2025年上海理科试题及答案

2025年上海理科试题及答案本文借鉴了近年相关经典试题创作而成，力求帮助考生深入理解测试题型，掌握答题技巧，提升应试能力。---2025年上海理科试题一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数\(f(x)=\sin(x+\pi)\cos(x+\pi)\)的最小正周期是：A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{3\pi}{2}\)2.若复数\(z=1+i\)，则\(\bar{z}\cdotz\)的值是：A.2B.1C.-1D.03.在等差数列\(\{a_n\}\)中，已知\(a_1=3\)，\(a_5=9\)，则\(a_{10}\)的值是：A.15B.18C.21D.244.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是：A.8B.12C.16D.20（注：此处应插入三视图图示，此处省略）5.函数\(f(x)=\ln(x+1)-x\)在区间\((-1,1)\)上的单调性是：A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增6.在直角坐标系中，点\(P(a,b)\)关于直线\(y=x\)对称的点的坐标是：A.\((a,b)\)B.\((b,a)\)C.\((-a,-b)\)D.\((-b,-a)\)7.设\(\triangleABC\)的内角\(A\)、\(B\)、\(C\)的对边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，若\(\cosA=\frac{1}{2}\)，则\(\sinB\cdot\sinC\)的值是：A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.1D.\(\frac{3}{4}\)8.某工厂生产的产品次品率为10%，现从中随机抽取3件产品，恰好有1件次品的概率是：A.0.1B.0.3C.0.28D.0.279.设\(f(x)=x^3-3x+1\)，则\(f'(1)\)的值是：A.-1B.0C.1D.210.在极坐标系中，曲线\(r=2\cos\theta\)的直角坐标方程是：A.\(x^2+y^2=2x\)B.\(x^2+y^2=2y\)C.\(x^2+y^2=-2x\)D.\(x^2+y^2=-2y\)11.设\(A\)和\(B\)是两个事件，若\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.7\)，且\(P(A\cupB)=0.9\)，则\(P(A\capB)\)的值是：A.0.3B.0.4C.0.5D.0.612.在空间直角坐标系中，平面\(x+2y+3z=6\)与\(z\)-轴的交点坐标是：A.\((0,0,2)\)B.\((0,0,3)\)C.\((0,0,6)\)D.\((0,0,1)\)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）13.若\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=k\)，则\(k\)的值是________。14.在直角三角形\(\triangleABC\)中，若\(\angleA=30^\circ\)，\(\angleB=60^\circ\)，则\(\angleC\)的度数是________。15.设\(z=2+i\)，则\(|z|^2\)的值是________。16.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现随机抽取2名学生，则抽取到的2名学生都是男生的概率是________。三、解答题（本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分12分）已知函数\(f(x)=x^3-ax^2+bx\)，且\(f(1)=0\)，\(f'(1)=2\)。（1）求\(a\)和\(b\)的值；（2）判断\(f(x)\)在\(x=1\)处是否取得极值，并说明理由。18.（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x=t^2-1\\y=t^3-t\end{cases}\)（\(t\)为参数）。（1）求曲线\(C\)的普通方程；（2）求曲线\(C\)上到点\(A(1,0)\)距离最近的点的坐标。19.（本小题满分12分）已知数列\(\{a_n\}\)是等比数列，且\(a_1=2\)，\(a_3=8\)。（1）求\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）设\(S_n\)为数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和，求\(S_n\)的最大值。20.（本小题满分14分）在一个袋中装有若干个红球和白球，其中红球的数量是白球数量的2倍。现从中随机抽取1个球，记录颜色后放回，再抽取1个球，记录颜色。（1）若抽到的2个球颜色相同的概率为\(\frac{2}{5}\)，求袋中红球和白球各有多少个；（2）现改为从中随机抽取2个球，则抽取到的2个球颜色不同的概率是多少？21.（本小题满分14分）已知函数\(f(x)=\sin(2x)+\cos(2x)\)。（1）求\(f(x)\)的最小正周期；（2）求\(f(x)\)在区间\([0,\pi]\)上的最大值和最小值。22.（本小题满分14分）在空间直角坐标系中，已知点\(A(1,2,3)\)，\(B(2,1,0)\)，\(C(0,3,2)\)。（1）求向量\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{AC}\)的坐标；（2）求向量\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{AC}\)的夹角余弦值；（3）求以\(A\)、\(B\)、\(C\)为顶点的三角形的面积。---答案与解析一、选择题1.D解析：\(f(x)=\sin(x+\pi)\cos(x+\pi)=-\sin(x)\cos(x)=-\frac{1}{2}\sin(2x)\)，其最小正周期为\(\frac{2\pi}{2}=\pi\)。2.A解析：\(\bar{z}=1-i\)，\(\bar{z}\cdotz=(1-i)(1+i)=1^2-i^2=2\)。3.B解析：等差数列的公差\(d=\frac{a_5-a_1}{5-1}=\frac{9-3}{4}=3\)，\(a_{10}=a_1+9d=3+9\cdot3=30\)。4.C解析：根据三视图可知，该几何体是一个长方体，其体积为\(4\times4\times2=32\)。5.B解析：\(f'(x)=\frac{1}{x+1}-1\)，在\((-1,1)\)上，\(\frac{1}{x+1}>1\)，故\(f'(x)<0\)，函数单调递减。6.B解析：点\(P(a,b)\)关于直线\(y=x\)对称的点的坐标是\((b,a)\)。7.A解析：\(\cosA=\frac{1}{2}\)，则\(\angleA=60^\circ\)，故\(\sinB\cdot\sinC=\sin(120^\circ)\cdot\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}\)。8.C解析：次品率为10%，抽取3件恰好有1件次品的概率为\(\binom{3}{1}\cdot0.1\cdot0.9^2=3\cdot0.1\cdot0.81=0.243\)。9.C解析：\(f'(x)=3x^2-3\)，\(f'(1)=3\cdot1^2-3=0\)。10.A解析：\(r=2\cos\theta\)，两边平方得\(r^2=2r\cos\theta\)，即\(x^2+y^2=2x\)。11.A解析：\(P(A\capB)=P(A)+P(B)-P(A\cupB)=0.6+0.7-0.9=0.4\)。12.A解析：令\(x=0\)，\(2y+3z=6\)，令\(y=0\)，得\(z=2\)。二、填空题13.4解析：\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4\)。14.90^\circ解析：直角三角形内角和为180^\circ，故\(\angleC=180^\circ-30^\circ-60^\circ=90^\circ\)。15.5解析：\(|z|^2=(2)^2+(1)^2=4+1=5\)。16.\(\frac{3}{10}\)解析：\(P(\text{2男})=\frac{\binom{30}{2}}{\binom{50}{2}}=\frac{\frac{30\cdot29}{2}}{\frac{50\cdot49}{2}}=\frac{30\cdot29}{50\cdot49}=\frac{870}{2450}=\frac{3}{10}\)。三、解答题17.解（1）\(f(1)=1-a+b=0\)，即\(a=1+b\)。\(f'(x)=3x^2-2ax+b\)，\(f'(1)=3-2a+b=2\)，代入\(a=1+b\)，得\(3-2(1+b)+b=2\)，解得\(b=1\)，\(a=1+1=2\)。（2）\(f(x)=x^3-2x^2+x\)，\(f'(x)=3x^2-4x+1\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=1\)或\(x=\frac{1}{3}\)，\(f''(x)=6x-4\)，\(f''(1)=2>0\)，故\(x=1\)处取得极小值。18.解（1）消去参数\(t\)，得\(y=t^3-t\)，\(t=\sqrt{x+1}\)，\(y=(\sqrt{x+1})^3-\sqrt{x+1}=(x+1)^{3/2}-(x+1)^{1/2}\)，普通方程为\(y=(x+1)^{1/2}((x+1)^{1}-1)\)。（2）设\(d=\sqrt{(x-1)^2+y^2}\)，代入参数方程，化简得最小值点。19.解（1）\(a_3=a_1q^2=8\)，\(q^2=4\)，\(q=2\)，\(a_n=2\cdot2^{n-1}=2^n\)。（2）\(S_n=\frac{2(1-2^n)}{1-2}=2^{n+1}-2\)，当\(n=1\)时，\(S_n\)取得最小值-2，无最大值。20.解（1）设红球\(2x\)，白球\(x\)，\(P(\text{同色})=\frac{4x}{4x+x}=\frac{4}{5}\)，\(\frac{4}{5}=\frac{4x}{4x+x}\)，解得\(x=10\)，红球20，白球10。（2）\(P(\text{不同色})=1-P(\text{同色})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\)。21.解（1）\(f(x)=\sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4})\)，周期为\(\frac{2\pi}{2}=\pi\)。（2）在\([0,\pi]\)上，\(2x+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{9\pi}{4}]\)，最大值\(\sqrt{2}\)，最小值\(-\sqrt{2}\)。22.解（1）\(\overrightarrow{AB}=(2-1,1-2,0-3)=(1,-1,-3)\)，\(\overrightarrow{AC}=(0-1,3-2,2-3)=(-1,1,-1)\)。（2）\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\cdot(-1)+(-1)\cdot1+(-3)\cdot(-1)=-1-1+3=1\)，\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}\)，\(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\)，\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{