2023年考研数学之线性代数讲义考点知识点概念定理总结

线性代数讲义

目录

第一讲基本概念

线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法

第二讲行列式

完全展开式化零降阶法其他性质克莱姆法则

第三讲矩阵

乘法乘积矩陇日勺列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵

第四讲向量组

线性表达向量组的J线性有关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩

第五讲方程组

解的性质解的状况的鉴别基础解系和通解

第六讲特性向量与特性值相似与对角化

特性向量与特性值一概念，计算与应用相似对角化一判断与实现

附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化

第七讲二次型

二次型及其矩陆可逆线性变量替代实对称矩阵R勺协议原则化和规范化惯

性指数正定二次型与正定矩阵

附录二向量空间及其子空间

附录三两个线性方程组日勺解集口勺关系

附录四06,考题

第一讲基本概念

1.线性方程组的基本概念

线性方程组的一般形式为：

Z,

**

anXi+ai2X2+*+ainX1=bi,

V

a2iXi+a22X2+•••+a2nx1=b2,

x.

•••••••••

a,,ixi+a1c2X2+••,+aanX,=bB,

其中未知数的个数n和方程式11勺个数m不必相等.

线性方程组的解是一种n维向量（kl,k2,…，kn）（称为解向量），它满足：当每个方程中

的未知数xi都用ki替代时都成为等式.

线性方程组的J解的状况有三种:无解,唯一解,无穷多解.

对线性方程组讨论的重要问题两个：（1）判断解的状况.（2）求解,尤其是在有无穷多接时

求通解.

b-b2-…-bn-0的线性方程组称为齐次线性方程组.

n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解.因此齐次线性方程组解日勺状况只有两

种:唯一解（即只要零解）和无穷多解（即有非零解）.

把一种非齐次线性方程组的每个方程的J常数项都换成0,所得到日勺齐次线性方程组称

为原方程组U勺导出齐次线性方程组，简称导出组.

2.矩阵和向量

（1）基本概念

矩阵和向量都是描写事物形态口勺数最形式的发展.

由mxn个数排列成的一种ni行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一种nixn

型矩阵.例如

G-101

11102

<J

254-29

333-18

是一种4x5矩阵.对于上面口勺线性方程组,称矩阵

厂、厂

anai2ainana】2…ain

A-S21322…a2n利fh-321S22…a2nb2

<><

••••••••••••••••••/

a<>ian2…a«na<,i…a,nb,r

为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的所有信息，而齐次方程组只用系数矩阵

就体现其所有信息.

一种矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为（i,j）位元素.

元素全为0的J矩阵称为零矩阵,一般就记作0.

两个矩阵A和8相等（记作尔而，是指它的行数相等,列数也相等（即它们的类型相似）,

并且对应的元索都相等.

rhn个数构成的有序数组称为•种n维向量,称这些数为它的分量.

书写中可用矩阵的形式来表达向量，例如分量依次是即羽…，a力、J向量可表到达

ai

（aba2,...,an）或a2,

Ii।

।

an

请注意，作为向量它们并没有区别，不过作为矩阵，它们不一样样（左边是Ixn矩阵,右边

是nxl矩阵）.习惯上把它们分别称为行向量和列向量.（请注意与下面规定艮I矩阵的行向量

和列向量概念II勺区别.）

一种mxn的矩阵的每一行是一种n维向量,称为它的行向量；每一列是一种m维向量，

称为它的列向量.常常月矩阵口勺列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A欧I列向量组为

a,a,...,Q,时（它们都是表达为列的形式!）可记本（a,

矩阵日勺许多概念也可对向量来规定，如元索全为0的向量称为零向量,一般也记作0.两

个向量a和网［等（记作用后,是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.

（2）线性运算和转置

线性运算是矩阵和向晟所共有日勺，下面以矩阵为例来阐明.

加1（减）法:两个mxn的矩阵A和8可以相加（减），得到附和（差）仍是mxn矩阵,记作

A+B（4-⑻，法则为对应元素相加（减）.

数乘：一种mxn的矩阵力与一种数c可以相乘,乘积仍为mxnU勺矩阵,记作c4法则为力

的I每个元素乘c.

这两种运算统称为线性运算，它们满足如下规律：

①加法互换律：加B8A.

②加法结合律：（小的+俏小（心0.

③加乘分派律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.

④数乘结合律：c(d)左(cd)4

⑤cA=Ooc=0或A=0.

转置:把一种mxnlT、J矩阵A行和列互换，得到H'、JnxmTj矩阵称为ZH勺转置,记作1(或4).

有如下规律：

①(AT)T=A.

②(4+而=/+尻

③(cJ)I=cJr.

转置是矩阵所特有的运算,如把转置U勺符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩

阵了.当a是列向量时，/表达行向最，当a是行向量时,Q，表达列向量.

向量组日勺线性组合:设a,a,…，a是一组n维向量，―c&…,a是一组数，则称

cia+c/a+…+c：；a.

为(1,((2,…，(s的(以cl,c2,-,cs为系数的J)线性组合.

n维向量组的线性组合也是n维向量.

(3)n阶矩阵与几种特殊矩阵

行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.

把n阶矩阵H勺从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)

下面列出几类常用的n阶矩阵，它们都是考试大纲中规定掌握的.

对角矩阵：对角线外1勺口勺元素都为0H勺n阶矩阵.

单位矩阵：对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作凤或

数量矩阵：对角线上的的元素都等于一种常数c的)对角矩阵,它就是cE

上三角矩阵：对角线下的的元素都为01向n阶矩阵.

下三角矩阵：对角线上的的元素都为0『、Jn阶矩阵.

对称矩阵:满足心】矩阵.也就是对任何i,j,(i,j”立的元素和(j,i)位的元素总是相等

的n阶矩阵.

（反对称矩阵:满足AT-A矩阵.也就是对任何i,j,:i,j）位II勺元素和（j,i）位的元素之

和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上日勺元素一定都是0.）

3.矩阵的初等变换和阶梯形矩阵

矩阵有如下三种初等行变换：

①互换两行的位置.

②用一种韭。日勺常数乘某一行的各元素.

③把某一行的倍数加到另一行上.（称此类变换为倍加变换）

类似地，矩阵尚有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了.初等行变换

与初等列变换统称初等变换.

阶梯形矩阵：一种矩冲称为阶梯形矩阵，假如满足：

①假如它有零行,则都出目前卜面.

②假如它有非零行，则每个非零行的第一种非（）元素所在的列号自上而下严格单调递

增.

把阶梯形矩阵的每个非零行的笫一种非0元素所在的位置称为台角.

简朴阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为：

③台角位置的元素为1.

④并且其正上方的元素都为0.

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简朴阶梯形矩阵.这种运算是在线性代

数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分纯熟.

请注意：1.一种矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一H勺,不过其非零行数和

台角位置是确定的.

2.•种矩阵用初等行变换化得日勺简朴阶梯形矩阵是唯•的.

4.线性方程组的矩阵消元法

线性方程组的基本措施即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程

组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).

线性方程组H勺同解变换有三种：

①互换两个方程日勺上下位置.

②用一种非0H勺常数乘某个方程.

③把某个方程日勺倍数加到另一种方程上.

以上变换反应在增广矩阵上就是三种初等行变换.

线性方程组求解B勺基本措施是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法.

对非齐次线性方程组环节如下：

(1)写出方程组的J增广矩阵(A(),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|().

⑵用(8,)鉴别解口勺状况：

假如最下面U勺非零行为(0,0.........Old),则无解,否则有解.

有解时看非零行数r(r不会不小于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.

(推论：当方程的个数m<n时,不也许唯一解.)

(3)有唯一解时求解的初等变换法：

去掉(B|()的零行，得到一种nX(n+1)矩阵(B0|(0),并用初等行变换把它化为简朴阶梯

形矩阵(E|(),则(就是解.

对齐次线性方程组：

(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.

(2)用B鉴别解的状况:非零行数r=n时只有零解；r〈n时有非零解(求解措施在第五章

讲).(推论：当方程的个数m<n时,有非零解.)

讨论题

1.设I是n阶矩阵，则

(A)A是上三角矩阵(A是阶梯形矩阵.

(B)A是上三角矩阵(A是阶梯形矩阵.

(OA是上三角矩阵(A是阶梯形矩阵.

(D)A是，三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有宜接的囚果关系.

2.下列命题中哪几种成立？

(1)假如/是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.

(2)假如A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.

(3)假如(川③是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.

(4)假如(H而是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.

⑸假如［可是阶悌形矩阵，则力和8都是阶梯形矩阵.

B

第二讲行列式

—.概念复习

1.形式和意义

形式:用r?个数排列成的一种n行n列的表格,两边界以竖线，就成为一种n阶行列式:

anai2ain

a21a22a2n

&12…Son

假如行列式的列向量组为a,a,…，a,则此行列式可表达为Ia,a,…，a|.

意义:是一种算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算，得到的数值称为这个行列式

的值.

请注意行列式和矩阵在形式上和意义上艮I区别.

当两个行列式时值相等时，就可以在它们之间写等号！（不必形式同样，甚至阶数可不一

样.）

每个n阶矩阵4对应一种n阶行列式，记作A\.

行列式这一讲的的关健问题是值的计算，以及判断一种行列式U勺值与否为0.

2.定义（完全展开式）

2阶和3阶行列式日勺计算公式：

anai2

a?i322=a“a22-ai2a2i.

anana）3

a?i322a23=a“a22a33+2a23a31+a13a21a321al3a22a3】—a】【a23a32—a12a21a33.

031332&33

一般地,一种n阶行列式

anaiaain

azia22…a2n

Qnl3O2•••3nn

时值是许多项H勺代数和,每一项都是取自不一样行,不一样列日勺n个元素的乘积,其一般形式

为:

这里把相乘日勺n个元素按照行标的大小次序排列,它们的列标…jn构成1,2,…,n的一

种全排列（称为一种n元排列），共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项，因此共有n!个项.

所谓代数也是在求总和时每项先要乘+1或T.规定…jn）为全排列jlj2…jn的逆序

数（意义见下面），则项。了。2力…。矶所乘的是力

全排列H勺逆序数即小数排列在大数右面的现象出现时个数.

逆序数可如下计算：标出每个数右面比它小的数的个数，它们的和就是逆序数.例如求

436512口勺逆序数：

323200

436512,T（436512）=3+2+3+2+0+0=10.

至此我们可以写出n阶行列式H勺值：

anai2am

a22-a2n=g㈠尸山

♦•••

HnlHn2•••3nn

这里Z表达对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式.

八八…jn

用完全展开式求行列式时值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数

项不为0时,才也许用它作行列式的J计算.例如对角行列式，上（下）半角行列式时值就等于主

对角线上B勺元素11勺乘积,由于其他项都为0.

2.化零降阶法

把n阶行列式的第1行和第j列划去后所得到rJn-l阶行列式称为（i,j）位元素a/勺余

子式，记作此次称为元素电的代数余子式.

定理（对某一行或列时展开）行列式的J值等于该行（列）的各元素与其代数余子式乘积之

和.

命题第三类初等变换（倍加变换）不变化行列式日勺值.

化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一种元素不为0,再用定理.于是

化为计算i种低1阶的行列式.

化零降阶法是实际计算行列式H勺重要措施，因此应当纯熟掌握.

3.其他性质

行列式尚有如下性质：

①把行列式转置值不变，即|川=1川.

②某一行（列川勺公因子可提出.

于是，p|=cnM|.

③对一行或一列可分解，即假如某个行（列）向量8分九则原行列式等于两个行列式之

和,这两个行列式分别是把原行列式的该行（列）向量a换为£或/所得到口勺行列式.例如

\a,伙邛"=a,0/1+1a|.

④把两个行（列）向量互换，行列式口勺值变号.

⑤假如一种行（列）向量是另一种行（列）向量的倍数,则行列式的值为0.

⑥某一行（列）日勺各元素与另一行（列）口勺对应元素时代数余子式乘积之和=0.

⑦假如4与3都是方阵（不必同阶），则

4*=A0=\A\|B|.

0B*B

范德蒙行列式：形如

111-1

a】a?as…&）

2222

Hia23aan

•••••••••

n-in-in-in-i

a】a2a3a,.

的行列式（或其转置）.它由面,a?,a3,…,a”所决定，它的值等于

因此范德蒙行列式不等于0（al,a2,a3,…,an两两不一样.

对于元素有规律的行列式（包括n阶行列式），常常可运用性质简化计算，例如直接化为

三角行列式等.

4.克莱姆法则

克莱姆法则应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n（即系数矩阵为n阶矩阵）

的情形.此时,假如它的J系数矩阵欧I行列式日勺值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为

（Di/D,DJD,…,D/D）,

这里D是系数行列式的值，D,是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列

式时值.

阐明与改善：

按法则给H勺公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的重要意义在理论上，用在

对解的唯一性口勺判断,而在这方面法则不够.法则的改善:系数行列式不等于0是唯一解H勺充

足必要条件.

实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵（4①作初等行变换，使得A变为单位矩阵：

（川月）一（£|〃），

〃就是解.

用在齐次方程组上：假如齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充足必

要条件是4M.

二.经典例题

1.运用性质计算元素有规律口勺行列式

例1①2aaaa②1+x111③1+a111

a2aaa11+x1122+a22

aa2aa.11+x1.333+a3.

aa2111+x4444+a

aaa2

例212345

23451

34512.

45123

51234

例3l+x1111

1l+x211

111+X31

111l+x.«

例4a0bc

0acb.

bca0

cb0a

例5l-aa000

-1l-aa00

0-1l-aa0.（96四）

00-1l-aa

000-1l-a

2.测试概念与性质的题

例6X3-31-32x+2

多项式f(x)=-75-2x1,求f(x)的次数和最高次项的系数.

X+3-133x2-2

9xJ6-6

例7求x-3a-14

f(x)=5X-80-2的x'和x'l勺系数.

0bx+11

221x

例8设4阶矩阵A=((,(1,(2,(3),B=((,(1,(2,(3),|A|=2,|B|=3，求|A+B|.

例9abed

已知行列式x-1-yz1的I代数余子式All=-9,A12=3,A13=T,A14=3,求

x,y,z.

1-zx+3y

y-2x+10z+3

例10求行列式3040的第四行各元素的余子式的和.（01）

2222

0-700

53-22

3.几种n阶行列式

两类爪形行列式及其值：

例11aia2a：j…a-an

bic2000

证明0b2c300=.

•••••••••

000bn-1Cn

提醒：只用时第1行展开(Mli都可直接求出).

例12&ai&2…an-i&

biCi000

证明b20C2…00=。°口，一…….

i=lr=l

bn000Cn

提醒：只用对第1行展开（Uli都可直接求出）.

另一种常见口勺n阶行列式：

例13证明

a+bb000

aa+bb00

..............=>/一%=上（当awb时）.

/a-b

000…a+bb

000aa+b

提醒:把第j列（行）的（T）“倍加到第1列（行）上（尸2,…,n）,再对第1列（行）展开.

4.有关克莱姆法则的题

例14

设有方程组

Xi+x2+X3=a+b+c,

axi+bx+cx=a2+b--»-c\

{23

bcxi+acx2+abx3=3abc.

（1）证明此方程组有唯一解的充足必要条件为a,b,c两两不等.

（2）在此状况求解.

参照答案

例1①(2+4a)(2-a)4.②x3(x+4).③a3(a+10).

例21875.

例3X1X2X3X4+X2X3X4+X1X3X4+X1X2X4+X1X2X3.

例4(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).

例5l_a+a2_a3+a1-a:>.

例69,-6

例71,-10.

例840.

例9x=0,y=3,z=-l.

例10-28.

例14Xi=a,x2=b,Xs=2..

第三讲矩阵

一.概念复习

1.矩阵乘法H勺定义和性质

定义2.1当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB.AB的行数和

A相等,列数和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数

相似)对应分量乘积之和.

/bubwbis

设Sua12ain

b2lb22b2s

a2iB-OAB-C21C22C28

a<ii&i2•••anrbnlbn2•••bns>CnlC«2

则

Cij=aiibij+ai2b2j+--+ainbnj.

矩阵小J乘法在规则上与数日勺乘法有不一样：

①矩阵乘法有条件.

②矩阵乘法无互换律.

③矩阵乘法无消去律，即一般地

由小0推不出4=0或后0.

由小4c和后0推不出B-C.(无左消去律)

由BA=CA和A(0推不出B=C.(无右消去律)

请注意不要犯一种常见的J错误：杷数的J乘法的「性质简朴地搬用到矩阵乘法中来.

矩阵乘法适合如下法则：

①加乘分派律A®0=®AC,(A+ff)C=AC+BC.

②数乘性质(cA)B=c(AB).

③结合律(AB)8A(BC).

④{AB)'=B'A\

2.n阶矩阵H勺方幕和多项式

任何两个n阶矩阵A和8都可以相乘,乘枳相仍是n阶矩阵.并且有行列式性质：

\AB\=\A\\B\.

假如AB-BA,则说A和8可互换.

方累设k是正整数，n阶矩阵/的k次方塞*即k个/口勺连乘积.规定4=及

显然A的任何两个方幕都是可互换的，并且方察运算符合指数法则：

②(，)1*=心.

不过一般地和力,"不一定相等!

n阶矩阵日勺多项式

,,,r,

设f(x)=a«x+aarix+--+aix+ao,对n阶矩阵A规定

n

f(A)=aJ+an-iA"'+•••+aiA+a«£

称为川南一种多项式.请尤其注意在常数项上加单位矩阵£

乘法公式一般地，由于互换性H勺障。导，小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩

阵的不再成立.不过假如公式中所出现"勺n阶矩阵互相都是乘法互换"勺,则乘法公式成立.例

如

当/和8可互换时，有：

(A±B)2=jf±2AB^;

A-B^(代初{A-B)二(小⑸{A-B).

二项展开式成立：(A+8)・=Xc：A'8等等.

/=1

前面两式成立还是4和8可互换的充足必要条件.

同一种n阶矩阵口勺两个多项式总是可互换口勺.一种n阶矩阵的多项式可以因式分解.

3.分块法则

矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种措施.对两个可以相乘的矩阵力和区可以先

用纵横线把它们切割成小矩阵(•切A的纵向切割和B的横向切割一致!)，再用它们来作乘

法.

(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则

AnAv：B.i笈A\\B\2JrA\zB>2

AiA&B-2A：182十几B心

规定4」日勺列数丛和内行数相等.

准对角矩阵的乘法：

形砥A\

Ai0…0

A=04­••0

00-A

的矩阵称为准对角矩阵,其中4,4,…,A都是方阵.

两个准对角矩阵

r1

400R0o

A=04•0B=0B.0

00—400B.

假如类型相彳以,即4和5阶数相等,则

AB0…0

AB=0A2B21.

y

00…A.B.

(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组

设A是m(n矩阵B是n(s矩阵.A的列向量组为(1,(2,…，(n,B口勺列向量组为

(1,((2,…，(s,AB的列向量组为(1,((2,…，(s,则根据矩阵乘法的定义轻易看出(也是分块

法则的特殊情形)：

①相的每个列向量为二期，i=l,2,…,s.

即力(4,—•••,")=(明"四…，破).

②夕(bi,b2,,,,,bn)：贝ijAfi-b：a+b2a+…+b0a.

应用这两个性质可以得至|J：假如＜二(bIi,b2i,…,bnM,则

-bia+b?ia+…a.

即：乘积矩阵形的第i个列向量力是川向列向量组a,a,…，al向线性组合，组合系数就

是5时第i个列向量£的各分量.

类似地，乘积矩阵的的第i个行向量是5的行向量组U勺线性组合,组合系数就是/的

第i个行向最的各分最.

以上规律在一般教材都没有强调，但只要对矩阵乘法梢加分析就不难得出.它们无论在

理论上和计算中都是很有川U勺.

(1)当两个矩阵中，有一种的数字很简朴时，直接运用以上规律写出乘积矩阵的各个列

向最或行向最,从而提高了计算的速度.

(2)运用以上规律轻易得到下面几种简朴推论：

用对角矩阵A从左侧乘一种矩阵，相称于用A门@」口「X6三6矩阵的各行向量；用对角

矩阵A从右侧乘一种矩阵,相称于用Aftejafax口!三6矩阵的I各列向量.

数量矩阵k£乘一种矩阵相称于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一种矩阵仍等于该矩阵.

两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

求对角矩阵H勺方哥只需把对角线上口勺每个元素作同次方哥.

(3)矩阵分解:当一种矩阵C的每个列向量都是另一种A的列向量组的线性组合时，可

以构造一种矩阵B,使得C=AB.

例如设力=3,4/C(研2。%3丈分％研2人令

131

历［-1(4,则C=AB.

-112

(4)初等矩阵及其在乘法中口勺作用

对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.

有三类初等矩阵:

以i,j):互换£『、Ji,j两行(或列)所得到的矩阵.

双i(c)):用非0数c乘£11勺第i行(或列)所得到II勺矩阵.也就是把歹的对角线上的第i

个元素改为c.

F(i,j(c))(i#j):把£的第j行的c倍加到第i行上(或把第i歹皿勺c倍加到第j列上)

所得到口勺矩阵，也就是把夕及l(i,j)位日勺元素改为c.

命题对矩阵作一次初等行(列)变换相称于用一种对应的初等矩阵从左(右)乘它.

4.矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)

(1)矩阵方程

矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程：

(I)AX=B.(II)XA=B.

这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵，在此条件下，这两个方程11勺解都是存在并且唯一

的.(否则解日勺状况比较复杂.)

当8只有一列时，(I)就是一种线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.假如B有s歹6,

设B=(",伍、…、以)，则才也应当有s列，记X=(X,X,…，X),则有AX、=",i=l,2,-,s,这是

s个线性方程组.由克莱姆法则，它们均有唯一解,从而册8有唯一解.

这些方程组系数矩阵都是A,可同步求解，即得

(I)的解法：

将N和8并列作矩阵"㈤，对它作初等行变换，使得4变为单位矩阵,此时B变为解X.

(A.>(£|1)

(IDR勺解法:对两边转置化为(I)的形式:力/=反再用解⑴的措施求出匕转置得

(川月)->(£/)

矩阵方程是历年考题中常见的题型，不过考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,

要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.

(2)可逆矩阵的定义与意义

定义设力是n阶矩电假如存在n阶矩阵5,使得得£班吆则称力为可逆矩阵.

此时5是唯一的,称为A的逆矩阵,一般记作A

假如A可逆,则A在乘法中有消去律：

AB=O(B=OtAB=AC(B=C.(左消去律):BA=O(B=O；BA=CA(B=C.(右消去律)

假如A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):

AB=C(B=A-1C.BA=C(B=CAT.

由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：

(I)AX=B的解X=ATB.(II)XA=BH勺解X=BA-1.

这种解法想法自然，好记忆，不过计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).

(3)矩阵可逆性的鉴别与性质

定理n阶矩阵力可逆=|川工().

证明“(”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-11=1,从而|A|(0.(并且|A-1|=|A|-1.)

“(”由于|A|(0,矩阵方程AX=E和XA=E均有唯一解.设B,C分别是它们的解，即AB=E,

CA=E.实际上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.

推论假如力和8都是n阶矩阵，则缶心物二七

于是只要AB=E(或BA二E)一式成立,则A和B都可逆并旦互为逆矩阵.

可逆矩阵有如下性质：

①假如A可逆，则

不也可逆,并且(不)'A

AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.

当cM时，cA也可逆，并且(cA)'=c'A\

对任何正整数k,才也可逆，并且(才)三(4))

(规定可逆矩阵A口勺负整多次方幕/=(4)\aT.)

②假如《和5都可逆,则相也可逆，并且(期7=511(请自己推广到多种可逆矩阵乘

积的情形.)

初等矩阵都是可逆矩阵,并且

£(i,j)'I=F(i,j),F(i(c))1=F(i(c')),F(i,j(c))I=£(i,j(-c)).

(4)逆矩阵的计算和伴随矩阵

①计算逆矩阵"勺初等变换法

当A可逆时，A1是矩阵方程4上£的解，于是可用初等行变换求A1

(4㈤f㈤4)

这个措施称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面简介口勺伴随矩阵法简朴得多.

②伴随矩阵

若4是n阶矩阵，记加是A的(i,j)位元素时代数余子式,规定力的伴随矩阵为

AnA2IA„i

A*=A)2A22…An2=(Aij)\

7J

A)nA2nAfffi

请注意,规定n阶矩阵A曰勺伴随矩阵并没有规定A可逆，不过在A可逆时，N*和卬有亲

密关系.

基本公式：AA^=AYA=通£

于是对于可逆矩阵4有

—/|4即心=A\A'\

因此可通过求心来计算4.这就是求逆矩阵II勺伴随矩阵法.

和初等变换法比较，伴随矩阵法口勺计算量要大得多，除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.

对于2阶矩阵

「、「、

ab*d-b

cd=~ca,

因此当ad-bc^O时，

「、「、

ab1d-b/

<JI/

cd=-ca(ad-bc).

伴随矩阵U勺其他性质：

①假如A是可逆矩陆,则A*也可逆，并且(A*)T=A/|A|=(AT)*.

②|A*|=|A|n-l.

③(AT)*=(A*)T.

④(cA)*=cA*.

⑤(曲*=a4*；(才)*=(W.

@当n>2时，(承/二凶％n=2时，(/)*二4

二经典例题

L计算题

例10-(1,-2,3);-1/2,1/3);小a夕，求/

讨论：⑴•般地，假如n阶矩阵走可”则才=(/a产企(t［《))k).

(2)乘法结合律的应用：碰到形如£必向地方可把它当作数处理.

①1-11

<aaT????O^??n??????a????????^aTa(-)

1-11

②设ar(1,0,T)',4-aa'，求|Q比4|.

③(v维向量(=(a,O,(,O,a)T,a<0,A=E-((T,A-l=E+a-l((T,求a.(03三，四)

④n维向量(二(1/2,0,(,0,1/2)T,A=E-((T,B=E+2((T,求AB.(95四)

⑤A=E-((T,其中(,(都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求(T(.

例2(1999三)101

设A=120，求kv-2Av-

I0I

例3000、

设I>

证明当时

求

010

例4T为3阶矩阵，a,a,。是线性无关口勺3维列向量组,满足

/a=a+a?+a,,/@=2a?+a),JaF2a?+3a(.

求作矩阵B,使得A((l,(2,(3)=((1,(2,(3)B.(数学四)

例5设3阶矩阵4=(a,a,a),14=1,庐(a+a+a,a+2a+3a,a+4®+9G),求|5|.(05)

例63维向量a,a、a”甬仇,一满足

a+a；+26K=(),3aLa+夕一氏=0,-a二+a-代-四:0,

已知|a,a,a，|二a,求|去,限p\.

例7设A是3阶矩阵，((是3维列向量，使得P=((,A(,A2()可逆，并且A3(=3A(-2A2(一

又3阶矩阵B满足A=PBP-1.

(1)求8(2)求|/+0.(01-)

210

例83阶矩阵48满足的*=2%*+£其中/=112J,求18.(04—)

001

r、

例93-51

设3阶矩阵生11-1(J,力弘=四+24求X

-102

例10Cl1-?

设3阶矩阵A=\^l11J,A^A'+2X求尤

1-11

例114阶矩阵48满足ABA二班'+3区已知

C00C

A*=0100，求B.（00一）

1010

0-308

例12300100

已知/二b1

JN00>,M+2序册2%求

21300-1

例13设a=(5,1,-5)：濠=(1,-3设)[&=(1,-2,1)1矩阵4满足

Na二(4,3)T,46二(7,-8)r,二(5,-5)T,

求A.

2.概念和证明题

例14设4是n阶非零实矩阵,满足例二/.证明:

(1)4>0.

⑵假如n>2,则|川二1.

例15设矩阵#(a。/满足/*"T,a”,a⑵m为3个相等的正数，则它们为

(A).(B)3.(C)1/3.(D).(数学三)

例16设4和8都是n阶矩阵，"001，则仆=

0B

(A)|A|A*0(B)|B|B*0

r0r0

I(0f7\|B*(A.(D)|BA*0

0184k0\A

例17设n是3阶矩阵，互换A^]1,2列得B,再把笈的第2列加到第3列上，得C求

Q使得OAQ.

例18设4是3阶可逆矩阵，互换人向1,2行得氏则

(A)互换4*的1,2行得到加.

(B)互换#的1,2列得到加.

(C)互换4的1,2行得到-加.

(D)互换心的1,2列得至卜加.()

例19设力是n阶可逆矩阵，互换力的i,j行得到B

(1)证明8可逆.

(2)求的二

例20设n阶矩阵A满足才+3企2Ao.

(1)证明A可逆，并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-cE可逆.

讨论:假如fG®=o,则

(1)当f(x)时常数项不等于。时,4可逆.

(2)f(c)M时,4-c£可逆.

(3)上述两条时逆命题不成立.

例21设a是n维非零列向量,记左比aa'.证明

(1)才=4oa'a=1.

(2)((T(=1(A不可逆.(96-)

讨论：(2)时逆命题也成立.

例22设43都是n阶矩阵，证明

E四可逆oEB4可逆.

例23设3阶矩阵A.夕满足A^A^B.

(1)证明不£可逆.

⑵设0-3(?

B\21gj,求4

002(91)

例24设A,B是3阶矩阵，A可逆,它们满足2A定历记

(1)证明於2£可逆.

⑵设0-2(?

以12gj,求4

002()

例25设n阶矩阵4B满足曲a4+b8其中abwO,证明

(1)左b£和都可逆.

(2)A可逆。B可逆.

(3)AB=BA.

例26设46都是n阶对称矩阵，-45可逆,证明;用阳；4也是对称矩阵.

例27设48都是n阶矩阵使得©8可逆，证明

(1)假如被以则及4-而7"(4+⑻'B.

(2)假如A.5都可逆，则5(小而小4(侵如B.

(3)等式8G4+而*/(4+而口总成立.

例28设A,B,。都是n阶矩阵,满足方E+AB,C=A^CA,则B~C为

(A)E.(B)-E.(C)A.(D)-A.(数学四)

参照答案

1-1/21/3

例13>35凌1-2/3/

3-3/21

①3.②a2(a-2n).③-1.®E.⑤4.

例20.

例3⑴提醒：於/二十片-庆"n-2U-E)=A-EoA(#-与=A-E.

(2)n=2k时，100

/1=\K10_J.

k01

r、

n=2k+l时，100

4=《+l0b

k10

例4100

火12多.

113

例52.

例6-4a.

01-2

例81/9.

例9-6104

四一242

-4100

例10110

(1/4)<011J

101

例116000

后0600

I

6060

030-1

例12100

<200；

6-1-1

例132T1

-4-2-5.

例15(A).

例16(D).

例17011

Aio勺

001

例18(D).

例19Mi,j).

例22提醒:用克莱姆法则.例如证明=>,即在E相可逆时证明齐次方程组(£84)养0只

有零解.

1-

例2311/20

4二&1/3107

002

例24020

4二Ql_10_J.

00-2

例25提醒：计算G4T㈤(人㈤.

例28(A).

第四讲向量组的线性关系与秩

一.概念复习

1.线性表达关系

设a,az,…，a是一种n维向量组.

假如n维向量(等于(1,(2,…，(s的J一种线性组合，就说(可以用(1,(2,…，(s线性表达.假如

n维向量组(1,((2,…，(t(((((((((可以用(1,(2,…，(s线性表达,就说向量

瓦巴小可以用a,*a线性表达.

鉴别“(与否可以用(1,((2,…，(s线性表达？表达方式与否唯一？”就是问：向

量方程

x)ai+X2&+—+xa=《

与否有解？解与否唯一？用分审:写出这个向量方程，就是以(1,((2,…,(“((((((((((((((•反之,

鉴别“以(A(((((((((((((((((((((((((”的问题又可转化为“(与否可以用A时列向量组线性表达?

表达方式与否唯一？”的问题.

向量组之间的线性表达问题与矩阵乘法有亲密关系????乘积矩阵AB的每个列向量都可

以表达为A*、J列向最组日勺线性组合从而AB日勺列向量组可以用A口勺列向量组线性表达??反之

假如向量组口…T可以用口…o线性表达则矩阵□…V??等于矩阵口…。??和一种ot矩

阵X的乘积X可以这样构造????它的第i个列向量就是I对匚…。日勺分解系数X不是唯一啊?？

向量组的线性表达关系有传递性，即假如向量组从/可以用a,a,…，a线性表

达,而a,。2,,,,,a可以用卜,加,7线性表达,则用,羯…,A可以用力,7，…,7线性表达.

当向量组a,a,…，a匚物，月，…，月互相都可以表达时，就说它们等价

a,…，a）三｛再限…，位.

等价关系也有传递性.

2.向量组的线性有关性

（1）定义（从二个方面看线性有关性）

线性有关性是为述向量组内在关系的概念，它是讨论向量组

a,a>,a-000更IX（xuVfs-1个向量线性表达的问题.

定义设a,a,…，a/n维向量组，假如存在不全为3的一组数ci,c2,—,c.使得

aa+c2&+…+c，a=0,

则说a,a,a线性有关,&□（即要使得cia+c：a+…+ca=0,必须ci,c2,g全为0）就说

它们线性无关.

于是，a,a,…，a"线性有关还是无关”也就是向量方程x：a+x2O6+—+xsa=0"有无

非零解”，也就是以（a,a,…，a：）为系数矩阵依J齐次线性方程组有无非零解.

当向展组中只有一种向晟（s=l）时,它有关（无关）就是它是（不是）零向量.

两个向量的有关就是它们的对应分量成比例.

（2）性质

①当向量的J个数s不小于维数n时,a,a,…，a□□JaCo.

假如向量口勺个数s等于维数n,则a,a,a线性有关u>|a,a,…，a,1=0.

②线性无关向量组的每个部分组都无关（从而每个向量都不是零向量）.

③假如a,a：,…，aJ?0a,Ca）,a,…，a,磔性有关，则网用a,血…,a」3n—.

④假如夕可用a,a,…,a』r）—，则表达方式唯一oa,a,…，