第一章-特殊平行四边形-易错题集（含部分解析）2025-2026学年北师大版九年级数学上册

试卷第=page55页，总=sectionpages99页试卷第=page44页，总=sectionpages99页第一章特殊平行四边形易错题集2025-2026学年北师大版九年级数学上册学校：__________班级：__________姓名：__________考号：__________

1.如图，RtΔABC中，∠BAC=90​∘，AB=AC，AD⊥BC于点D,∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BCA.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.下列说法正确的是（

）A.矩形的对角线互相垂直平分B.邻边相等的四边形是菱形C.对角线相等的菱形是正方形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

3.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则原四边形是(

)A.平行四边形 B.矩形

C.对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形

4.已知平行四边形ABCD，若E，F，G，H分别为平行四边形ABCD四边的中点，则要使四边形EFGH为矩形，应满足的条件是（

）A.AC⊥BD B.AC=BD C.AB=2BC D.AB⊥

5.如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=5．设AB=x, ADA.10 B.25 C.50 D.75

6.如图，在四边形ABCD中，AC=12，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对

7.在平面直角坐标系中有两点A（6，0）和B（0，8），点C是AB的中点，则OC的长为________.

8.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=2∠B，E，F分别是BC

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，∠ABC=60∘，则OC

10.如图，在菱形ABCD中，AC=43,∠ADC=120∘，点M是AB的中点，点P在对角线AC上，连接PB

11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，点P是斜边AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D

12.如图，ABCD是矩形纸片，AB=4,BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，将纸片沿EF折叠，点C落在边AD上的点H处，点D落在点G处．对于如下结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点

13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=24cm，AC=12cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O1若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形；2在1的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形；3求2中菱形AECF的面积．

14.如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，已知Am, 0，B0, n，且m1求A、B两点的坐标；2如图2，若点C在第一象限，∠ACB=90∘，AC=BC，点D为边AB中点，以点D为顶点的直角∠EDF两边分别交边BC于E3如图3，若点C在y轴的正半轴上，H是第一象限内的一点，且H点的横、纵坐标始终相等，点Px, −2x+4为直线AB上一点，∠HCP=

15.平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．

1求证：四边形BFDE是矩形；

2若AF平分∠BAD，且AE=3

16.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点A作AE//BD，过点D作DE//AC交AE于点E．AB=2，∠ABC

17.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE=∠CDF．1求证：AE=2连结DB交EF于点O，延长OB至G，使OG=OD，连结EG，FG，判断四边形

18.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE//AC且DE=12AC

,连接AE交OD于点F，连接CE1求证：四边形OCED为矩形；2若菱形ABCD的边长为12，∠ABC=60

19.如图，正方形ABCD的边长为4cm，G为AB中点，过顶点A作直线AH与CD边交于点H（点H不与C、D重合），分别过点B，D作直线AH的垂线，垂足分别为E，F．

（1）

DG=________cm；

（2）求证：

△ABE≅△DAF；

（3）连接EG，当H位置变化时，

①EG的长度是否变化？说明理由；

②直接写出DE

20.【模型建立】1如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE，CE．求证：△ADE≅△CDE2如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE，CE．将EC绕点E逆时针旋转90∘，交AD的延长线于点F，连接CF．当AE=3时，求CF3如图3，在菱形ABCD中，∠BAD=60∘，点E是对角线BD上一点，连接AE，CE．将EC绕点E逆时针旋转60∘，交AD的延长线于点F，连接CF，DC与EF交于点G．当EF=EC

21.如图，在菱形ABCD中，AB=6，

∠B=60∘

，点P为对角线AC上任一点，过点P作EF//BC分别交AB、CD于点E、F过点P作GH//AB分别交AD、BC于点G、H，AH、CE交于点Q，连接PQ.

（1）求证：△AEC≅△BHA;

（2）若AP=2,求证：

22.数学实验：对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图1，①将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．

提出问题：1观察所得到的∠ABM

，∠MBN和∠NBC，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想．

变式拓展：

如图2，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在PQ上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BH．提出问题：

（2）已知AB=DC=PQ=3若点G是线段PQ上的一动点，当△ABG周长最小时，直接写出QG

参考答案与试题解析第一章特殊平行四边形易错题集2025-2026学年北师大版九年级数学上册一、选择题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）1.【答案】D【考点】全等三角形的应用等腰三角形的判定与性质直角三角形斜边上的中线【解析】求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，证明△FBD≅△NADASA即可判断①，证明△AFB≅△CNA【解答】解：∵∠BAC=90∘，AB=AC，AD⊥BC，

∴∠ABC=∠C=45∘，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90∘，

∴∠BAD=45∘=∠CAD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5∘，

∴∠BFD=∠AEB=90∘−22.5∘=67.5∘，

∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5∘，

∴AF=AE，AM⊥BE，

∴∠AMF=∠AME=90∘，

∴∠DAN=90∘−67.5∘=22.5∘=∠2.【答案】C【考点】正方形的判定矩形的判定与性质菱形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】C3.【答案】C【考点】中点四边形矩形的判定三角形中位线定理【解析】由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，由矩形的性质可知，原四边形应为对角线互相垂直且相等的四边形．【解答】解：如图所示，

根据三角形中位线定理得：EH // FG // BD，EF // AC // HG，

∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG4.【答案】A【考点】平行四边形的性质矩形的判定三角形中位线定理【解析】此题暂无解析【解答】A5.【答案】B【考点】勾股定理直角三角形斜边上的中线矩形的性质【解析】此题暂无解析【解答】B6.【答案】A【考点】矩形的判定与性质规律型：图形的变化类三角形中位线定理【解析】此题暂无解析【解答】A二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）7.【答案】10【考点】勾股定理直角三角形斜边上的中线【解析】此题暂无解析【解答】AB=OA2+OB2=10

在Bt8.【答案】2【考点】轴对称——最短路线问题菱形的性质【解析】此题暂无解析【解答】29.【答案】3【考点】直角三角形的性质菱形的性质勾股定理【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，OE，AC，

∵边长为2的菱形ABCD，

∴AB=BC=2，

∵∠ABC=60∘，

∴△ABC是等边三角形，

∵AB的中点E，

∴BE=12BA=1,CE⊥AB，

∴CE=BC2−BE2=10.【答案】2【考点】菱形的性质等边三角形的性质与判定线段的性质：两点之间线段最短【解析】此题暂无解析【解答】211.【答案】4.8【考点】矩形的判定与性质垂线段最短勾股定理【解析】连接CP，根据矩形的性质可知：DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，

∴AB=82+62=10，

连接CP，如图所示：

∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，

∴四边形DPEC是矩形，

12.【答案】①③【考点】翻折变换（折叠问题）矩形的性质勾股定理菱形的判定【解析】此题暂无解析【解答】①∶FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，

∴FH//CG，EH//CF，

∴四边形CFHE是平行四边形，

由翻折的性质得，CF=FH，

∴四边形CFHE是菱形，故①正确；

②∵四边形CFHE是菱形，

∴∠BCH=∠ECH，

∴只有∠DCE=30∘时EC平分∠DCH，故②错误；

③点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8−x,

在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2,

即42+x2=8−x2,

解得x三、解答题（本题共计10小题，每题10分，共计100分）13.【答案】当t为4秒时，四边形AECF是平行四边形当AB为65时，▱96【考点】勾股定理平行四边形的性质与判定菱形的判定与性质【解析】1若是平行四边形，则OE=OF，由平行四边形的性质以及BD=24cm则BO=2若是菱形，则AC垂直于BD，即有AO2+3根据四边形AECF是菱形，求得EF⊥AC,OE=OF，根据平行四边形的性质得到BO=【解答】1∵四边形ABCD∴AO=OC∴当OE=OF时，四边形∵EO∴12∴t∴当t为4秒时，四边形AECF是平行四边形；2若四边形AECF是菱形，则AC⊥∴A∴AB∴当AB为65时，▱3∵四边形AECF∴OE=OF∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO∴BE∴t∴t∴BE∴EF∴菱形AECF的面积＝1214.【答案】A2,5P【考点】全等三角形的应用勾股定理平行线的判定与性质正方形的判定与性质【解析】1将n22过点D作DM⊥BC，DN⊥AC，根据平行线的判定和性质及垂线的性质可得DM//AC，DN//BC，∠DMC=∠DMB=∠DNC=∠DNF=90∘，依据等边对等角得出∠ABC=∠BAC3过点H作HG⊥y轴，过点P作PF⊥y轴，根据各角之间的数量关系可得∠PCF=∠CHG，依据全等三角形的判定和性质可得�CHG≅�PCF，GH=CF，CG=PF，由点Px,−2x+4，可得PF1解：n2∴n∵n−4∴n−4解得：n=4，∴A2,2解：如图所示：过点D作DM⊥BC，∴DM//AC，DN∵∠ACB=90∴∠ABC∵D为AB∴AD∵DN∴∠ABC在�DBM与�∠BMD∴�DBM∴DM∵∠ADN∴DN∴DN∵∠DMC∴四边形DMCN为矩形，∵DN∴四边形DMCN为正方形，∴∠MDN即∠MDE∵∠FDN∴∠MDE在�DME与�∠MDE∴�DME∴S∵S由1得A2,0∴OA=2∴AB∴BD∴D解得：DN=∴S∴四边形EDFC的面积为523解：如图所示：过点H作HG⊥y轴，过点P作则∠HGC∵∠HCP∴∠HCG∵∠HCG∴∠PCF在�CHG与�∠CHG∴�CHG∴GH=CF∵P∴PF=x∴CG设C0,a∴CF=a∴OG∵H点的横纵坐标相等，且H∴x解得：x=将x=4代入可得∴点P的坐标为4,−【解答】此题暂无解答15.【答案】证明：1∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB // CD，

∴DF // BE，

∵CF=AE，

∴DF=BE，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90∘，

∴四边形BFDE是矩形．

2∵AB // CD，

∴∠BAF=∠AFD，

∵AF平分∠BAD，

∴【考点】平行四边形的性质矩形的判定与性质勾股定理【解析】1根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．【解答】证明：1∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB // CD，

∴DF // BE，

∵CF=AE，

∴DF=BE，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90∘，

∴四边形BFDE是矩形．

2∵AB // CD，

∴∠BAF=∠AFD，

∵AF平分∠BAD，

∴16.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,AB=BC.

∵

∠ABC=60∘，∴

△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=2，∴OA=12AC=1

【考点】勾股定理菱形的性质矩形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,AB=BC.

∵

∠ABC=60∘，∴

△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=2，∴OA=12AC=1

17.【答案】1证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90∘，

在△ADE和△CDF中，

2解：四边形DEGF是菱形．

理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，

∵AE=CF，

∴AB−AE=BC−CF，

即BE=BF，

∵△ADE≅△CDF，

∴DE=DF，

【考点】正方形的性质全等三角形的判定全等三角形的性质菱形的判定【解析】（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠A=∠C=90（2）求出BE=BF，再求出DE=DF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线可得【解答】1证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90∘，

在△ADE和△CDF中，

2解：四边形DEGF是菱形．

理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，

∵AE=CF，

∴AB−AE=BC−CF，

即BE=BF，

∵△ADE≅△CDF，

∴DE=DF，

18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC=12AC

,AD=CD,

∵DE//AC

且DE=12AC，

∴DE=OA（2）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，

∴AC=AB=12，

∴OA=OC=6，

∴在矩形OCED中，【考点】菱形的性质矩形的判定矩形的判定与性质勾股定理【解析】此题暂无解析【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC=12AC

,AD=CD,

∵DE//AC

且DE=12AC，

∴DE=OA（2）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，

∴AC=AB=12，

∴OA=OC=6，

∴在矩形OCED中，19.【答案】解：（1）25．

（2）∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90∘，AB=DA，

∵BE⊥AH，DF⊥AH、∴∠AEB=∠DFA=90∘，∴∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠ABE=90∘，

∴∠DAF=∠ABE，∴△ABE≅△DAF（AAS）；

（3）①当H位置变化时，EG【考点】勾股定理正方形的性质全等三角形的性质与判定轴对称——最短路线问题【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）25．

（2）∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90∘，AB=DA，

∵BE⊥AH，DF⊥AH、∴∠AEB=∠DFA=90∘，∴∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠ABE=90∘，

∴∠DAF=∠ABE，∴△ABE≅△DAF（AAS）；

（3）①当H位置变化时，EG20.【答案】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA=DC，

∠ADE=∠CDE

在△ADE和△CDE中，

DA=DC∠ADE=∠CDEDE=∵EF是EC绕点E逆时针旋转90∘得到的，

∴EA=EC=EF（3）解：结论：

CF=AE

理由：如图3中，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DA=DC，

∠ADE=∠CDE

在△ADE和△CDE中，

DA=DC∠ADE=∠CDEDE=DE

∴△ADE≅△CDE

（SAS

)【考点】正方形的性质全等三角形的性质与判定旋转的性质菱形的性质【解析】此题暂无解析【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA=DC，

∠ADE=∠CDE

在△ADE和△CDE中，

DA=DC∠ADE=∠CDEDE=DEAE∵EF是EC绕点E逆时针旋转90∘得到的，

∴EA=EC=EF（3）解：结论：

CF=AE

理由：如图3中，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DA=DC，

∠ADE=∠CDE

在△ADE和△CDE中，

DA=DC∠ADE=∠CDEDE=DE

∴△ADE≅△CDE

（SAS

)21.【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形，

∠B=60∘,

∴∠BAD=120∘,

∵AC是对角线,

∴∠BAC=∠DAC=60∘,

∴△ABC是等边三角形.

∴AB=AC,

又∵GH//AB,EF//BC,

∴四边形AEPG、四边形BEPH均为平行四边形,

且∠AEP=∠B=60∘=∠EAP,

∴△AEP为等边三角形.

同理可证：

△PHC为等边三角形,

∴AE=EP=BH,PC=PH=HC

,

在△AEC和△BHA中：

∵AE=BH∠EAP=∠BAC=AB

∴△AEC≅△BHA.

（2）由（1）得：

∵△AEC≅△BHA,

∴∠BAH=∠ACE，AH=CE,

∶AB//GH,

∴∠BAH=∠AHG.

∴∠AHG=∠ACE,

由外角性质可知：

∠AHG+∠HQC=∠ACE+∠HPC,

∴∠HQC=∠HPC=60∘,

∴∠AQC=120∘,

在△EPC和△APH中：

∵EP=APCE=AHPC=PH

∴△EPC≅

△APH，

过点P作PM⊥AH于点M，PN⊥EC于点N，

则有PM=PN，

∴PO平分∠AOC，

∵∠AQC=120∘,

∴∠AQP=60∘.

（3）①求PQ：

∵∠AQP=60∘，

∴∠MPQ=30∘，

∴PQ=2MQ，

∵AP=2，

∴AE=EP=BH=2【考点】三角形的面积全等三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定菱形的性质勾股定理【解析】此题暂无解析【解答】（1）∵四边形ABCD是菱形，

∠B=60∘,

∴∠BAD=120∘,

∵AC是对角线,

∴∠BAC=∠DAC=60∘,

∴△ABC是等边三角形.

∴AB=AC,

又∵GH//AB,EF//BC,

∴四边形AEPG、四边形BEPH均为平行四边形,

且∠AEP=∠B=60∘=∠EAP,

∴△AEP为等边三角形.

同理可证：

△PHC为等边三角形,

∴AE=EP=BH,PC=PH=HC

,

在△AEC和△BHA中：

∵AE=BH∠EAP=∠BAC=AB

∴△AEC≅△BHA.

（2）由（1）得：

∵△AEC≅△BHA,

∴∠BAH=∠ACE，AH=CE,

∶AB//GH,

∴∠

BAH=∠

AHG.

∴∠AHG=∠ACE,

由外角性质可知：

∠AHG+∠HQC=∠ACE+∠HPC,

∴∠HQC=∠HPC=60∘,

∴∠AQC=120∘,

在△EPC和△APH中：

∵EP=APCE=AHPC=PH

∴△

EPC≅

△APH，

过点P作PM⊥AH于点M，PN⊥EC于点N，

则有PM=PN，

∴PO平分∠AOC，

∵∠AQC=