统计预测与决策练习题及答案

统计预测与决策练习题及答案某制造企业2022年1-12月产品月产量数据如下（单位：万件）：12.3、13.1、12.8、14.2、15.0、14.5、16.2、15.8、17.1、16.5、18.3、17.9。企业计划2023年1月制定生产计划，需预测1月产量。问题1：分别采用3期简单移动平均法和α=0.3的一次指数平滑法预测2023年1月产量（初始平滑值取前3期的平均值）。解答：（1）3期简单移动平均法：移动平均预测公式为\(F_{t+1}=\frac{Y_t+Y_{t-1}+Y_{t-2}}{3}\)，其中\(Y_t\)为第t期实际值。2022年10月预测值（用于11月）：\(F_{11}=(16.5+17.1+15.8)/3≈16.47\)（注：此处需明确预测目标期，实际应计算2022年12月的3期移动平均作为2023年1月预测值）正确计算2023年1月预测值：取2022年10、11、12月数据，即\(F_{2023年1月}=(16.5+18.3+17.9)/3≈(52.7)/3≈17.57\)万件。（2）一次指数平滑法（α=0.3，初始值\(S_0=(Y_1+Y_2+Y_3)/3=(12.3+13.1+12.8)/3≈12.73\)）：指数平滑公式为\(S_t=αY_t+(1-α)S_{t-1}\)，预测值\(F_{t+1}=S_t\)。计算各期平滑值：\(S_1=0.3×12.3+0.7×12.73≈3.69+8.91=12.60\)\(S_2=0.3×13.1+0.7×12.60≈3.93+8.82=12.75\)\(S_3=0.3×12.8+0.7×12.75≈3.84+8.93=12.77\)\(S_4=0.3×14.2+0.7×12.77≈4.26+8.94=13.20\)\(S_5=0.3×15.0+0.7×13.20≈4.50+9.24=13.74\)\(S_6=0.3×14.5+0.7×13.74≈4.35+9.62=13.97\)\(S_7=0.3×16.2+0.7×13.97≈4.86+9.78=14.64\)\(S_8=0.3×15.8+0.7×14.64≈4.74+10.25=14.99\)\(S_9=0.3×17.1+0.7×14.99≈5.13+10.49=15.62\)\(S_{10}=0.3×16.5+0.7×15.62≈4.95+10.93=15.88\)\(S_{11}=0.3×18.3+0.7×15.88≈5.49+11.12=16.61\)\(S_{12}=0.3×17.9+0.7×16.61≈5.37+11.63=17.00\)因此，2023年1月预测值为\(F_{2023年1月}=S_{12}≈17.00\)万件。某连锁超市记录了2022年各月的广告投入（万元）与销售额（万元）数据如下表：|月份|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12||------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|----|----|----||广告投入X|8|10|12|9|11|13|7|14|15|16|18|20||销售额Y|55|68|72|60|65|78|50|82|85|90|95|100|问题2：建立销售额对广告投入的一元线性回归模型，检验模型显著性（α=0.05），并预测当广告投入为22万元时的销售额（保留2位小数）。解答：（1）建立回归模型\(Y=a+bX+ε\)，其中\(b=\frac{n\sumXY-\sumX\sumY}{n\sumX^2-(\sumX)^2}\)，\(a=\bar{Y}-b\bar{X}\)。计算相关统计量：\(n=12\)，\(\sumX=8+10+12+9+11+13+7+14+15+16+18+20=153\)，\(\bar{X}=153/12=12.75\)\(\sumY=55+68+72+60+65+78+50+82+85+90+95+100=890\)，\(\bar{Y}=890/12≈74.17\)\(\sumXY=8×55+10×68+…+20×100=440+680+864+540+715+1014+350+1148+1275+1440+1710+2000=12176\)\(\sumX^2=8²+10²+…+20²=64+100+144+81+121+169+49+196+225+256+324+400=2239\)计算斜率\(b\)：\(b=(12×12176-153×890)/(12×2239-153²)=(146112-136170)/(26868-23409)=9942/3459≈2.87\)截距\(a=74.17-2.87×12.75≈74.17-36.69≈37.48\)回归模型：\(\hat{Y}=37.48+2.87X\)（2）模型显著性检验（F检验）：总离差平方和\(SST=\sum(Y_i-\bar{Y})²=\sumY_i²-(\sumY)^2/n\)计算\(\sumY_i²=55²+68²+…+100²=3025+4624+5184+3600+4225+6084+2500+6724+7225+8100+9025+10000=60340\)\(SST=60340-(890)²/12=60340-656100/12=60340-54675=5665\)回归平方和\(SSR=b²×[n\sumX²-(\sumX)^2]/n=(2.87)²×(12×2239-153²)/12≈8.24×(3459)/12≈8.24×288.25≈2376.08\)或直接计算\(SSR=b×(\sumXY-n\bar{X}\bar{Y})=2.87×(12176-12×12.75×74.17)≈2.87×(12176-11203.05)≈2.87×972.95≈2793.37\)（注：此处需核对计算，正确方法应为\(SSR=\sum(\hat{Y}_i-\bar{Y})²\)，更准确的方式是用\(SSR=b×L_{XY}\)，其中\(L_{XY}=\sumXY-n\bar{X}\bar{Y}=12176-12×12.75×74.17≈12176-11203.05=972.95\)，故\(SSR=b×L_{XY}=2.87×972.95≈2793.37\)）残差平方和\(SSE=SST-SSR=5665-2793.37=2871.63\)自由度：回归自由度\(df_1=1\)，残差自由度\(df_2=12-2=10\)F统计量\(F=(SSR/df_1)/(SSE/df_2)=(2793.37/1)/(2871.63/10)≈2793.37/287.16≈9.73\)查F分布表（α=0.05，1,10）临界值为4.96，因F=9.73>4.96，故模型显著。（3）预测广告投入22万元时的销售额：\(\hat{Y}=37.48+2.87×22=37.48+63.14=100.62\)万元。某食品公司计划推出新口味饼干，面临三种生产方案：A（小规模）、B（中规模）、C（大规模）。市场需求有高、中、低三种状态，概率分别为0.3、0.5、0.2，各方案在不同需求下的收益（万元）如下表：|方案|高需求（0.3）|中需求（0.5）|低需求（0.2）||------|--------------|--------------|--------------||A|80|50|10||B|120|60|-20||C|180|40|-50|问题3：（1）用期望值法选择最优方案；（2）绘制决策树并验证结果；（3）若需求概率未知，分别用乐观法、悲观法、折中主义法（乐观系数α=0.6）、最小最大后悔值法选择方案。解答：（1）期望值法：计算各方案期望收益（E）：\(E(A)=0.3×80+0.5×50+0.2×10=24+25+2=51\)万元\(E(B)=0.3×120+0.5×60+0.2×(-20)=36+30-4=62\)万元\(E(C)=0.3×180+0.5×40+0.2×(-50)=54+20-10=64\)万元因E(C)=64最大，故选择方案C。（2）决策树绘制（文字描述）：-决策节点（□）引出三个方案分支（A、B、C）；-每个方案分支末端连接机会节点（○），引出高、中、低需求分支（概率0.3、0.5、0.2）；-各需求分支末端标注对应收益值；-计算各机会节点期望值（同（1）），标于机会节点上方；-比较方案分支期望值，选择C（64万元）为最优。（3）不确定型决策（概率未知）：①乐观法（最大最大准则）：取各方案最大收益，比较后选最大。A最大80，B最大120，C最大180→选C。②悲观法（最大最小准则）：取各方案最小收益，比较后选最大。A最小10，B最小-20，C最小-50→选A。③折中主义法（α=0.6）：折中收益=α×最大收益+(1-α)×最小收益。A：0.6×80+0.4×10=48+4=52B：0.6×120+0.4×(-20)=72-8=64C：0.6×180+0.4×(-50)=108-20=88→选C。④最小最大后悔值法：步骤1：构造后悔值矩阵（各状态下最大收益-该方案收益）。高需求最大收益180，中需求最大收益60，低需求最大收益10。后悔值矩阵：|方案|高需求|中需求|低需求|最大后悔值||------|--------|--------|--------|------------||A|180-80=100|60-50=10|10-10=0|100||B|180-120=60|60-60=0|10-(-20)=30|60||C|180-180=0|60-40=20|10-(-50)=60|60|步骤2：取各方案最大后悔值，选择最小的。B和C最大后悔值均为60（最小），通常选收益更高的C（或根据题目要求任选，此处选C）。某物流企业需决定是否购买新分拣设备，购买成本80万元，使用期5年。若购买，预计每年节约人工成本的概率分布为：节约40万元（概率0.4）、节约30万元（概率0.5）、节约10万元（概率0.1）；若不购买，每年人工成本固定为35万元。基准折现率为10%（P/A,10%,5）=3.7908。问题4：（1）计算购买设备的净现值期望值；（2）判断是否应购买设备（考虑净现值≥0）。解答：（1）购买设备的年节约成本期望值\(E(年节约)=0.4×40+0.5×30+0.1×10=16+15+1=32\)万元。年净现金流入=年节约成本=32万元（因不购买时年成本35万元，购买后年成本=35-年节约成本，故净现金流入为年节约成本）。净现值（NPV）=年净现金流入×年金现值系数-初始成本=32×3.7908-80≈121.31-80=41.31万元。（2）因NPV=41.31>0，应购买设备。某城市过去10年的GDP（亿元）与货运量