22.1.1相似多边形课件-沪科版数学九年级上册

22.1.1相似多边形第22章

相似形【2025-2026学年】沪科版

数学

九年级上册

授课教师：********班级：********时间：********22.1.1相似多边形一、相似多边形的定义在平面几何中，相似多边形是具有特殊关系的一类多边形。如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。例如，有两个四边形ABCD和A'B'C'D'，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠D=∠D'，并且\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}\)，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，相似比为\(\frac{AB}{A'B'}\)。特别地，当相似比为1时，这两个相似多边形全等，全等多边形是相似多边形的特殊情况。二、相似多边形的性质对应角相等：相似多边形的对应角大小完全相同。如相似三角形中，若△ABC∽△A'B'C'，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。这一性质在解决与角度相关的几何问题时非常有用，通过相似多边形的对应关系，可以快速得出未知角的度数。对应边成比例：相似多边形的对应边长度之比是一个定值，即相似比。在相似四边形ABCD和A'B'C'D'中，已知相似比为k，若AB=3，A'B'=6，因为\(\frac{AB}{A'B'}=k\)，所以可求出相似比\(k=\frac{1}{2}\)，进而可根据其他已知边的长度求出对应的未知边长度。周长比等于相似比：设两个相似多边形的相似比为k，边长分别为\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)与\(b_1,b_2,\cdots,b_n\)，则它们的周长\(C_1=a_1+a_2+\cdots+a_n\)，\(C_2=b_1+b_2+\cdots+b_n\)。由于\(\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}=k\)，所以\(\frac{C_1}{C_2}=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}=k\)。例如，两个相似三角形，相似比为2∶3，若其中一个三角形周长为10，则另一个三角形周长为10÷\(\frac{2}{3}\)=15。面积比等于相似比的平方：对于相似多边形，设相似比为k，它们的面积分别为\(S_1\)与\(S_2\)。以相似三角形为例，通过三角形面积公式\(S=\frac{1}{2}ah\)（a为底，h为高），结合相似三角形对应边成比例以及对应高也成比例（比例为相似比k），可推导出\(\frac{S_1}{S_2}=k^2\)。若两个相似五边形相似比为3∶4，已知其中一个五边形面积为9，则另一个五边形面积为9÷(\(\frac{3}{4}\))²=16。三、相似多边形的判定定义法：对于两个边数相同的多边形，若能证明它们的对应角都相等，并且对应边都成比例，那么这两个多边形相似。在判断两个四边形是否相似时，需分别测量出它们的四个内角以及四条边的长度，逐一验证对应角相等和对应边成比例这两个条件是否同时满足。这种方法是判定相似多边形的最基本方法，但在实际操作中，对于边数较多的多边形，测量和验证过程较为繁琐。对于三角形的特殊判定方法两角分别相等的两个三角形相似：在△ABC和△A'B'C'中，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，则△ABC∽△A'B'C'。因为三角形内角和为180°，当两个角分别相等时，第三个角必然也相等，再结合相似多边形定义，可判定这两个三角形相似。两边成比例且夹角相等的两个三角形相似：若在△ABC和△A'B'C'中，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，且∠A=∠A'，则△ABC∽△A'B'C'。通过构造全等三角形等方法可以证明该判定定理的正确性，此方法在解决已知三角形部分边和角关系的相似问题时较为常用。三边成比例的两个三角形相似：当\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}\)时，△ABC∽△A'B'C'。这是利用边的比例关系直接判定三角形相似的方法，在一些几何图形中，若能通过已知条件得出三边对应成比例，即可快速判定三角形相似。虽然对于三角形有多种简洁的判定方法，但对于其他多边形，目前还没有像三角形那样简洁通用的判定定理，通常还是需要依据定义来判定相似性。四、相似多边形的应用图形缩放：在绘图、地图制作、设计等领域，常常需要对图形进行放大或缩小。通过相似多边形的知识，按照一定的相似比进行操作，能保证缩放后的图形与原图形相似，保持形状不变。绘制一幅城市地图时，若要将实际城市区域按1∶100000的比例缩小绘制在图纸上，地图上的各个区域与实际城市区域就是相似多边形关系，地图上的距离与实际距离成比例，这样人们可以根据地图准确了解城市的布局和距离信息。解决实际问题中的长度和角度测量：在一些无法直接测量长度或角度的情况下，利用相似多边形的性质可以间接求解。测量河对岸两点之间的距离时，可以在河这边构造一个与包含河对岸两点的三角形相似的三角形，通过测量这边三角形的边长，利用相似比计算出河对岸两点的距离。在一个直角三角形中，已知一个锐角和一条直角边，要测量另一条直角边长度，可构造与之相似的直角三角形，根据相似多边形对应边成比例来求解。建筑和工程设计：建筑师在设计建筑物时，需要考虑不同尺度下建筑结构的相似性。一个建筑的模型与实际建成的建筑是相似的，通过对模型的研究和计算，可以预测实际建筑的性能和效果。在设计桥梁时，工程师可以先制作小比例的桥梁模型，通过测试模型的力学性能等，依据相似多边形原理推算出实际桥梁在各种情况下的性能表现，从而优化设计方案，确保工程的安全性和可行性。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解新课导入在日常生活中，常常需要将一个图形按一定的比例放大或缩小，但不改变其形状.

这些形状相同的图形有什么特征呢？

新课探究我们知道由同一底片直接印出来的照片与扩印出来的照片，它们的形状是相同的.

在制作大小尺寸不同的国旗时，所画的两个五角星图形，它们的形状也是相同的.我们把这种形状相同的两个图形说成是相似的图形.

如图所示，正方形ABCD和正方形A1B1C1D1是相似的图形.ABCDA1B1C1D1思考：两个相似的多边形有什么特征呢？1.63.2

ABCDA1B1C1D1∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1;1.63.2ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1=DAD1A1=1.63.2=12

等边三角形ABC和等边三角形A1B1C1也是相似的图形；ABCA1B1C124

ABCA1B1C124∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，ABA1B1=BCB1C1=CAC1A1=24=12

一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形.归纳总结相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.

随堂演练1.如图，矩形ABCD与矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？ABCDA1B1C1D1312.51.5不相似，对应边长度的比不相等

2.如图，菱形ABCD与菱形A1B1C1D1相似吗？为什么？A1B1C1D1DABC60°45°不相似，对应角不相等

3.如图，两个正六边形的边长分别为a和b，它们相似吗？为什么？相似.各对应角相等，各对应边长度的比相等.ab

核心必知

一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角______，对应边长度的比______，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形____________的比叫做相似比或相似系数.相等相等对应边长度1星题

基础练知识点1

相似图形1.［2025年1月合肥期末］下列各组图形中，是相似图形的是(

)CA.

B.

C.

D.

2.下列各组图形：①放大(或缩小)的图片与原来的图片；②在同一张中国地图上，北京市和合肥市的市区地图；③同一张底片洗出的两张尺寸不同的照片；④两个半径不相等的圆.其中相似的有________.(填序号)

知识点2

相似多边形及相似比(第3题)

是

(第4题)

4或92星题

中档练6.［2025年1月六安期末］如图，把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形，若每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比是(

)B

3星题

提升练8.中考趋势·阅读理解如果一个图形能分割