2025年高考数学模拟检测卷（立体几何突破思维训练）

2025年高考数学模拟检测卷（立体几何突破思维训练）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x＋2y＋3z－6＝0的距离等于（）A.2B.3C.4D.52.已知直线l：x＝2y－1与平面β：x＋2y＋3z＋4＝0的夹角为θ，则sinθ的值为（）A.B.C.D.3.若直线l：ax＋by＋c＝0与平面α：x＋2y＋3z－6＝0垂直，则a，b，c的关系为（）A.a＋2b＋3c＝0B.a＋2b－3c＝0C.a－2b＋3c＝0D.a－2b－3c＝04.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面B1CD的距离等于（）A.B.C.D.5.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为点O，若∠APB＝90°，∠BPC＝60°，∠CPA＝30°，则∠AOB的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.90°6.过点A（1，0，2）作平面α：x＋y＋z＝1的垂线，垂足为点B，则点B的坐标为（）A.（0，0，1）B.（1，0，0）C.（0，1，0）D.（0，1，1）7.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1＝2，则点A1到平面BCC1B1的距离等于（）A.2B.C.D.38.已知直线l1：x－y＋1＝0与直线l2：x＋2y－1＝0的夹角为α，则cosα的值为（）A.B.C.D.19.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝2，AC＝3，AA1＝4，则点A1到平面BCC1B1的距离等于（）A.2B.C.D.310.已知平面α和平面β相交于直线l，点A在平面α上，点B在平面β上，AB＝4，AB与平面α的夹角为30°，AB与平面β的夹角为60°，则平面α与平面β的夹角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面A1B1CD的距离等于（）A.B.C.D.12.已知直线l：x＝2y－1与平面β：x＋2y＋3z＋4＝0的夹角为θ，则cosθ的值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡相应位置。）13.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x＝2，y＝－1，z＝1的distance等于________。14.已知平面α：x＋2y＋3z－6＝0与平面β：2x＋4y＋6z＋12＝0，则平面α与平面β的位置关系为________。15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面A1B1CD的距离等于________。16.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为点O，若∠APB＝90°，∠BPC＝60°，∠CPA＝30°，则∠AOB的度数为________。三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：2x＋y－2z＋3＝0的距离等于多少？请写出详细的计算过程。18.已知直线l1：x－y＋1＝0与直线l2：x＋2y－1＝0的夹角为α，求cosα的值。请写出具体的推导步骤。19.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面A1B1CD的距离等于多少？请写出详细的计算步骤。20.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1＝2，求点A1到平面BCC1B1的距离。请写出具体的计算过程。21.已知平面α和平面β相交于直线l，点A在平面α上，点B在平面β上，AB＝4，AB与平面α的夹角为30°，AB与平面β的夹角为60°，求平面α与平面β的夹角。请写出详细的计算过程。22.已知直线l：x＝2y－1与平面β：x＋2y＋3z＋4＝0的夹角为θ，求sinθ的值。请写出具体的计算步骤。四、解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）23.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x＝2，y＝－1，z＝1的distance是多少？请写出详细的计算过程，并说明每一步的依据。24.已知平面α：x＋2y＋3z－6＝0与平面β：2x＋4y＋6z＋12＝0，求平面α与平面β的位置关系，并说明理由。请写出具体的分析过程。25.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面A1B1CD的距离等于多少？请写出详细的计算步骤，并说明每一步的依据。26.在三棱锥P-ABC中，顶点P在底面ABC上的射影为点O，若∠APB＝90°，∠BPC＝60°，∠CPA＝30°，求∠AOB的度数。请写出详细的计算过程，并说明每一步的依据。五、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）27.在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3）到平面α：2x＋y－2z＋3＝0的距离等于多少？请写出详细的计算过程，并说明每一步的依据。同时，请解释为什么这个距离的计算方法适用于任意点和任意平面的距离计算。28.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面A1B1CD的距离等于多少？请写出详细的计算过程，并说明每一步的依据。同时，请解释为什么这个距离的计算方法适用于正方体中任意点到某个平面的距离计算。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.C解析：根据点到平面的距离公式，d＝|ax₀＋by₀＋cz₀＋d|/√(a²＋b²＋c²)，其中（x₀，y₀，z₀）为点A的坐标，ax＋by＋cz＋d＝0为平面方程。代入点A（1，2，3）和平面α：x＋2y＋3z－6＝0，得到d＝|1×1＋2×2＋3×3－6|/√(1²＋2²＋3²)＝|1＋4＋9－6|/√14＝8/√14＝4/√7。所以距离为4。2.A解析：直线l与平面β的法向量n＝（1，2，3）的点积为l与n的投影长度，即|l·n|/|n|＝|（1，0，0）·（1，2，3）|/√14＝1/√14。直线l与平面β的法向量的夹角为θ，则cosθ＝|l·n|/|l||n|＝1/√14。所以sinθ＝√(1－cos²θ)＝√(1－(1/14))＝√(13/14)。3.A解析：直线l垂直于平面α，则l的方向向量（a，b，c）与平面α的法向量（1，2，3）平行，即存在实数k，使得（a，b，c）＝k（1，2，3）。所以a＝k，b＝2k，c＝3k，即a＋2b＋3c＝k＋4k＋9k＝14k＝0。所以a＋2b＋3c＝0。4.√3/3解析：正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面B1CD的距离即为点A到对角线B1D的垂直距离。B1D的向量表示为（1，1，1），其长度为√3。点A到B1D的距离为A到B1D的投影长度，即|（1，1，1）·（0，1，1）/√2|＝|0＋1＋1|/√2＝√2/√2＝1。所以距离为√3/3。5.60°解析：根据三棱锥顶点在底面上的射影性质，∠AOB＝90°－∠CPA＝90°－30°＝60°。6.（0，0，1）解析：过点A作平面α的垂线，垂足为点B，则AB垂直于平面α，即AB的方向向量为（1，1，1）。设B的坐标为（x，y，z），则AB＝（x－1，y－0，z－2）。由AB垂直于平面α，得到（x－1）＋2y＋3（z－2）＝0。又因为B在平面α上，得到x＋y＋z－1＝0。解方程组得到x＝0，y＝0，z＝1。所以B的坐标为（0，0，1）。7.√3解析：点A1到平面BCC1B1的距离即为A1到BC的垂直距离。BC的向量表示为（0，1，0），其长度为1。点A1到BC的距离为A1到BC的投影长度，即|（0，1，0）·（0，1，2）/√5|＝|0＋1＋0|/√5＝1/√5。所以距离为√3。8.√5/5解析：直线l1与l2的夹角α的余弦值为cosα＝|l1·l2|/|l1||l2|＝|(1，－1，0)·(1，2，0)|/√2√5＝|1－2|/√10＝1/√10。所以cosα＝√5/5。9.2√3/3解析：点A1到平面BCC1B1的距离即为A1到BC的垂直距离。BC的向量表示为（0，1，－1），其长度为√2。点A1到BC的距离为A1到BC的投影长度，即|（0，1，－1）·（0，1，2）/√5|＝|0＋1－2|/√5＝1/√5。所以距离为2√3/3。10.60°解析：根据二面角的定义，平面α与平面β的夹角即为α与β的法向量的夹角。设α的法向量为n1＝（1，2，3），β的法向量为n2＝（1，2，3）。则cosθ＝|n1·n2|/|n1||n2|＝|1×1＋2×2＋3×3|/√14√14＝14/14＝1。所以θ＝60°。11.√3/3解析：同第4题，点A到平面A1B1CD的距离即为点A到对角线B1D的垂直距离。B1D的向量表示为（1，1，1），其长度为√3。点A到B1D的距离为A到B1D的投影长度，即|（1，1，1）·（0，1，1）/√2|＝|0＋1＋1|/√2＝√2/√2＝1。所以距离为√3/3。12.√5/5解析：同第8题，直线l与平面β的法向量的夹角α的余弦值为cosα＝|l·n|/|l||n|＝|(1，2，0)·（1，2，3）|/√5√14＝|1＋4|/√70＝5/√70＝√5/5。所以cosα＝√5/5。二、填空题答案及解析13.√10解析：点A到直线l的距离即为A到直线上任意一点的距离减去该点到直线的距离。取直线上点（2，－1，1），则向量AB＝（1－2，2＋1，3－1）＝（－1，3，2）。其长度为√10。直线l的方向向量为（0，1，0），其长度为1。点A到l的距离为|AB|cosθ＝√10cos90°＝√10。14.平行解析：平面α与平面β的法向量分别为n1＝（1，2，3）和n2＝（2，4，6）。由于n2＝2n1，所以n1与n2平行，即平面α与平面β平行。15.√3/3解析：同第4题，点A到平面A1B1CD的距离即为点A到对角线B1D的垂直距离。B1D的向量表示为（1，1，1），其长度为√3。点A到B1D的距离为A到B1D的投影长度，即|（1，1，1）·（0，1，1）/√2|＝|0＋1＋1|/√2＝√2/√2＝1。所以距离为√3/3。16.60°解析：根据三棱锥顶点在底面上的射影性质，∠AOB＝90°－∠CPA＝90°－30°＝60°。三、解答题答案及解析17.1解析：根据点到平面的距离公式，d＝|ax₀＋by₀＋cz₀＋d|/√(a²＋b²＋c²)，其中（x₀，y₀，z₀）为点A的坐标，ax＋by＋cz＋d＝0为平面方程。代入点A（1，2，3）和平面α：2x＋y－2z＋3＝0，得到d＝|2×1＋1×2－2×3＋3|/√(2²＋1²＋（－2）²)＝|2＋2－6＋3|/√9＝1。18.√10/10解析：直线l1与l2的夹角α的余弦值为cosα＝|l1·l2|/|l1||l2|＝|(1，－1，0)·(1，2，0)|/√2√5＝|1－2|/√10＝1/√10。所以cosα＝√10/10。19.√3/3解析：同第4题，点A到平面A1B1CD的距离即为点A到对角线B1D的垂直距离。B1D的向量表示为（1，1，1），其长度为√3。点A到B1D的距离为A到B1D的投影长度，即|（1，1，1）·（0，1，1）/√2|＝|0＋1＋1|/√2＝√2/√2＝1。所以距离为√3/3。20.2√3/3解析：点A1到平面BCC1B1的距离即为A1到BC的垂直距离。BC的向量表示为（0，1，－1），其长度为√2。点A1到BC的距离为A1到BC的投影长度，即|（0，1，－1）·（0，1，2）/√5|＝|0＋1－2|/√5＝1/√5。所以距离为2√3/3。21.30°解析：根据二面角的定义，平面α与平面β的夹角即为α与β的法向量的夹角。设α的法向量为n1＝（1，0，0），β的法向量为n2＝（0，0，1）。则cosθ＝|n1·n2|/|n1||n2|＝|0|/1×1＝0。所以θ＝30°。22.√21/21解析：直线l与平面β的法向量的夹角α的余弦值为cosα＝|l·n|/|l||n|＝|(1，2，0)·（1，2，3）|/√5√14＝|1＋4|/√70＝5/√70＝√21/21。所以sinα＝√(1－cos²α)＝√(1－(21/441))＝√(420/441)＝√21/21。四、解答题答案及解析23.√14解析：点A到直线l的距离即为A到直线上任意一点的距离减去该点到直线的距离。取直线上点（2，－1，1），则向量AB＝（1－2，2＋1，3－1）＝（－1，3，2）。其长度为√14。直线l的方向向量为（0，1，0），其长度为1。点A到l的距离为|AB