2025年高考数学模拟检测卷（立体几何突破能力培养）

2025年高考数学模拟检测卷（立体几何突破能力培养）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于平面x+y+z=1的对称点Q的坐标是（）A.(0,0,0)B.(2,2,2)C.(1,1,1)D.(3,3,3)2.已知直线l1：x=1，直线l2：y=2，直线l3：z=3，那么这三条直线所确定的平面的方程是（）A.x+y+z=6B.x-y+z=4C.x+y-z=2D.x-y-z=-23.设直线l过点A(1,2,3)，且与向量a=(1,0,1)平行，那么直线l的参数方程是（）A.x=1+t，y=2，z=3+tB.x=1-t，y=2，z=3-tC.x=1，y=2+t，z=3+tD.x=1，y=2-t，z=3-t4.已知平面α和平面β相交于直线l，且平面α的法向量为n1=(1,2,3)，平面β的法向量为n2=(2,3,1)，那么直线l的方向向量是（）A.(1,1,1)B.(1,-1,1)C.(-1,1,1)D.(-1,-1,-1)5.设点P(1,2,3)在平面α上的投影为P1，平面α的方程为x+y+z=6，那么点P1的坐标是（）A.(1,1,1)B.(2,2,2)C.(3,3,3)D.(4,4,4)6.已知直线l过点A(1,2,3)，且与平面α垂直，平面α的方程为x+y+z=6，那么直线l的方程是（）A.x=1，y=2，z=3B.x+y+z=6C.x-y+z=4D.x-y-z=-27.设直线l1：x=1，直线l2：y=2，直线l3：z=3，那么这三条直线所确定的平面的法向量是（）A.(1,1,1)B.(1,-1,1)C.(-1,1,1)D.(-1,-1,-1)8.已知点A(1,2,3)，点B(2,3,4)，那么向量AB的坐标是（）A.(1,1,1)B.(1,-1,1)C.(-1,1,1)D.(-1,-1,-1)9.设平面α的方程为x+y+z=6，那么点P(1,2,3)到平面α的距离是（）A.1B.2C.3D.410.已知直线l过点A(1,2,3)，且与向量a=(1,0,1)平行，那么直线l的方向向量是（）A.(1,0,1)B.(0,1,0)C.(1,1,1)D.(1,-1,1)11.设点P(1,2,3)在平面α上的投影为P1，平面α的方程为x+y+z=6，那么向量PP1的坐标是（）A.(1,1,1)B.(1,-1,1)C.(-1,1,1)D.(-1,-1,-1)12.已知平面α和平面β相交于直线l，且平面α的法向量为n1=(1,2,3)，平面β的法向量为n2=(2,3,1)，那么平面α与平面β的夹角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。请将答案填在答题卡相应位置。）13.设直线l过点A(1,2,3)，且与向量a=(1,0,1)平行，那么直线l的普通方程是__________。14.已知平面α的方程为x+y+z=6，那么点P(1,2,3)到平面α的法向量的距离是__________。15.设点P(1,2,3)在平面α上的投影为P1，平面α的方程为x+y+z=6，那么向量PP1的模长是__________。16.已知平面α和平面β相交于直线l，且平面α的法向量为n1=(1,2,3)，平面β的法向量为n2=(2,3,1)，那么平面α与平面β的夹角的余弦值是__________。三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.(本小题满分12分)已知点A(1,2,3)，点B(2,3,4)，点C(3,4,5)，求过点A且与向量AB、向量AC垂直的平面方程。18.(本小题满分12分)已知直线l过点A(1,2,3)，且与向量a=(1,0,1)平行，求点P(4,5,6)到直线l的距离。19.(本小题满分12分)已知平面α的方程为x+y+z=6，求点P(1,2,3)关于平面α的对称点P1的坐标。20.(本小题满分12分)已知平面α和平面β相交于直线l，且平面α的法向量为n1=(1,2,3)，平面β的法向量为n2=(2,3,1)，求平面α与平面β的夹角。21.(本小题满分14分)已知直线l1：x=1，直线l2：y=2，直线l3：z=3，求这三条直线所确定的平面的法向量，并求该平面的方程。22.(本小题满分14分)已知点A(1,2,3)，点B(2,3,4)，点C(3,4,5)，求向量AB、向量AC、向量BC的模长，并判断向量AB、向量AC、向量BC是否共面。四、证明题（本大题共2小题，共26分。请将证明过程写在答题卡相应位置。）23.(本小题满分13分)已知平面α的方程为x+y+z=6，证明：点P(1,2,3)到平面α的距离等于点Q(2,3,4)到平面α的距离。24.(本小题满分13分)已知直线l过点A(1,2,3)，且与向量a=(1,0,1)平行，证明：直线l与平面α：x+y+z=6相交，并求交点坐标。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：B解析：点P(1,2,3)关于平面x+y+z=1的对称点Q，意味着Q在平面x+y+z=1的另一侧，且PQ的中点在平面上。设Q(x,y,z)，则中点坐标为((1+x)/2,(2+y)/2,(3+z)/2)。将中点坐标代入平面方程得(1+x)/2+(2+y)/2+(3+z)/2=1，化简得x+y+z=0。又因为P和Q关于平面对称，所以向量PQ垂直于平面，即(1-x,2-y,3-z)·(1,1,1)=0，化简得1-x+2-y+3-z=0，即x+y+z=6。联立两个方程得x+y+z=6。将选项代入验证，只有B选项2+2+2=6符合。2.答案：A解析：直线l1：x=1，直线l2：y=2，直线l3：z=3分别代表平行于yoz平面、xoz平面、xy平面的三条直线，它们相交于点(1,2,3)，因此确定的平面方程为x+y+z=6。3.答案：A解析：直线l过点A(1,2,3)，且与向量a=(1,0,1)平行，所以直线的方向向量为(1,0,1)。直线的参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，代入得x=1+t，y=2，z=3+t。4.答案：B解析：平面α的法向量为n1=(1,2,3)，平面β的法向量为n2=(2,3,1)，直线l是两平面的交线，所以l的方向向量为n1×n2=(1,2,3)×(2,3,1)=(-1,1,1)。5.答案：B解析：点P(1,2,3)在平面α上的投影P1，就是过点P且垂直于平面α的直线与平面α的交点。平面α的方程为x+y+z=6，过点P(1,2,3)的垂线方程为x=1+t，y=2+t，z=3+t，代入平面方程得1+t+2+t+3+t=6，解得t=0，所以P1(1,2,3)。6.答案：C解析：直线l过点A(1,2,3)，且与平面α垂直，平面α的方程为x+y+z=6，所以直线l的方向向量为平面α的法向量(1,1,1)。直线方程为x=1，y=2+t，z=3+t。7.答案：A解析：直线l1：x=1，直线l2：y=2，直线l3：z=3所确定的平面的法向量为(1,1,1)。8.答案：A解析：向量AB的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标，即(2-1,3-2,4-3)=(1,1,1)。9.答案：B解析：点P(1,2,3)到平面α：x+y+z=6的距离d=|ax0+by0+cz0+d|/√(a^2+b^2+c^2)，代入得d=|1+2+3-6|/√(1^2+1^2+1^2)=2/√3=2√3/3≈2。10.答案：A解析：直线l过点A(1,2,3)，且与向量a=(1,0,1)平行，所以直线l的方向向量为(1,0,1)。11.答案：A解析：向量PP1是点P到平面α的垂线向量，平面α的方程为x+y+z=6，点P(1,2,3)到平面α的垂线方程为x=1+t，y=2+t，z=3+t，代入平面方程得1+t+2+t+3+t=6，解得t=0，所以P1(1,2,3)。向量PP1=(1-1,2-2,3-3)=(0,0,0)，但这是点P在平面上的情况，投影点P1在平面上的垂线向量应该是P到平面的垂线方向，即平面法向量的方向，所以向量PP1=(1,1,1)。12.答案：D解析：平面α的法向量为n1=(1,2,3)，平面β的法向量为n2=(2,3,1)，两平面的夹角θ满足cosθ=|n1·n2|/|n1||n2|=|(1,2,3)·(2,3,1)|/√(1^2+2^2+3^2)√(2^2+3^2+1^2)=|11|/√14√14=1/√14≈0.277，θ≈74.05°，但题目要求的是夹角的余弦值，所以答案是cosθ=-1。二、填空题答案及解析13.答案：x-z=2解析：直线l过点A(1,2,3)，且与向量a=(1,0,1)平行，直线的方向向量为(1,0,1)。直线的参数方程为x=1+t，y=2，z=3+t，消去参数t得x-z=2。14.答案：√3/3解析：点P(1,2,3)到平面α：x+y+z=6的法向量的距离，就是点P到平面α的距离，d=|ax0+by0+cz0+d|/√(a^2+b^2+c^2)，代入得d=|1+2+3-6|/√3=√3/3。15.答案：√3解析：向量PP1是点P到平面α的垂线向量，平面α的方程为x+y