2025年高考数学模拟试卷：立体几何重点难点突破试题

2025年高考数学模拟试卷：立体几何重点难点突破试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面π：x-y+2z=0的距离是（）A.2√3B.√3C.√6D.3√22.已知直线l：x=2与平面α：x-y+2z=0的位置关系是（）A.平行B.相交C.垂直D.重合3.过点P（1，0，1）且与平面π：x+y+z=1平行的直线方程是（）A.x=y=zB.x-y-z=0C.x+y+z=2D.x-y+z=04.已知平面α和平面β的法向量分别为n1=（1，1，0）和n2=（0，1，1），则平面α与平面β的夹角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面BCC1B1的距离是（）A.√2B.√3C.2D.√56.已知直线l1：x+y=1与直线l2：x-y=1的夹角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°7.过点A（1，2，3）且与向量v=（1，1，1）平行的直线方程是（）A.x=1+t，y=2+t，z=3+tB.x=1-t，y=2-t，z=3-tC.x=1，y=2，z=3D.x=2，y=3，z=48.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0的夹角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°9.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=2，z=3+t的距离是（）A.1B.√2C.√3D.√510.已知直线l1：x+y=1与直线l2：x-y=1的交点是（）A.（1，0）B.（0，1）C.（1，1）D.（0，0）11.过点P（1，0，1）且与平面π：x+y+z=1垂直的直线方程是（）A.x=y=zB.x-y-z=0C.x+y+z=2D.x-y+z=012.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面A1BC的distance是（）A.√2B.√3C.2D.√5二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。）13.已知平面α和平面β的法向量分别为n1=（1，1，0）和n2=（0，1，1），则平面α与平面β的夹角的余弦值是。14.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面π：x-y+2z=0的距离是。15.过点P（1，0，1）且与直线l：x=1，y=2，z=3+t平行的直线方程是。16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面BCC1B1的距离是。三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分12分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，点F是棱BB1的中点。求异面直线AE与CF所成的角的余弦值。18.（本小题满分12分）已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0相交，求它们的交线方程。19.（本小题满分12分）在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=2，z=3+t的距离是。求直线l与点A的位置关系。20.（本小题满分12分）已知直线l1：x+y=1与直线l2：x-y=1的夹角是。求这两条直线的夹角的正弦值。21.（本小题满分12分）过点P（1，0，1）且与平面π：x+y+z=1垂直的直线方程是。求这条直线的方向向量。22.（本小题满分14分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面A1BC的距离是。求点A到这个平面的垂线的长度。三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）23.（本小题满分12分）已知平面α和平面β分别过点A（1，2，3）和点B（2，3，4），且它们的法向量分别为n1=（1，1，0）和n2=（0，1，1）。求平面α与平面β的夹角的正弦值。24.（本小题满分12分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）到平面π：x-2y+3z=0的距离是。求点P到这个平面的垂线的方程。25.（本小题满分12分）已知直线l1：x+y=1与直线l2：x-y=1的交点是（1，0）。求这两条直线的夹角的余弦值。26.（本小题满分12分）过点P（1，0，1）且与平面π：x+y+z=1平行的直线方程是。求这条直线的方向向量。27.（本小题满分12分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面A1BC的距离是。求点A到这个平面的垂线的长度。28.（本小题满分14分）已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0相交，求它们的交线方程。四、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）29.（本小题满分12分）在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=2，z=3+t的距离是。求直线l与点A的位置关系。30.（本小题满分12分）已知直线l1：x+y=1与直线l2：x-y=1的夹角是。求这两条直线的夹角的正弦值。31.（本小题满分12分）过点P（1，0，1）且与平面π：x+y+z=1垂直的直线方程是。求这条直线的方向向量。32.（本小题满分12分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面BCC1B1的距离是。求点A到这个平面的垂线的方程。33.（本小题满分12分）已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0相交，求它们的交线方程。34.（本小题满分14分）在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面π：x-2y+3z=0的距离是。求点P到这个平面的垂线的方程。五、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）35.（本小题满分12分）已知平面α和平面β分别过点A（1，2，3）和点B（2，3，4），且它们的法向量分别为n1=（1，1，0）和n2=（0，1，1）。求平面α与平面β的夹角的正弦值。36.（本小题满分12分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）到平面π：x-2y+3z=0的距离是。求点P到这个平面的垂线的方程。37.（本小题满分12分）已知直线l1：x+y=1与直线l2：x-y=1的交点是（1，0）。求这两条直线的夹角的余弦值。38.（本小题满分12分）过点P（1，0，1）且与平面π：x+y+z=1平行的直线方程是。求这条直线的方向向量。39.（本小题满分12分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面A1BC的距离是。求点A到这个平面的垂线的方程。40.（本小题满分14分）已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0相交，求它们的交线方程。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：C解析：根据点到平面的距离公式，点A（1，2，3）到平面π：x-y+2z=0的距离d=|1*1+2*(-1)+3*2|/√(1^2+(-1)^2+2^2)=√6。2.答案：C解析：直线l：x=2与平面α：x-y+2z=0的法向量n=（1，-1，2）的点乘关系为1*2+(-1)*0+2*0=2≠0，故直线l与平面α垂直。3.答案：D解析：与平面π：x+y+z=1平行的直线方程的法向量相同，即为x-y+z=0。4.答案：B解析：平面α与平面β的夹角θ满足cosθ=|n1·n2|/|n1||n2|=|(1，1，0)·(0，1，1)|/√(1^2+1^2+0^2)√(0^2+1^2+1^2)=1/√2，故θ=45°。5.答案：A解析：正方体中，点A到平面BCC1B1的距离即为A到BC的中垂线距离，√(1^2+1^2)=√2。6.答案：B解析：两直线夹角θ满足tanθ=|k1-k2|/|1+k1k2|，其中k1=-1，k2=1，故tanθ=2/0，θ=45°。7.答案：A解析：与向量v=（1，1，1）平行的直线方程为x=1+t，y=2+t，z=3+t。8.答案：C解析：平面α与平面β的夹角θ满足cosθ=|n1·n2|/|n1||n2|=|(1，1，1)·(2，-1，3)|/√(1^2+1^2+1^2)√(2^2+(-1)^2+3^2)=√3/√15，故θ=60°。9.答案：A解析：点A到直线l：x=1，y=2，z=3+t的距离即为点A到直线上的点（1，2，3）的距离，√((1-1)^2+(2-2)^2+(3-3)^2)=1。10.答案：C解析：联立x+y=1和x-y=1，解得x=1，y=0。11.答案：D解析：与平面π：x+y+z=1垂直的直线方程的法向量相同，即为x-y+z=0。12.答案：B解析：正方体中，点A到平面A1BC的距离即为A到A1B中垂线距离，√(1^2+1^2)=√3。二、填空题答案及解析13.答案：1/√6解析：cosθ=|n1·n2|/|n1||n2|=|(1，1，0)·(0，1，1)|/√(1^2+1^2+0^2)√(0^2+1^2+1^2)=1/√6。14.答案：√6解析：根据点到平面的距离公式，点A（1，2，3）到平面π：x-y+2z=0的距离d=|1*1+2*(-1)+3*2|/√(1^2+(-1)^2+2^2)=√6。15.答案：x=1，y=2，z=3解析：与直线l：x=1，y=2，z=3+t平行的直线方程为x=1，y=2，z=3。16.答案：√2解析：正方体中，点A到平面BCC1B1的距离即为A到BC的中垂线距离，√(1^2+1^2)=√2。三、解答题答案及解析17.答案：√2/2解析：设A到平面BCC1B1的距离为d，则d=|1*1+2*(-1)+3*0|/√(1^2+(-1)^2+0^2)=√2/2。18.答案：x=1，y=0，z=t解析：联立平面α和平面β的方程，解得交线方程为x=1，y=0，z=t。19.答案：直线l与点A垂直解析：点A到直线l的距离为1，而点A在直线l上，故直线l与点A垂直。20.答案：sinθ=√2/2解析：两直线夹角θ满足tanθ=|k1-k2|/|1+k1k2|，其中k1=-1，k2=1，故tanθ=2/0，θ=45°，sinθ=√2/2。21.答案：（1，1，1）解析：与平面π：x+y+z=1垂直的直线方程的法向量为（1，1，1）。22.答案：√2解析：正方体中，点A到平面A1BC的距离即为A到A1B中垂线距离，√(1^2+1^2)=√2。四、解答题答案及解析23.答案：√2/2解析：设A到平面BCC1B1的距离为d，则d=|1*1+2*(-1)+3*0|/√(1^2+(-1)^2+0^2)=√2/2。24.答案：x=1，y=2，z=3解析：与直线l：x=1，y=2，z=3+t平行的直线方程为x=1，y=2，z=3。25.答案：cosθ=√2/2解析：两直线夹角θ满足tanθ=|k1-k2|/|1+k1k2|，其中k1=-1，k2=1，故tanθ=2/0，θ=45°，cosθ=√2/2。26.答案：（1，1，1）解析：与平面π：x+y+z=1平行的直线方程的法向量为（1，1，1）。27.答案：x=1，y=0，z=t解析：联立平面α和平面β的方程，解得交线方程为x=1，y=0，z=t。28.答案：x=1，y=0，z=t解析：联立平面α和平面β的方程，解得交线方程为x=1，y=0，z=t。五、解答题答案及解析29.答案：直线l与点A垂直解析：点A到直线l的距离为1，而点A在直线l上，故直线l与点A垂直。30.答案：sinθ=√2/2解析：两直线夹角θ满足tanθ=|k1-k2|/|1+k1k2|，其中k1=-1，k2=1，故tanθ=2/0，θ=45°，sinθ=√2/2。31.答案：（1，1，1）解析：与平面π：x+y+z=1垂直的直线方程的法向量为（1，1，1）。32.答案：√2解析：正方体中，点A到平面BCC1B1的距离即为A到BC的中垂线距离，√(1^2+1^2)=√2。33.答案：x=1，y=0，z=t解析：联立平面α和平面β的方程，解得交线方程为x=1，y=0，z=t。34.答案：x=1，y=2，z=3解析：与直线l：x=1，y=2，z=3+t平行的直线方程为x=1，y=2，z=3。35.答案：√2/2解析：设A到平面BCC1B1的距离为d，则d=|1*1+2*(-1)+3*0|/√(1^2+(-1)^2+0^2)=√2/2。36.答案：x=1，y=2，z=3