2025年高考数学模拟检测卷-解析几何中的相似三角形应用

2025年高考数学模拟检测卷-解析几何中的相似三角形应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），点B（3，0），点C（0，4），则三角形ABC与三角形DEF相似的条件是（）A.DE=AB，EF=BC，DF=ACB.DE=2AB，EF=2BC，DF=2ACC.DE=AB/2，EF=BC/2，DF=AC/2D.DE=AB，EF=AC，DF=BC2.已知点P（x，y）在圆C：x²+y²-4x+6y-3=0上运动，则点P到直线l：3x-4y+5=0的距离的最小值是（）A.1B.2C.√2D.√53.在直角坐标系中，已知点A（1，2），点B（3，0），点C（0，4），则三角形ABC与三角形DEF相似的条件是（）A.DE=AB，EF=BC，DF=ACB.DE=2AB，EF=2BC，DF=2ACC.DE=AB/2，EF=BC/2，DF=AC/2D.DE=AB，EF=AC，DF=BC4.已知点P（x，y）在圆C：x²+y²-6x+4y-3=0上运动，则点P到直线l：x+y-1=0的距离的最大值是（）A.3√2B.2√2C.√10D.√145.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），点B（3，0），点C（0，4），则三角形ABC与三角形DEF相似的条件是（）A.DE=AB，EF=BC，DF=ACB.DE=2AB，EF=2BC，DF=2ACC.DE=AB/2，EF=BC/2，DF=AC/2D.DE=AB，EF=AC，DF=BC6.已知点P（x，y）在圆C：x²+y²-4x+6y-3=0上运动，则点P到直线l：2x+y-3=0的距离的最小值是（）A.1B.2C.√2D.√57.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），点B（3，0），点C（0，4），则三角形ABC与三角形DEF相似的条件是（）A.DE=AB，EF=BC，DF=ACB.DE=2AB，EF=2BC，DF=2ACC.DE=AB/2，EF=BC/2，DF=AC/2D.DE=AB，EF=AC，DF=BC8.已知点P（x，y）在圆C：x²+y²-6x+4y-3=0上运动，则点P到直线l：3x-4y+5=0的距离的最大值是（）A.3√2B.2√2C.√10D.√149.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），点B（3，0），点C（0，4），则三角形ABC与三角形DEF相似的条件是（）A.DE=AB，EF=BC，DF=ACB.DE=2AB，EF=2BC，DF=2ACC.DE=AB/2，EF=BC/2，DF=AC/2D.DE=AB，EF=AC，DF=BC10.已知点P（x，y）在圆C：x²+y²-4x+6y-3=0上运动，则点P到直线l：x+y-1=0的距离的最大值是（）A.3√2B.2√2C.√10D.√14二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在题中横线上。）11.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），点B（3，0），点C（0，4），则三角形ABC的面积为_________。12.已知点P（x，y）在圆C：x²+y²-4x+6y-3=0上运动，则点P到直线l：3x-4y+5=0的距离的最小值为_________。13.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），点B（3，0），点C（0，4），则三角形ABC与三角形DEF相似的条件是_________。14.已知点P（x，y）在圆C：x²+y²-6x+4y-3=0上运动，则点P到直线l：x+y-1=0的距离的最大值为_________。15.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），点B（3，0），点C（0，4），则三角形ABC与三角形DEF相似的条件是_________。三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），点B（3，0），点C（0，4）。若点D（x，y）在直线l：x+y=6上运动，求使得三角形ABC与三角形ABD相似时，点D的坐标。（1）请先分析三角形ABC的三个内角的度数，并说明理由。（2）接着，根据相似三角形的性质，列出关于点D坐标的方程组，并解出所有可能的点D的坐标。（3）最后，请检验每一个解是否符合题意，并说明为什么。17.已知圆C的方程为x²+y²-4x+6y-3=0，直线l的方程为3x-4y+5=0。点P（x，y）在圆C上运动。（1）请先求出圆C的圆心和半径，并说明你是如何得到这些值的。（2）接着，求出圆心到直线l的距离，并说明这个距离与点P到直线l的距离有什么关系。（3）最后，求出点P到直线l的距离的最小值，并说明在什么情况下这个最小值会发生。18.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），点B（3，0），点C（0，4），点D（x，y）在圆C：x²+y²-6x+4y-3=0上运动。（1）请先求出圆C的圆心和半径，并说明你是如何得到这些值的。（2）接着，根据相似三角形的性质，列出关于点D坐标的方程组，并解出所有可能的点D的坐标。（3）最后，请检验每一个解是否符合题意，并说明为什么。19.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），点B（3，0），点C（0，4），点D（x，y）在直线l：x+y-1=0上运动。（1）请先分析三角形ABC的三个内角的度数，并说明理由。（2）接着，根据相似三角形的性质，列出关于点D坐标的方程组，并解出所有可能的点D的坐标。（3）最后，请检验每一个解是否符合题意，并说明为什么。20.已知圆C的方程为x²+y²-4x+6y-3=0，直线l的方程为3x-4y+5=0。点P（x，y）在圆C上运动。（1）请先求出圆C的圆心和半径，并说明你是如何得到这些值的。（2）接着，求出圆心到直线l的距离，并说明这个距离与点P到直线l的距离有什么关系。（3）最后，求出点P到直线l的距离的最大值，并说明在什么情况下这个最大值会发生。四、证明题（本大题共1小题，共25分。请写出详细的证明过程。）21.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），点B（3，0），点C（0，4），点D（x，y）在圆C：x²+y²-6x+4y-3=0上运动。请证明：存在点D，使得三角形ABC与三角形ABD相似，并求出所有这样的点D的坐标。（1）请先分析三角形ABC的三个内角的度数，并说明理由。（2）接着，根据相似三角形的性质，列出关于点D坐标的方程组，并解出所有可能的点D的坐标。（3）最后，请检验每一个解是否符合题意，并说明为什么。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.C解析：两个三角形相似，对应边的比例相等。根据题目给出的选项，DE=AB/2，EF=BC/2，DF=AC/2，符合相似三角形的性质。2.A解析：点P到直线l的距离可以用点到直线的距离公式计算。将圆C的方程化为标准形式，得到圆心坐标为（2，-3），半径为√10。圆心到直线l的距离为|3*2-4*(-3)+5|/√(3^2+4^2)=1，圆心到直线的距离减去半径，即1-√10，得到点P到直线l的最小距离为1。3.B解析：根据题目给出的选项，DE=2AB，EF=2BC，DF=2AC，符合相似三角形的性质。4.D解析：点P到直线l的距离可以用点到直线的距离公式计算。将圆C的方程化为标准形式，得到圆心坐标为（3，-2），半径为√10。圆心到直线l的距离为|3*3-4*(-2)+5|/√(3^2+4^2)=√14，圆心到直线的距离加上半径，即√14+√10，得到点P到直线l的最大距离为√14。5.C解析：根据题目给出的选项，DE=AB/2，EF=BC/2，DF=AC/2，符合相似三角形的性质。6.B解析：点P到直线l的距离可以用点到直线的距离公式计算。将圆C的方程化为标准形式，得到圆心坐标为（2，-3），半径为√10。圆心到直线l的距离为|2*2+1*(-3)-3|/√(2^2+1^2)=√2，圆心到直线的距离减去半径，即√2-√10，得到点P到直线l的最小距离为2。7.D解析：根据题目给出的选项，DE=AB，EF=AC，DF=BC，符合相似三角形的性质。8.C解析：点P到直线l的距离可以用点到直线的距离公式计算。将圆C的方程化为标准形式，得到圆心坐标为（3，-2），半径为√10。圆心到直线l的距离为|3*3-4*(-2)+5|/√(3^2+4^2)=√10，圆心到直线的距离加上半径，即√10+√10，得到点P到直线l的最大距离为√10。9.C解析：根据题目给出的选项，DE=AB/2，EF=BC/2，DF=AC/2，符合相似三角形的性质。10.A解析：点P到直线l的距离可以用点到直线的距离公式计算。将圆C的方程化为标准形式，得到圆心坐标为（2，-3），半径为√10。圆心到直线l的距离为|2*2+1*(-1)-1|/√(2^2+1^2)=3√2，圆心到直线的距离加上半径，即3√2+√10，得到点P到直线l的最大距离为3√2。二、填空题答案及解析11.4解析：三角形ABC的面积可以用海伦公式计算，也可以用坐标公式计算。这里使用坐标公式，即面积=1/2*|x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)|=1/2*|1(0-4)+3(4-2)+0(2-0)|=4。12.1解析：点P到直线l的距离可以用点到直线的距离公式计算。将圆C的方程化为标准形式，得到圆心坐标为（2，-3），半径为√10。圆心到直线l的距离为|3*2-4*(-3)+5|/√(3^2+4^2)=1，圆心到直线的距离减去半径，即1-√10，得到点P到直线l的最小距离为1。13.DE=AB/2，EF=BC/2，DF=AC/2解析：根据题目给出的条件，三角形ABC与三角形DEF相似，对应边的比例相等。因此，DE=AB/2，EF=BC/2，DF=AC/2。14.3√2解析：点P到直线l的距离可以用点到直线的距离公式计算。将圆C的方程化为标准形式，得到圆心坐标为（3，-2），半径为√10。圆心到直线l的距离为|3*3-4*(-2)+5|/√(3^2+4^2)=3√2，圆心到直线的距离加上半径，即3√2+√10，得到点P到直线l的最大距离为3√2。15.DE=AB/2，EF=BC/2，DF=AC/2解析：根据题目给出的条件，三角形ABC与三角形DEF相似，对应边的比例相等。因此，DE=AB/2，EF=BC/2，DF=AC/2。三、解答题答案及解析16.解析：（1）三角形ABC的三个内角的度数分别为∠A=60°，∠B=90°，∠C=30°。根据三角函数的定义，可以得到sinA=√3/2，sinB=1，sinC=1/2。（2）根据相似三角形的性质，可以得到以下方程组：DE/AB=EF/BC=DF/AC(x-1)/2=(3-y)/4=(y-2)/4解得x=2，y=0。（3）检验：将x=2，y=0代入方程组，得到：DE/AB=(2-1)/2=1/2EF/BC=(3-0)/4=3/4DF/AC=(0-2)/4=-1/2不符合相似三角形的性质，因此x=2，y=0不是符合条件的点D的坐标。17.解析：（1）圆C的方程可以化为标准形式：(x-2)²+(y+3)²=10，因此圆心为（2，-3），半径为√10。（2）圆心到直线l的距离为|3*2-4*(-3)+5|/√(3^2+4^2)=1，点P到直线l的距离等于圆心到直线l的距离减去半径，即1-√10。（3）点P到直线l的距离的最小值为1-√10，当点P与圆心重合时发生。18.解析：（1）圆C的方程可以化为标准形式：(x-3)²+(y-2)²=10，因此圆心为（3，-2），半径为√10。（2）根据相似三角形的性质，可以得到以下方程组：DE/AB=EF/BC=DF/AC(x-1)/2=(3-y)/4=(y-2)/4解得x=2，y=0。（3）检验：将x=2，y=0代入方程组，得到：DE/AB=(2-1)/2=1/2EF/BC=(3-0)/4=3/4DF/AC=(0-2)/4=-1/2不符合相似三角形的性质，因此x=2，y=0不是符合条件的点D的坐标。19.解析：（1）三角形ABC的三个内角的度数分别为∠A=60°，∠B=90°，∠C=30°。根据三角函数的定义，可以得到sinA=√3/2，sinB=1，sinC=1/2。（2）根据相似三角形的性质，可以得到以下方程组：DE/AB=EF/BC=DF/AC(x-1)/2=(3-y)/4=(y-2)/4解得x=2，y=0。（3）检验：将x=2