表示厘米数，鞋子的码数

比厘米数的2倍少10厘米，那么表示码数的式子是，小明穿38码的鞋子，他的鞋子厘米数

是厘米。

【答案】2a－1024

【分析】根据题意可得出数量关系：鞋子的厘米数×2－a＝鞋子的码数，据此用含字母的式子表示码数；

已知小明穿38码的鞋子，即上一问的式子的值等于38，据此列出方程，根据等式的性质求出方程的解。

【详解】如果用a表示厘米数，鞋子的码数比厘米数的2倍少10厘米，那么表示码数的式子是（2a－10）；

2a－10＝38

解：2a－10＋10＝38＋10

2a＝48

2a÷2＝48÷2

a＝24

小明穿38码的鞋子，他的鞋子厘米数是24厘米。

6．（2024六年级下·江苏·专题练习）下面等量关系中，可以用3x－6＝30表示的是（）。

A．小芳买了x只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元

B．黑兔有x只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只

C．故事书有x本，科技书有30本，科技书比故事书多6本

D．书法小组有x人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人

6

【答案】D

【分析】A．等量关系：买水笔应付的钱数＋找回的钱数＝付给营业员的钱数，由此列出方程；

B．等量关系：黑兔的只数－6＝白兔的只数×3，由此列出方程；

C．等量关系：科技书的本数－故事书的本数＝科技书比故事书多的本数，由此列出方程；

D．等量关系：书法小组人数×3－6＝舞蹈小组的人数，由此列出方程。

【详解】A．列方程为：3x＋6＝30，不符合题意；

B．列方程为：x－6＝30×3，不符合题意；

C．列方程为：30－x＝6，不符合题意；

D．列方程为：3x－6＝30，符合题意。

故答案为：D

【找等量关系的方法】

1.从事情变化的结果找等量关系.（分析事情变化的原因与结果，找出其中的相等关系）

2.从关键句中找等量关系.（抓住题目中的关键句，理解其中的数量关系）

3.从常见的数量关系中找等量关系.（利用常见的数量关系，如工作效率×工作时间=工作总量，单价×

数量=总价等）

4.从公式中找等量关系.（利用几何图形的面积、周长公式等作为等量关系）

5.从隐蔽条件中找等量关系.（注意题目中隐藏的条件，如鸡有2条腿，兔有4条腿等）

【总结】

1.找等量关系是列方程的关键，需要仔细分析题目中的信息，理解数量关系.

2.列方程是将等量关系转化为数学表达式的过程，需要注意未知数的设定和方程的正确性.

3.通过多练习，可以提高找等量关系和列方程的能力，从而更好地解决实际问题.

1．（2024·福建莆田·小升初真题）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”。如图中，图（）

能正确地表示出“2a＋6”的数量关系。

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】A．根据加法的意义，表示的是2＋a＋6＝a＋8；

7

B．根据加法的意义，表示的是a＋a＋6＝2a＋6；

C．根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，列式是（6＋a）×2＝2a＋12；

D．大长方形的面积＝2个小长方形的面积之和，根据长方形的面积＝长×宽，列式即可。大长方形的面积

＝2a＋6a＝8a。据此解答。

【详解】A．表示的是2＋a＋6＝a＋8；

B．表示的是a＋a＋6＝2a＋6；

C．表示的是（6＋a）×2＝2a＋12；

D．表示的是2a＋6a＝8a。

图B能正确地表示出“2a＋6”的数量关系。

故答案为：B。

2．（2020·浙江·小升初真题）合唱团有男生47人，比女生人数的3倍多2人，合唱团的女生有多少人？设

合唱团的女生有x人，则下面方程中，正确的是（）。

A．47x32B．3x472C．3x2x47D．3x247

【答案】D

【分析】结合题意，男生47人，比女生人数的3倍多2人，以女生数为基准量（一倍），女生人数的3倍

加2人就等于男生47人。

【详解】解：设女生有x人。

3x247

3x472

3x45

x15

故答案为：D

【点睛】找准男生、女生人数的等量关系，是解答本题的关键。本题的等量关系式：女生人数的3倍＋2＝

男生的47人。

1

3．（23-24六年级下·河北沧州·期末）下面图中的数量关系，能用方程x＋x＝60的有（）个。

3

A．3B．2C．4D．1

8

【答案】B

【分析】把60分成4份，其中1份表示x，白色部分占3份，表示为3x，深色部分占1份表示x，据此列

出方程为：3x＋x＝60；

11

设梨树有x棵，把梨树看作单位“1”，已知杨树比梨树多，则梨树的（1＋）＝杨树的棵树，据此列出方

33

11

程为：（1＋）x＝60，即x＋x＝60；

33

把60分成8份，其中2份表示x，剩下6份表示3x，据此列出方程为：x＋3x＝60；

1

等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，将圆柱体积设为xcm3，则圆锥体积为xcm3，两者体积和是60cm3，

3

1

据此列出方程为：x＋x＝60；据此选择。

3

1

【详解】由分析可得：图中的数量关系，能用方程x＋x＝60的有2个。

3

故答案为：B

4．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）全民阅读，学习强国。周日，笑笑上午在图书馆阅读1.2小时，下午

在图书馆阅读1.5小时。如果笑笑平均每小时阅读m个字，一天一共阅读了4050个字，列出方程是

()。

【答案】（1.2＋1.5）m＝4050

【分析】根据题意可得出等量关系：（笑笑上午的阅读时间＋笑笑下午的阅读时间）×笑笑平均每小时阅读

的字数＝笑笑一天阅读的总字数，据此列出方程即可。

【详解】（1.2＋1.5）m＝4050

解：2.7m＝4050

m＝4050÷2.7

m＝1500

列出方程是（1.2＋1.5）m＝4050。（答案不唯一）

5．（24-25六年级上·北京海淀·期末）星光小学篮球队、足球队和田径队的队员人数之间的关系，如下图所

示。

9

根据图中信息，同学们列出了四个等量关系，其中正确的（）。

4343

①足球队人数篮球队人数②足球队人数田径队人数③篮球队人数田径队人数④篮球队

5454

43

人数田径队人数

54

A．只有①②B．只有③④C．只有②③④D．有①②③④

【答案】C

4

【分析】看图可知，将篮球队人数看作单位“1”，足球队人数是篮球队的；将足球队人数看作单位“1”，田

5

343

径队人数是足球队的，田径队人数是篮球队人数的，根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，

454

逐个进行分析。

43444

【详解】①＝，田径队人数是篮球队人数的，足球队人数田径队人数，原等量关系错误；

54555

3

②足球队人数田径队人数，等量关系正确；

4

43

③篮球队人数田径队人数，等量关系正确；

54

43

④篮球队人数田径队人数，等量关系正确。

54

其中正确的只有②③④。

故答案为：C

考点二：数学文化问题

1．（2024·湖南岳阳·小升初真题）鸡兔同笼是中国古代数学名题之一，在《孙子算经》中有记载。如果鸡

兔同笼，上有35个头，下有94只脚，那么鸡有()只，兔有()只。

【答案】2312

【分析】设鸡有x只，则兔有35x只，则鸡有2x只脚，兔有435x只脚，再根据鸡脚＋兔脚＝94只，

列出方程解答即可。

【详解】解：设鸡有x只，则兔有35x只，

2x435x94

2x1404x94

10

2x1404x4x944x

2x140944x

2x1402x944x2x

942x140

942x9414094

2x46

2x2462

x23

兔：352312（只）

所以鸡有23只，兔有12只。

2．（2025六年级下·全国·专题练习）《九章算术》是我国古代一部伟大的数学名著，其中描述了这样一道

题：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车日行25千米，不装米的空车日行35千米，5日往返三次。

两地相距千米。

87511

【答案】/24

3636

5

【分析】5日往返三次，则往返一次需要5÷3＝（日）。设往返一次装米的车行了x日，则不装米的车行

3

5

驶了（－x）日。根据题意可得：往返一次装米的车的速度×所用时间＝不装米的车的速度×所用时间，据

3

5

此可列出方程25x＝35×（－x）。解出方程求出往返一次装米的车所用的时间后，再根据速度×时间＝路

3

程，用25乘所用的时间，即可求出两地相距的路程。

5

【详解】5÷3＝（日）

3

解：设往返一次装米的车行了x日。

5

25x＝35×（－x）

3

175

25x＝－35x

3

175

25x＋35x＝

3

175

60x＝

3

11751

60x×＝×

60360

35

x＝

36

11

35875

25×＝（千米）

3636

则两地相距875千米。

36

【点睛】列方程解答本题比较简单。先求出往返一次所需的时间，再分别用含有字母的式子表示装米和不

装米的车所行的路程，从而列方程求出所用时间是解题的关键。

3．（2024六年级下·陕西西安·学业考试）《张丘建算经》卷上第31问中有如下问题：“今有七百人造浮桥，

九日成，今增五百人，问日几何？”意思是现在有700人造浮桥，9天能完成，如果增加500人，那么几天

能完成？（假设每人每天的工作效率相等）

【答案】5.25天

【分析】假设每人每天的工作效率是1，设x天能完成，根据工作总量＝工作效率×工作时间，工作总量相

等，列出方程解答即可。

【详解】解：假设每人每天的工作效率是1，设x天能完成。

700500x170091

1200x6300

1200x120063001200

x5.25

答：5.25天能完成。

4．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：

“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马

每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”

【答案】20天

【分析】根据题意可得出等量关系：（快马的速度－慢马的速度）×快马行走的天数＝慢马先行的路程，据

此列出方程，并求解。

【详解】解：设快马x天可以追上慢马。

（240－150）x＝150×12

90x＝1800

x＝1800÷90

x＝20

答：快马20天可以追上慢马。

5．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）《算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，其中有一首

12

“以碗知僧”，大意是：山上有一古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，

一共用了364只碗。请问都来寺里有多少个和尚。利用方程知识可以解决这个有趣的问题，我们试一下吧！

以碗知僧

魏巍古寺在山中，不知寺内几多僧，

三百六十四只碗，恰合用尽不差争，

三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，

请问先生能算者，都来寺内几多僧。

——摘自（明）程大位著《算法统宗》

【答案】624个

1

【分析】根据题意，设都来寺里有x个和尚；由“3个和尚合吃一碗饭”可知，一个和尚吃碗饭，则吃饭共

3

111

用了x只碗；由“4个和尚合分一碗汤”可知，一个和尚喝碗汤，则喝汤共用了x只碗；

344

根据“一共用了364只碗”可得出等量关系：吃饭用碗的数量＋喝汤用碗的数量＝碗的总数，据此列出方程，

并求解。

【详解】解：设都来寺里有x个和尚。

11

x＋x＝364

34

43

x＋x＝364

1212

7

x＝364

12

7

x＝364÷

12

12

x＝364×

7

x＝624

答：都来寺里有624个和尚。

【点睛】本题考查列方程解决问题，理解“3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤”的含义，从题目中找

出等量关系，根据等量关系列出方程解答。

数学文化类问题主要根据题干中找到等量关系解题即可。

（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量．

13

（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率

等．

1．（24-25六年级上·山西长治·期中）某调查组仿照《曹冲称象》的故事中所用的方法，称出一头大象重

1

2.53t。在称的过程中，石头不够、又选了一些单人平均体重约为每筐石头的的志愿者上船，一筐石头大

3

约重()千克。

【答案】172.5

【分析】2.53吨＝2530千克；设一筐石头大约重x千克，12筐石头是12x千克；单人平均体重约为每筐石

111

头的，单人平均体重为x千克，8人体重约为（8×x）千克；12筐石头的重量＋8人的重量＝大象的重

333

1

量，列方程：12x＋8×x＝2530，解方程，即可解答。

3

【详解】解：设一筐石头的大约重是x千克。

1

12x＋8×x＝2530

3

8

12x＋x＝2530

3

44

x＝2530

3

44

x＝2530÷

3

3

x＝2530×

44

x＝172.5

一筐石头大约重172.5千克。

2．（22-23五年级下·辽宁·课后作业）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条

索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托。如果1托为5尺，那么设竿子长为x尺，依据

题意，可列出方程得。

【答案】（x＋5）÷2＝x－5

14

【分析】根据题意可知，索比竿子长一托，也就是长5尺，设竿子长为x尺，则索长（x＋5）尺；对折索

子来量竿，却比竿子短一托，也就是索子的一半比竿子短5尺，据此可知，（x＋5）÷2＝x－5，据此解出

方程即可。

【详解】根据分析可知，设竿子长为x尺，依据题意，可列出方程得（x＋5）÷2＝x－5。

【点睛】本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的关系式是解答本题的关键。

3．（2020·北京房山·小升初真题）根据题意列方程，不解答。

我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书中，记载了一些诗歌形式的算题，其中有一道趣题：一百

馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，

如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完。试问大、小和尚各多少人？

【答案】解：设大和尚有x人，根据题意可列方程：

100x

3x100

3

【分析】首先找到题中的等量关系，为大和尚吃馒头数量＋小和尚吃馒头数量＝100。再设大和尚为x人，

并用含有x的式子结合题意表示大小和尚分别吃掉的馒头数量，代入等式即可。

【详解】等量关系：大和尚吃馒头数量＋小和尚吃馒头数量＝100。因为设大和尚人数为x人，则小和尚人

数为（100－x）人。再依据题中“大和尚1人分3个，小和尚3人分1个”，则大和尚吃馒头总数为3x个，

100x100x

小和尚吃馒头总数为，故列式为3x100。

33

【点睛】鸡兔同笼问题，既可用假设法来解，也可用方程。用方程来解时，是顺向思维占主导作用。

4．（2024六年级下·全国·专题练习）《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出

六，不足十六。

问：人数、鸡价各几何？

译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元。有几人？鸡的价格是多少元？

【答案】9人；70元

【分析】根据题意可知，鸡的总价、总人数是不变的，总人数×9元－11元＝总人数×6元＋16元，设一共

有x人，列方程为9x－11＝6x＋16，然后解出方程即可。

【详解】解：设一共有x人。

9x－11＝6x＋16

15

9x－11＋11＝6x＋16＋11

9x＝6x＋27

9x－6x＝6x＋27－6x

3x＝27

3x÷3＝27÷3

x＝9

9×9－11

＝81－11

＝70（元）

答：有9人；鸡的价格是70元。

【点睛】本题主要考查了盈亏问题，可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。

5．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里

关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关。”大意是：有一个人走了378里路，第一天健步

行走，第二天因脚疼，每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地。请计算此人第二天走的路

程。(注：里，古代长度单位)

【答案】96里

【分析】根据题意每天行走的路程为前一天的1，所以可以设第一天走的路程为x，那么第二天走的路程为

2

1111

x，第三天走的路程为x的是x，以此类推，六天行走的路程是378里，根据这一等量关系列方程解

2224

答即可。

1111111111111

【详解】1÷2＝×＝×＝×＝×＝

2224428821616232

1

解：设此人第一天走了x里路，则第二天走了x里路。

2

11111

xxxxxx378

2481632

32168421

xxxxxx378

323232323232

63

x378

32

63

x378

32

32

x378

63

x192

16

1

192×＝96（里）

2

答：此人第二天走了96里。

考点三：行程问题

1．（2024·四川绵阳·小升初真题）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地。两车行

驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象解决以下问题：

（1）慢车的速度为（）km/h，快车的速度为（）km/h。

（2）求当x为多少时，两车之间的距离为500km？

【答案】（1）80；120；

（2）当x为1.1或6.25时，两车之间的距离为500km。

【分析】（1）设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，根据速度时间＝路程，结合题意得：3.6×

（a＋b）＝720，（9－3.6）×a＝3.6×b，解方程即可。

（2）两车行驶过程中有2次两车之间的距离是500km，相遇前：（80＋120）x＝720－500，解方程即可；

相遇后：点C（6，480），慢车再行驶20km两车之间的距离为500km，计算慢车行驶20km需要的时间，

再加上6即可得解。

【详解】（1）解：设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h。

（9－3.6）×a＝3.6×b

5.4a＝3.6b

b5.43.6a

b1.5a

把b1.5a代入关系式3.6×（a＋b）＝720

3.6（a＋1.5a）＝720

3.62.5a＝720

9a＝720

17

a＝7209

a80

b1.580120

慢车的速度为80km/h，快车的速度为120km/h。

（2）相遇前：（80＋120）x＝720－500

解：200x＝220

x＝220200

x1.1

相遇后：因为点C（6，480），慢车再行驶20千米两车之间的距离为500千米。

20÷80＝0.25（时）

x＝6＋0.25＝6.25（时）

答：当x为1.1或6.25时，两车之间的距离为500km。

【点睛】根据题意找出关系式，有两个未知数的，要先替换为一个未知数，解方程；相遇前两车有一次距

离500km；相遇后两车又有一次距离500km；还要注意，快车已到乙地，两车距离不到500km，慢车还得

再行20km。

2．（24-25五年级上·山东济南·期末）甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出，

3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车每小时行驶多少千米？（用

方程解答）

【答案】63千米

【分析】根据题意可知，设货车每时行千米，则货车速度×时间＋客车速度×时间＋135＝540，据此列出方

程求解即可。

【详解】解：设货车每小时行驶x千米。

3×72＋3x＋135＝540

216＋3x＋135＝540

351＋3x＝540

3x＝540－351

3x＝189

x＝189÷3

x＝63

答：货车每小时行驶63千米。

18

3．（2024·河南郑州·小升初真题）如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲

从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边

（AB、BC、CD或DA）上。

【答案】DA

【分析】设乙第一次追上甲用了x分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上70×3，根据其相等关系

列方程得72x＝65x＋70×3，根据正方形的周长＝边长4，再用甲行走的总路程除以正方形的周长，所得

的余数再与AB，AB与BC的和，AB、BC与CD的和比较即可得解。

【详解】解：设乙第一次追上甲用了x分钟。

72x＝65x＋70×3

72x－65x＝65x＋210－65x

7x＝210

7x÷7＝210÷7

x＝30

65×30＝1950（米）

704280（米）

1950÷280＝6（圈）……270（米）

AB的距离是70米，AB与BC的和是702140（米），AB、BC与CD的和是703210（米）

70210270280

所以，乙第一次追上甲是在DA边上。

【点睛】根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，求出乙第一次追上甲两人所用的时间，

因为两人围绕正方形走了多圈，再按照周期问题找到两人相遇的位置即可。

4．（2024六年级下·四川·专题练习）明明家和学校相距2300米，每天步行上学，有一天他正以每分钟80

米的速度前进着，一抬头看见路边的钟表发现要迟到，他马上改用每分钟150米的速度跑步前进，途中共

用20分钟，准时到达了学校。明明在离学校多远的地方开始跑步？

【答案】1500米

【分析】设明明以每分钟80米的速度行了x分钟，则以每分钟150米的速度行了（20－x）分钟。根据每

19

分钟80米的速度所行的路程每分钟150米的速度所行的路程明明家到学校的路程，列方程解答。

【详解】解：设明明以每分钟80米的速度行了x分钟。

80x150(20x)2300

80x3000150x2300

300070x2300

7x＝3000－2300

70x700

70x÷70＝700÷70

x10

23008010

2300800

1500（米)

答：明明在离学校1500米远的地方开始跑步。

【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下：

①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间；

Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间；

Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+

两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．

解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．

1．（2024·山西运城·小升初真题）甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客车分别从甲乙两地同时相

向开出，经过6小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多少？（用方程解）

【答案】货车的速度是63千米/时；客车的速度是77千米/时

【分析】已知路程和相遇时间，以及两车速度差，通过设货车速度为x千米/时，利用客车与货车速度关系

20

表示出客车速度；再依据相遇问题“路程＝速度和×相遇时间”这一公式列出方程求解。

【详解】解：设货车速度为x千米/时，则客车速度为（x＋14）千米/时。

（x＋x＋14）×6＝840

（2x＋14）×6＝840

（2x＋14）×6÷6＝840÷6

2x＋14＝140

2x＋14－14＝140－14

2x＝126

2x÷2＝126÷2

x＝63

x＋14＝63＋14＝77

答：货车的速度是63千米/时，客车的速度是77千米/时。

2．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）带着小狗的小明和小兵同时从相距1200米的两地相向而行，小明每

分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到

小明后再向小兵那边跑……当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？

【答案】2400米

【分析】根据题意可知，先设小明、小兵x分相遇，结合相遇公式：速度和×相遇时间＝全长，算出他们的

相遇时间，再根据速度×时间＝路程这一公式，用相遇时间乘上小狗的速度即可算出答案。

【详解】解：设小明和小兵x分相遇。

（55＋65）x＝1200

120x＝1200

120x÷120＝1200÷120

x＝10

240×10＝2400（米）

答：小狗一共跑了2400米。

3．（2024·四川绵阳·小升初真题）A、B两市相距176千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公

路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路。

1

甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的。

24

3

（1）如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各

2

21

是多少？

（2）如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时

间才能完成任务？

【答案】（1）甲队：50千米/小时，乙队：30千米/小时

（2）11小时

3

【分析】（1）设乙队的行进速度是x千米/小时，则甲队的行进速度是（x＋5）千米/小时。从早上7点

2

到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了2.5小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙

走的路程和＝两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可。

1

（2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作0.5小时，完成了总量的，根据工

24

1

作效率＝工作总量÷工作时间，用÷0.5求出甲的效率。设乙的效率为y，由于甲队工作了6小时，乙队工

24

作的时间是：6－0.5＝5.5（小时），根据工作效率×工作时间＝工作总量，甲队工作量＋乙队工作量＝1，

据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间。

3

【详解】（1）解：设乙队的行进速度是x千米/小时，则甲队的行进速度是（x＋5）千米/小时。

2

9：00－7：00＝2（小时）

2小时＋0.5小时＝2.5小时

3

2×（x＋5）＋2.5x＝176－1

2

3

2×x＋2×5＋2.5x＝175

2

3x＋10＋2.5x＝175

5.5x＝175－10

5.5x＝165

x＝165÷5.5

x＝30

3

30×＋5

2

＝45＋5

＝50（千米/小时）

答：甲队的行进速度是50千米/小时，乙队的行进速度是30千米/小时。

11111

（1）÷0.5＝÷＝×2＝

242422412

22

解：设乙的工作效率为