2025年理科甲卷试题及答案

2025年理科甲卷试题及答案本文借鉴了近年相关经典试题创作而成，力求帮助考生深入理解测试题型，掌握答题技巧，提升应试能力。一、选择题（每题5分，共60分）1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x^2-ax+1=0},若B⊆A，则实数a的取值集合为（）A.{1,2}B.{1}C.{2}D.{0,1,2}2.函数f(x)=2^x+1在区间[-1,1]上的值域为（）A.[1,3]B.[2,3]C.[1,2]D.[3,4]3.若复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z等于（）A.1B.-1C.iD.-i4.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=3，则该数列的前6项和为（）A.18B.21C.24D.275.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，则φ的值为（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/46.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角B的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°7.已知直线l：y=kx+1与圆C：(x-1)^2+(y-2)^2=4相交于两点，则k的取值范围为（）A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)8.执行如下程序框图，若输入的n为10，则输出的S的值为（）```开始S=1i=1循环体S=S+ii=i+1若i<=n，则继续循环输出S结束```A.55B.56C.65D.669.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)在区间[-1,3]上的极值点的个数为（）A.0B.1C.2D.310.在直角坐标系中，点A(1,2)和B(3,0)关于直线l对称，则直线l的方程为（）A.x-y+1=0B.x-y-1=0C.x+y-1=0D.x+y+1=011.已知三棱锥A-BCD的体积为V，底面BCD的面积为S，点A到平面BCD的距离为h，则下列说法正确的是（）A.V=1/3ShB.V=1/2ShC.V=ShD.V=2Sh12.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=16，则b_3等于（）A.4B.8C.32D.64二、填空题（每题6分，共24分）13.已知函数f(x)=log_a(x+1)，若f(2)=1，则a的值为________。14.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a:b:c=3:4:5，则cosA的值为________。15.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=4，则圆心C到直线l：3x-4y+5=0的距离为________。16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，c=1，则sinB的值为________。三、解答题（共56分）17.（10分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x。（1）求f(x)的导函数f'(x)；（2）求f(x)在区间[-1,3]上的极值。18.（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5。（1）求cosA的值；（2）求△ABC的面积。19.（12分）已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，且f(π/6)=1/2。（1）求φ的值；（2）求f(x)的最小正周期和单调递增区间。20.（12分）在直角坐标系中，点A(1,2)和B(3,0)关于直线l对称，求直线l的方程。（1）求直线l的斜率k；（2）求直线l的方程。21.（10分）已知三棱锥A-BCD的体积为V，底面BCD的面积为S，点A到平面BCD的距离为h。（1）写出三棱锥A-BCD的体积公式；（2）若S=4，h=3，求三棱锥A-BCD的体积V。答案及解析一、选择题1.C解析：A={1,2}，B⊆A，则B的可能为∅，{1}，{2}，若B=∅，则Δ=0，解得a=±√2，不满足题意，舍去；若B={1}，则Δ=0且1-a+1=0，解得a=2；若B={2}，则Δ=0且4-2a+1=0，解得a=5/2，不满足题意，舍去。故a=2。2.B解析：f(x)在[-1,1]上单调递增，f(-1)=1/2，f(1)=3，值域为[1/2,3]。3.D解析：|z|=1，设z=a+bi(a,b∈R)，则z^2+z+1=0变为a^2-b^2+a+bi+b=0，实部虚部分别为0，解得a=-1/2，b=√3/2，故z=-i。4.C解析：设公差为d，则a_1+3d+a_1+5d=15，2a_1+4d+2a_1+6d=3，解得a_1=9，d=-3，前6项和为6a_1+15d=24。5.B解析：f(π/4)=sin(π/2+φ)=1，解得φ=3π/4。6.D解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/2，故B=60°。7.C解析：圆心(1,2)，半径2，直线l过(0,1)，故圆心到直线l的距离d=|31-42+5|/√(3^2+4^2)=√2<2，故k的取值范围为(-2,2)。8.A解析：模拟程序执行，S依次为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55。9.C解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1±√3/3，故极值点为1-√3/3和1+√3/3。10.A解析：设直线l方程为y-2=k(x-1)，点B关于l对称点B'的坐标为(1,-1)，直线BB'的斜率为-1/k，方程为y=-(1/k)(x-3)，联立解得k=-1，故方程为x-y+1=0。11.A解析：三棱锥体积公式V=1/3Sh。12.B解析：b_4=b_1q^3，q=2，b_3=b_1q^2=8。二、填空题13.2解析：f(2)=log_a(3)=1，a=3。14.3/5解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=3/5。15.4解析：圆心(1,2)，直线l：3x-4y+5=0，距离d=|31-42+5|/√(3^2+4^2)=4。16.√3/2解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/2，故sinB=√3/2。三、解答题17.（1）f'(x)=3x^2-6x+2；（2）令f'(x)=0，解得x=1±√3/3，f(-1)=-4，f(1)=0，f(3)=-4，故极大值为0，极小值为-4。18.（1）cosA=(3^2+5^2-4^2)/(235)=1/2，故A=60°；（2）S=1/234sin60°=6√3/2=3√3。19.（1）f(π/4)=sin(π/2+φ)=1，φ=3π/4；（2）T=π/ω=π，单调递增区间为[2kπ-π/4,2kπ+3π/4]。20.（1）k=(0-2)/(3-1)=-1；（2）y-2=-1(x-