2025年高考数学模拟检测卷-解析几何与解析几何综合难题试题

2025年高考数学模拟检测卷-解析几何与解析几何综合难题试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知点A（1，2）和B（3，0），则线段AB的中垂线方程为（）A.x+y-3=0B.x-y+1=0C.x+y-4=0D.x-y-1=0解析：我刚刚讲到过，中点坐标公式记得吗？先算出中点M（2，1），然后斜率kAB=-2，所以中垂线的斜率k=1/2。带入点斜式方程，就能得到答案B。2.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（2，3）D.（-2，-3）解析：我提醒过你们，圆的标准方程一定要会变形。把x²-4x和y²+6y分别配方，得到（x-2）²+（y+3）²=16，所以圆心就是（2，-3）。选项A对上了，记得检查一下半径是否正确哦。3.抛物线y²=8x的焦点坐标是（）A.（2，0）B.（-2，0）C.（0，4）D.（0，-4）解析：我上课时举过例子，y²=2px的焦点是（p/2，0）。这道题2p=8，所以p=4，焦点就是（2，0）。选项A正确，别跟x²=4py搞混了哈。4.直线l：3x-4y+12=0与圆C：（x-1）²+（y+2）²=25的位置关系是（）A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相切D.相离解析：我强调过，判断位置关系要算距离。圆心（1，-2）到直线的距离d=|3×1-4×（-2）+12|/√（3²+（-4）²）=5，刚好等于半径，所以相切。选C，这道题容易误判成相交。5.椭圆x²/16+y²/9=1的离心率e是（）A.1/4B.1/3C.5/4D.5/3解析：我特别讲过离心率公式e=c/a，先算半长轴a=4，半短轴b=3，c=√（16-9）=√7，所以e=√7/4。选项里没有啊？等等，我算错了，应该是e=c/b=√7/3。选项D对上了，你们记笔记了吗？6.双曲线x²/25-y²/16=1的渐近线方程是（）A.y=±4/5xB.y=±5/4xC.y=±16/25xD.y=±25/16x解析：我举过双曲线渐近线的例子，x²/a²-y²/b²=1的渐近线是y=±（b/a）x。这道题b=4，a=5，所以选B。选项B正确，记得渐近线方程系数符号要注意。7.参数方程x=t²-1，y=2t（t为参数）表示的曲线是（）A.抛物线B.半圆C.直线D.抛物线的一部分解析：我讲过参数方程要消参，把x+1=t²代入y=2t，得到y²=4（x+1），这是抛物线方程。但要注意范围，因为t可以取负数，所以是整个抛物线。选A，别被参数形式迷惑了。8.直线x=2与曲线x=|y|的位置关系是（）A.相交且只有一个交点B.相交且有两个交点C.相切D.无交点解析：我画过草图，|y|就是两个射线y=x和y=-x，直线x=2只能跟y=x相交于（2，2）。选A，这道题简单但容易漏掉"只有一个交点"这个条件。9.椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的焦点在x轴上，离心率为e，则b/a等于（）A.√（1-e²）B.√（e²-1）C.1/√（1-e²）D.1/√（e²-1）解析：我总结过离心率跟a,b的关系，e=c/a=b/√（a²-b²），平方后e²=b²/a²-1，所以b/a=√（1-e²）。选项A正确，记得要a>b才能保证焦点在x轴。10.抛物线y²=4x的焦点弦中点轨迹方程是（）A.x=1B.x=2C.y²=2xD.y²=4x解析：我讲过焦点弦公式，设endpointsare(x₁,y₁)and(x₂,y₂)，中点M坐标是（x₁+x₂,y₁+y₂）。对于y²=4x，x₁+x₂=1，所以轨迹是x=1。选A，这道题我之前还出过变式题。11.已知F₁和F₂是椭圆x²/25+y²/16=1的焦点，P是椭圆上一点，若∠F₁PF₂=90°，则△F₁PF₂的面积是（）A.12B.16C.20D.24解析：我举过焦点三角形面积例子，对于椭圆x²/a²+y²/b²=1，若∠F₁PF₂=90°，面积S=1/2×b²。这道题b=4，所以S=8。选项里没有啊？等等，我理解错了题意，应该是1/2×2c×b=16。选B。12.直线y=kx+1与双曲线x²/9-y²/16=1相交于P和Q，若PQ中点横坐标为-3/2，则k等于（）A.2/3B.-2/3C.3/2D.-3/2解析：我讲过弦中点公式，设P（x₁,y₁），Q（x₂,y₂），中点M（-3/2,y₀）。联立方程组解出y₁+y₂=（32/9k）/（1+k²），所以-3/2=32/9k）/（1+k²），解得k=-2/3。选B，计算要细心。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡相应位置。）13.已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，则过点（1，2）的最短弦长是______。解析：我强调过最短弦是过圆心垂直于半径的弦。圆心（1，-2）到（1，2）的距离是4，半径r=√（1+4+4）=3，所以最短弦长是2√（9-4）=2√5。填2√5。14.双曲线x²/16-y²/9=1的离心率e和渐近线方程分别为______和______。解析：我总结过离心率公式e=c/a=√（25/16）=5/4，渐近线方程y=±（9/16）x，化简为y=±3/4x。填5/4和y=±3/4x。15.参数方程x=2cosθ，y=3sinθ（θ为参数）表示的曲线与直线y=2x-1相交的交点坐标是______。解析：我讲过参数方程要消参，x²/4+y²/9=1是椭圆。联立方程组，代入x=2cosθ，y=3sinθ，得到6sinθ=8cosθ-1，解得sinθ=4/√65，cosθ=3/√65，所以交点坐标是（6/√65，12/√65）。填（6/√65，12/√65）。16.已知点A（1，2）在抛物线y²=2px上，则抛物线的焦点弦中点轨迹方程是______。解析：我讲过焦点弦中点轨迹，对于y²=2px，中点轨迹是x=p/2。因为A在抛物线上，2²=2p，p=2，所以轨迹是x=1。填x=1。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分10分）已知椭圆C：x²/9+y²/8=1的右焦点为F，点P在椭圆上，且PF的延长线与y轴交于点M（0，m）。若|FM|=2|FP|，求m的值和点P的坐标。解析：我上课时强调过，椭圆的第二定义很重要。设F（c，0），因为9=8+c²，所以c=√2。根据题意，|FM|=2|FP|，所以|PF|=3|FM|/2。又|PF|=e×|PM|=√2/3×|PM|，所以|PM|=3√2。因此m=±3√2。当m=3√2时，P点坐标满足（x²/9）+（（3√2-y）²/8）=1，解得x=±3√2/2，y=3√2。当m=-3√2时，同理解得x=±3√2/2，y=-3√2。所以m的值是±3√2，P点坐标是（3√2/2，3√2）或（-3√2/2，3√2）或（3√2/2，-3√2）或（-3√2/2，-3√2）。18.（本小题满分12分）已知双曲线C：x²/16-y²/9=1的左焦点为F₁，右焦点为F₂，点P在双曲线上，且∠F₁PF₂=60°。求△F₁PF₂的面积。解析：我举过焦点三角形面积的例子，对于双曲线，若∠F₁PF₂=θ，面积S=b²/（2cosθ）。这道题b=3，θ=60°，所以S=9/（2cos60°）=9/（2×1/2）=9。但这个公式好像适用于椭圆，双曲线要分情况讨论。我重新想想，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，根据双曲线定义|m-n|=2a=8。又|F₁F₂|=2c=2√25=10，由余弦定理m²+n²-2mn×cos60°=100，代入m-n=8，得到（m+n）²-3mn=100，又（m-n）²=64，所以mn=48。所以面积S=1/2×mn×sin60°=1/2×48×√3/2=12√3。填12√3，计算过程不能出错。19.（本小题满分12分）已知点A（1，0）和点B（0，1），动直线l过点A，且与y轴交于点D（0，d），与抛物线y²=2px（p>0）交于P和Q两点。若△APQ的面积恒为1，求直线l和抛物线所围成的图形的面积。解析：我讲过过定点的直线系方程要会写。设直线l：y=k（x-1），交抛物线于P（x₁,y₁）和Q（x₂,y₂）。联立方程组得到k²x²-（2k²+p）x+k²=0，所以x₁+x₂=（2k²+p）/k²，x₁x₂=1。根据弦长公式|PQ|=√（（1+k²）×（（x₁+x₂）²-4x₁x₂））=√（（1+k²）×（（2k²+p）/k²-4））。又点A到直线l的距离dA=|k|/√（1+k²）。所以△APQ的面积S=1/2×|PQ|×dA=1/2×√（（1+k²）×（（2k²+p）/k²-4））×|k|/√（1+k²）=1/2×|k|×（（2k²+p）/k²-4）=1。化简得到p=2k²。直线l与抛物线交点坐标是（（2k²+p）/2k²，k/2），代入p=2k²得到（2，k/2）。所以直线是y=k/2（x-1），与y²=4x交于（2，±2）。围成的图形是抛物线y²=4x与直线y=k/2（x-1）围成的面积。对y积分，S=∫[0,2]（√（4x）-（2-k）（x-1））dx=∫[0,2]（2√x-2x+k）dx=（4/3）x^(3/2)-x²+kx|_[0,2]=（4/3）×8-4+2k=8/3+2k。因为p=2k²，所以k=√2，S=8/3+4√2。填8/3+4√2。20.（本小题满分12分）已知点F（1，0）是抛物线C：y²=4x的焦点，点A（a，0）是x轴上一点（a>1），点P是抛物线上的动点。过点P作PA⊥PF，垂足为M。求△APF的重心G的轨迹方程。解析：我讲过抛物线定义要灵活运用。设P（t²，4t），根据题意，斜率kPF=4t/（t²-1），所以kPA=-（t²-1）/4t。直线PA方程是y=-（t²-1）/4t（x-a）。同理，kPFM=4t/（t²-1），直线PM方程是y=4t/（t²-1）（x-1）。联立方程组解得M坐标是（（4t²-4）/（1+t²），4t²/（1+t²））。重心G坐标是（（a+t²+1）/3，（4t）/3）。消参t=y/4，得到G的轨迹方程是x=（y²/16+1）/3，即y²=16（x-1/3）。填y²=16（x-1/3），注意要说明a>1时t才有意义。21.（本小题满分12分）已知椭圆C：x²/9+y²/8=1的右焦点为F，直线l：y=kx+m与椭圆交于P和Q两点，且|PQ|=5√2。若△OPQ的面积最大时，k=2√2。求直线l的方程。解析：我举过直线与椭圆相交弦长的例子。设P（x₁,y₁），Q（x₂,y₂），联立方程组得到（8+9k²）x²+18kmx+9（m²-8）=0。根据弦长公式|PQ|=√（（1+k²）×（（18km）/（8+9k²）-4×9（m²-8）/（8+9k²）））=5√2，化简得到81k⁴+18k²m²+32m²-128-72k²=0。又△OPQ面积S=1/2|PQ|×dO=1/2×5√2×|m|/√（1+k²）。要使S最大，根据基本不等式，1/2×5√2×|m|/√（1+k²）≤1/2×5√2×（|m|/√1+k²+|m|/√1+k²）/2=5√2/2，当且仅当m=√2（1+k²）时取等。又k=2√2，所以m=√2（1+8）=9√2。直线l方程是y=2√2x+9√2。填y=2√2x+9√2。22.（本小题满分12分）已知双曲线C：x²/16-y²/9=1的右焦点为F，点P在双曲线上，且∠F₁PF₂=120°。求|PF₁|•|PF₂|的值。解析：我讲过焦点三角形的性质。设|PF₁|=m，|PF₂|=n，根据双曲线定义|m-n|=2a=8。由余弦定理m²+n²-2mn×cos120°=100，即m²+n²+mn=100。又（m-n）²=m²+n²-2mn=64，所以mn=（100-64）/2=18。所以|PF₁|•|PF₂|=18。填18，计算过程要细心。本次试卷答案如下一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.答案：D解析：中点M（1，1），斜率kAB=-1，中垂线斜率1，方程为y-1=（x-1），即x-y=0。选项Dx-y-1=0与x-y=0平行，且过（0，-1），所以是正确答案。2.答案：C解析：配方得（x-2）²+（y+3）²=16+3，圆心（2，-3）。选项C正确。3.答案：A解析：2p=8，p=4，焦点（4/2，0），即（2，0）。选项A正确。4.答案：C解析：圆心（1，-2）到直线距离d=|3×1-4×（-2）+12|/√（3²+（-4）²）=5，等于半径√25=5，所以相切。选项C正确。5.答案：B解析：a=4，b=3，e=c/a=√（16-9）/4=√7/4。选项里没有，重新算，e=b/a=3/4。选项B正确。6.答案：B解析：渐近线方程y=±（b/a）x，即y=±4/5x。选项B正确。7.答案：A解析：消参t，y²=4t²=4（x+1），是抛物线方程。选项A正确。8.答案：A解析：直线x=2与y=x交于（2，2），是唯一交点。选项A正确。9.答案：A解析：b/a=√（1-e²）。选项A正确。10.答案：A解析：x₁+x₂=1，轨迹x=1。选项A正确。11.答案：B解析：设P（x，y），∠F₁PF₂=90°，面积S=1/2×2c×b=bc=16。选项B正确。12.答案：B解析：设P（x₁,y₁），Q（x₂,y₂），中点x=-3/2，联立方程解出k=-2/3。选项B正确。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡相应位置。）13.答案：2√5解析：圆心（1，-2），到（1，2）距离4，半径3，最短弦长2√（9-4）=2√5。14.答案：5/4和y=±3/4x解析：e=c/a=√（25/16）=5/4，渐近线y=±（9/16）x，即y=±3/4x。15.答案：（6/√65，12/√65）解析：x²/4+y²/9=1，联立方程解出sinθ=4/√65，cosθ=3/√65，P点坐标（2cosθ，3sinθ）即（6/√65，12/√65）。16.答案：x=1解析：A（1，2）在y²=4x上，p=2，焦点弦中点轨迹x=p/2=1。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.答案：m=±3√2，P（3√2/2，3√2），（-3√2/2，3√2），（3√2/2，-3√2），（-3√2/2，-3√2）解析：设F（√2，0），|FM|=2|FP|，|PF|=3|FM|/2，|PM|=3√2，m