【250729】走进高一•初高数学衔接教程（深中）

3 26 第5讲二次方程(组) 第6讲从反比例函数到分式函数 63第7讲函数的增减性与最值 第9讲函数与不等式 第10讲恒成立与能成立问题 高一开学摸底考试1 高一开学摸底考试2 附录一高中数学课程介绍 附录二数学核心素养解读 第一部分基础篇第①绝对值3你与绝对值相识于七年级，中学六年它与你如影随形.在初中阶段，我们借助数轴定义了绝对值，并会求有理数的绝对值(绝对值符号内不含字母).高中不再专门学习绝对值问题，但由于绝对值具有表示距离及非负性等特性，再加上绝对值概念简单，可移植性强，与其他知识结合能较全面地考查基本数学素养，因此，仍会在不同模块中出现.本讲，我们将深入研究学习含绝对值的方程、不等式、函数.我们利用绝对值的几何意义来分析代数问题，采用“零点分段法”对含多个绝对值的式子进行讨论，体会“数形结合”和“分类”思想.在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0,即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.(⇔表示左边可以推出右边，右边也可以推出左边)(1)|a|>|b|⇔a²>b².要注意很多错误的认识，如a>bea²>b².(2)三角不等式：|a+b|≤|al+|b|,当且仅当a,b同号或其中一个为0时取等号.该不等式包含了两层意思：①la+b|=|a|+|b|⇔a,b同号，或至少一个为0;②|a+b|<la|+|bl⇔a,b异号.在数轴上，如何求两个数对应点之间的距离?显然“大数”减去“小数”即可，如5-(-1)表示5与-1对应点之间的距离，(-1)-(-3)表示-1与-3对应点之间的距离.在数轴上，如何求实数a,b对应点A,B之间的距离AB?由于两个数的大小关系不明确，我们需要另一方面，对于|a-b|,我们可以分情况讨论去掉绝对值符号：可见，la-b|与AB的值总相等，由此可知，(-1)|,表示数轴上x与-1对应点之间的距离；又例如|x+1|+|x-3|表示数轴上x到-1和3的对应点距离之和.在数轴上A,B两点分别表示数a,b,那么线段AB的中点对应的数是多少，为什么?不妨设a<b,中点对应的数是x,则必有a<x<b,因此x到a和b的对应点距离相等，所以有xb-x,解得当点P在线段AB上时：(1)A,B,P三点在数轴上，分别表4:1,那么4:1,那么去掉绝对值符号最基本的方法是分类讨论，这是由绝对值的代数意义决定的.化简|x+1|的思路5如果代数式含两个绝对值符号，又该如何处理呢?例如，化简|x+1|-|x-3|,我们自然要同时x的范围无很明显，只要找到-1和3,这三种情况的划分也就实现了.而“分界点”-1和3就是方程x+1=0和x-3=0的根.数轴上标出x=-0.5和3,将数轴分成三段，对x分三种情况进行讨论.解当x≥3时，原式=(2x+1)-(x-3)=x+4;时，原式=(2x+1)+(x-3)=3x-2;解方程|x-2|=1,由绝对值的定义知，绝对值为1的数是±1,所以x-2=±1.解得x=1或x=3.在这里，将x-2视为整体(体现了整体思想).当x≥2时，x-2=1,解得x=3,符合条件；当x<2时，2-x=1,解得x=1,符合条件.综上，x=1,或x=3.所以x=1,或x=3.当时，方程可化为-(2x-3)+(x+1)=5,即-x+4=5,解得x=-1,舍去；当x≤-1时，方程可化为-(2x-3)-(x+1)=5,即-3x+2=5,解得x=-1,符合条件.当分类条件是必须检验的.比如例2,时，解得x=-1,不符合分类条件，所以要舍去(-1当在另一类下符合条件，最终还是留下了).不同的类相当于不同的练解得或x=0.当x≥0时，不等式可化为x<1,所以0≤x<1.当x<0时，不等式可化为-x<1,即x>-1,所以-1<x<0.当x<0时，不等式可化为-x>1,即x<-1,不等式|x|<1表示数轴上x对应的点到原点距离小于1,所以解集为-1<x<1;不等式|x|>1表示数轴上x对应的点到原点距离大于1,所以解集为x>1或x<-1.解不等式|x-2|<1,|x-2|>1,也可以利用几何意义：|x-2|<1表示数轴上x与2对应点之间距离小于1,所以解集为1<x<3;|x-2|>1表示数轴上x与2对应点之间距离小于1,所以解集为x>3或x<1.第①绝对值7【例3】解关于x的不等式：|x-ml<1,要求用多种方法.分析用代数或几何方法.代数方法是按绝对值内的数的正负讨论去掉绝对值；几何方法是利用|a-b|的几何意义.当然，也可以将x-m视为一个整体.解法一：若x≥m,则不等式可化为x-m<1.解得x<m+1.若x<m,则不等式可化为-(x-m)<1.解得x>m-1.综上所述，原不等式的解集为m-1<x<m+1.法二：|x-m|表示数轴上实数x与m对应的点之间的距离，如图，在数轴上，实数m+1和m-1的对应点到m的对应点的距离都是1,而不等式|x-m|<1表示实数x与m的对应点之间的距离小于1.∴原不等式的解集为m-1<x<m+1.法三：将x-m视为一个数，先得到这个数的范围.对于法一，还要推荐一个好的书写格式，将分类讨论写成不等式组的形式，例3转化如下：或一般地，如果a>0,那么从绝对值的几何意义看到，|x|<a表示数轴上到原点的距离小于a的点的集合，|x|>a表示数轴上到原点的距离大于a的点的集合，因而如果a=0或a<0,那么不等式|x|<a,Ix|>a的解集又是怎样的?这里不再展开，请同学们自行研究(见下面的【拓展研究】).拓展研究一般地，简单的含绝对值的不等式的解的情况可以列成下表：以上是解其他绝对值不等式的基础，即其他绝对值不等式的解一般可以通过转化为上述不等式而得到.例如，对于不等式|x-x₁I<a,|x-x₁I>a,不一定用x与x₁对应点的距离来解决，而是将x-x₁视为一个数(整体思想),所以有x₁-a0x₁-a0去掉绝对值的方法并非只有讨论，还可以利用等价命题“|a|>|b|⇔a²>b²”,所以例3还可以采|x-m|<1⇔|x-ml²<1⇔(x-m)²-1<0⇔[x-(m+1)][x-(m-1)]<0⇔m-1<练提示为简化过程，建议将每种情况写成不等式组的形式转化为或是-1<x<1,它们是同解不等式.又例如，2x+3>1与1-2x<3是同解不等式，有些情况比较复杂，不等式(前者x不可取0,后者可以取0).(2)不等式“f|(x)|>g(x)”与“f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)”不等式|x|<-x²-1无解无解，原因是x²+1<-x²-1一定无解.所以不等式|x|<-x²-1与x²+1<x<-x²-1同解.If(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(xlf(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)【例4】解不等式：5-x>7|x+1|.练【例5】(1)不等式组恰好有三个正整数解(2)不等式组的所有解都满足不等式|x+1|<|x+a|(a<1),求a的取值范围.分析先将不等式(组)等价转化为最简形式，再将解在数轴上表示出来.由于解与字母a有关，所以解(1)原不等式组等价于在数轴上标出来，如图∵不等式组恰好有三个正整数解，∴它们是3,4,5.不等式|x+1|<|x+a|等价于(x+1)²<(x+a)²,化简得2(1-a)x<a²-1.∵①的所有解都满足②,如图，点评本题研究了含字母的不等式，既要理解不等式的解的含义，又要用运动的观点分析问题.对问题题4回顾例5第(1)问的解答过程，a为什么不能取6?接起来，还可以看作是把y=2x-3的图象位于x轴下方的部分翻折上【例6】(1)将函数y=|x-2|+|x+1|写成分段函数的形(2)|x-2|,|x+1|分别表示数轴上x与2,x与-1对应点之间的距离，请你在数轴上滑动表示x分析画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线.写成分段函数形式可理清各部分的函数类型，预知图象形状.列表一→描点一→连线yyxxx23y5335(2)y表示数轴上x与2,-1对应点之间的距离之和.练(1)y=|2x-3|+|x+1|;(2)y=2|x|-3;(3)y=x|2-x|.练习4补充问题：画出函数y=x|a-x|(a为常数)的图象.(1)若0≤x≤1时，图象是上升的(y随x的增大而增大),求a的范围.(2)若-1≤x≤0时，图象是上升的，求a的范围.问题5思考下列两个问题，并总结一般规律.(1)观察函数y=|2x-3|的图象，你认为它与y=2x-3的图象有何关系?(2)观察函数y=2|x|-3的图象，你认为它与y=2x-3的图象有何关系?y=f(x)就是y=2x-3;y=|f(x)|就是y=|2x-3|;y=f(|x|),就是y=2|x|-3.可见，函数y=|f(x)|和y=f(|x|)的解析总结函数y=|f(x)I,y=f(|x1)均与y=保留函数y=f(x)的图象在x轴上方的部分，再把x轴下方的部分沿x轴往上翻折，即可得到(2)y=f(|x|)的函数可化为保留函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分，去掉y=f(|x|)的图象.如果不要求用列表、描点、连线的步骤画函数的图象，就可以通过以上的快捷方式(图象变换)来练(1)y=|4x-x²|;(2)y=4|x|-|xl²;(3)y=|x-2|-1|.拓展研究几个特殊的带绝对值符号的函数(1)函数y=|ax+b|(a≠0)的图象如图1,成“V”字形，对称轴是直线(2)函数y=|ax+b|+|cx+d|的图象如图2.特别地，当a=c时，中间为“平底”,如图3.(3)函数y=|ax+b|-|cx+d|的图象如图4,5.特别地，当a=c时，两边水平(呈“Z”字形),如注意，所有转折点的横坐标都是关于x的方程ax+b=0或cx+d=0一、选择题1.a,b为任何实数，下面四个命题正确的是().2.设T=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|,如果x可取任意实数值，那么T最小的值是().A.1B.23.关于x的方程x²-2019a|x|-2020=0(a为常数)的解的个数是().A.1B.2C.4.若关于x的不等式|x-4|+|3-x|<aA.a<1B.a≤1C.0<a<A.x≤1或x≥3二、填空题6.如果关于x的方程|a|x=|a+1|-x的解是1,那么实数a的取值范围是9.不等式p:|x-1|>1-x,是常数),如果p的解都满足q,那么a的取值范围是10.不等式p:|x+3|>|x+1|,不等式q:/1-x<2,如果实数x。至少满足其中一个不等式，那么(1)|2x+1|-|x-3|+|x-6|=6;(3)|2x+1|-|x-4|>2;(4)12.设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.代数式的恒等变形是中学数学中极其常见的运算，高中生计算能力弱，符号(字母)运算错误率高，究其原因，在于初中阶段对整式、分式、根式性质不熟，训练强度不够.在初中阶段，我们已经了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算，乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘);会利用平方差公式、完全平方公式进行简单计算；会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数).根据高中学习的需要，我们将在本节学习一些新的乘法公式、因式分解的新方法，对要分解的因式也不限于二次多项式.希望你们对配方法与待定系数法有一定的认识.而对整式的恒等变形，应注意加强高次多项式运算的练习.,数与字母的积的代数式叫单项式，单独一个字母或数也是单项式.如-5x³y⁴,项式.几个单项式的和叫做多项式.如4x²-5x+7,不是多项式.,单项式和多项式统称整式.2.整数指数幂正整数指数幂：2为正整数).0整数指数幂：a⁰=1(a≠0).负整数指数幂：n为正整数).整数指数幂的运算性质：(1)a"·a"=a"+";(2)a"÷a"=a"=";(3)(ab)"=a"·b";(4)(5)(a")"=a””.(以上a,b都不为3.乘法公式(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²;但不是单是互逆的.(1)十字相乘法；(2)分组分解法；(3)添项与拆项；(4)因式定理法；(5)待定系数法.无特别说明，一般只要求在有理数范围内分解到不能再分解为止.例如，x⁴-4在实数的范围分解的一次式ax+by(a,b为常数),由于每项均为一次，我们称之为一次齐次式，如3x-5y.二次式ax²+bxy+cy²(a,b,c为常数),由于每项均对于多项式3x²-5xy+4y²,一般将x,y默认为字母，所以它是二次齐次式.但高中经常将部分字母视为常数，如果将y视为常数，那么它的结构是3x²-(5y)x+(4y²),这时把它看作关于x的二次式，但不是齐次式；如果将x视为常数，那么它的结构是4y²-(5x)y+(3x²),这时把它看作关于y的二次式.一方面，要善于根据结构选择合适的公式运算.比如，看到(a+2b)(a²-2ab+4b²)就联想到立方和公式，于是(a+2b)[a²-a·2b+(2b)²]=a³+(2b)³=a³+8b³,这大大提高了运算速度.另一方面，还又例如，将a³+b³用a+b与ab表示：a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)=(a+b)第②训整式(2)已知x=2,求(x+1)(x²-x+1)(x⁶-x³+1)(x⁹-1)-2¹⁸的值.分析直接展开化简显然太麻烦，观察能否用乘法公式解决.第(1)问中x²-xy+y²与x+y相乘就是立方和公式；同样，第(2)问中x²-x+1与x+1搭配得到x³+1,再顺势与x⁶-x³+1结合.解(1)原式=[(x+y)(x²-xy+y²)]²(2)原式=(x³+1)(x⁶-x³+1)(x⁹-1)-2¹8=x¹⁸-1-2¹8.∴原式=-1.练提示在含θ的直角三角形中，设θ的对边为a,邻边为b,直角三角形斜边为c,那么练(1)已知10"=a,10"=b,求10³m+2的值.(2)已知22m+”"=a,8"-3=b,求2"+I的值.(这两题结果均用a,b表示)二次三项式ax²+bx+c(a≠0)的因式分解，在b²-4ac≥0时，总有办法解决：ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂),其中x₁,x₂是方程ax²+bx+c=0的两根.但如果只是机械地用这一种方法就过于单调，甚至把简单问题复杂法.这里，我将介绍十字相乘法(也称观察法).我们先研究x²+px+q的二次三项式(即二次项系数为1的情况).假设x²+px+q=(x+r)(x+s),即x²+px+q=x²+(r+s)x+rs.由多项式恒等，知只要找到两个数r,s同时满足r+s=p,rs=q,x²+px+q即可分解为(x+r)(x+s).(1)x²-5x+6;(2)x²-x-12;(3)x²-2a分析第(1)问把6分成两个数的积，可以是1×6,(-1)×(-6),2×3,(-2)×(-3)这四组，经过尝试只有6分解为(-2)(-3)时，(-2)+(-3)=-5.第(2)问用同样的方法试试.第(3)问把a²-1分解为(a+1)×(a-1),[-(a+1)][-(a-1)]等等，发现[-(a+1)]+[-(a-1)]=-2a.解(1)原式=(x-2)(x-3).(2)原式=x²-x-12=(x+3)(x-4).(3)原式=[x-(a+1)][x-(a-1)].点评尝试过程可在草稿上进行，不需要写入解答过程.练习3用例2的方法分解因式：练习3的(4)(5)(6)问都含有两个字母，但可视为关于x的二次三项式(y为常数),例如第(6)问的常数项为-y-y²分解为(-y-1)y,验算有(-y-1)+y=-1,所以x²-x-y-y²=(x-y-1)(x+y).现在研究ax²+bx+c(a≠0)的分解方法.假设ax²+bx+c=(mx+r)(nx+s),即ax²+bx+c=mn²+(ms+nr)x+rs,由多项式恒等，知只要找到四个数m,n,r,s同时满足mn=a,ms+nr=b,rs=c即可，如下图：m要找这四个数m,n,r,s,可以这样去做，先找a的因数m,n,使mn=a;再找c的因数r,s,使rs=c;最后再试验ms+nr是否等于b.如果ms+nr=b,那么ax²+bx+c=(mx+r)(nx+s);如果ms+nr≠b,那么就要重新试验，直到符合要求为止.【例3】分解因式：(1)3x²-7x+2;(2)7x²-19x-6.分析第(1)问，将3分解为1×3写在左列，将2分解为(-1)×(-2)写在右列，交叉相乘、相加，得到-5,不合适.再将2分解为(-2)×(-1),交叉相乘、相加，得到-7,合适.解(1)3x²-7x+2=(x-2)(3x-1).(2)7x²-19x-6=(7x+2)(x-3).(合适)回头看，对于例2的几个整式，也可以列出“十字”模型解决.将二次项系数“1”分解成1×1即可.【例4】用十字相乘法分解因式：(1)6x²-12y²-xy;(2)x²+98y²-21xy+x-7y;(3)x²-3xy-10y²+x+9y-2.分析以上都含有两个字母，如果将原式按x的降幂排列，可视为关于x的二次三项式，如6x²-12y²-xy可化为6x²-yx-12y²,将y视为常数，再用十字相乘法分解因式：先将6和-12y²分解，你试试.解(1)原式=6x²-yx-12y²=(2x-3y)(3x+4y).(2)法一：原式=x²+(1-21y)x+7y(14y-1)=(x-7y)(x-14y+1);法二：原式=(x-7y)(x-14y)+x-7y=(x-7y)(x-14y+1).(3)x²-(3y-1)x-10y²+9y-2=x²-(3y-1)x+(-5=(x-5y+2)(x+2y-1).点评在二元二次多项式中，欲用十字相乘法分解因式，需经过两个步骤：(1)固定一个字母为主要字母(俗称“主元法”),把原式看成关于这个字母的多项式，另一字母看成常数；(2)按这个主要字母将多项式降幂排列，再用十字相乘法分解因式.练习4用十字相乘法分解因式：(4)6x²-x-12;(5)(a-b(7)5x²+6xy-8y²;(10)2x²+xy-y²-4x+5y-6.2.2分组分解法整式乘法有(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn,反过来，自然就有了分解因式的方法：这种把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法.如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.【例5】分解因式：a²-ab+ac-bc.分析把这个多项式的四项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b,这样就可以提出公因式a-b.=a(a-b)+c(a-b)(组内提公因式)=(a-b)(a+c).(提公因式)点评还可以这样：原式=(a²+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c)=(a+c方法可能不唯一，但因式分解的结果是一样的.练(1)2ax-10ay+5by-bx;(2)ax+2by+cx-2ay-bx-2cy;(3)x²-x²y+练习6已知函数y=x³-3x²+3x的图象经过(x₁,y₁)与(x₂,y₂)两点，且x₁<x₂,求证：a²-b²=a²-ab+ab-b²=(a-b)(a+b)x²+2x-3=(x²-x)+(3x-3)=(x-1)(x+3)就是拆项，将原式中2x拆为-x+3x.拆二次项：原式=(x³+x²)+(x²-5x-6)=x²(x+1)+(x+1)(x-6)=(x+1)(x²+x-6)=(x+1)(x-2)(x+3).拆一次项：原式=(x³+2x²-8x)+(3x-6)=x(x²+2x-8)+3(x-2)=x(x-2)(x+4)+3(x-2)=(x-2)(x²+4x+3)=(x+1)(x-2)(x+3).拆常数项：原式=(x³+1)+(2x²-5x-7)=(x+1)(x²-x+1)+(x+1)(2x-7)=(x+1)(x²+x-6)=(x+1)(x-2)(x+3).拆二次项与一次项：原式=(x³+x²)+(x²+x)-(6x+6)=x²(x+1)+x(x+1)-6(x+1)=(x+1)(x²+x-6)=(x+1)(x-2)(x+3).a³-b³=(a³-a²b)+(a²b-ab²)从上面想到，对a⁴-b⁴,a⁵-b⁵,…,均可以用添项的方法分解因式.所以有a"-b”=(a-b)(a"⁻¹+a"-²b+…+ab"-²+b"-¹),n为正整数.a"-(-b)"=(a+b)[a"⁻¹+a"-²(-b)+…+a(-b如果n是奇数，那么a"+b"=(a+b)(a"-¹-a"-²b+…-ab"⁻²+b"⁻¹),n为奇数.练(1)x⁴+x²y²+y⁴;(2)x⁴-11x²+1;(3)a⁵-b⁵(n为正整数).因式定理：如果当x=a时多项式f(x)的值为零，即f(a)=0,那么多项式f(x)必定含有因式x-a.第②训整式例如，多项式f(x)=x³+2x-3满足x=1时值为零，即f(1)=0,那么f(x)=x³+2x-3必定含有因式x-1,这就指明了添项的方向：x³+2x-3=(x³-x²)+(x²-x)+3(x-1),于是可以利用分组分解法来分解因式了.【例6】分解因式：x³-2x+1.分析先观察f(x)=x³-2x+1,发现f(1)=0,或者说方程x³-2x+1=0有解x=1,这表明原式含有因式x-1.=(x-1)(x²+x-1).点评方法不唯一，还可以将原式写为x³-1-2x+2,后略.(1)x³+2x-3;(2)x³-问题1如果x³+ax²+bx+8有两个因式x+1,x+2,那么a,b+8=0.解得a=7,b=14.将右式展开，对比两边的系数.分解成两个二元一次因式的.还有其他方法吗?如何判断这样的多项式能否分解?(1)2x²-3xy-2y²+3x+4y-2;(2)x²-y²+2x+y-1.分析观察式项式(1)发现前三项是可以分解的，即2x²-3xy-2y²=(2x+y)(x-2y),因此猜想原式可分解为(2x+y+m)(x-2y+n)的形式.如果能求出m,n就可以分解因式，如果这样的m,n不存在，解(1)∵2x²-3xy-2y²=(2x+y)(x-2y),∴设2x²-3xy-2y²+3x+4y-2=(2x+y+m)(x-2y+n),由①②,可得m=-1,n=2.代入③满足.由①,②可解得将m,n的值代入③不成立，即同时满足①,②,③的m,n不存在.(1)x²+2x+4=(x²+2x+1)+(2)x²+y²+2x+4y+40=(x+1)²+(y+2)²+35.配方法有什么用?我们来看一个问题：“对于任何实数a,b(a≠b),证明a²+ab+这里就用到了配方法.我们将多项式a²+ab+b²看成关于a的二次式(b相当于常数),并将其配成【例8】(1)比较a²+b²+c²与ab+bc+ca的大小.(2)x,y可取任何实数，那么x²+4y²-4xy+2x-4y+3的最小值是多少?分析第(1)问作差法是比较两个实数大小的基本方法，它的一般步骤是作差→变形→定号.第(2)解(1)a²+b²+c²-(ab+bc+ca)(当且仅当a=b=c时取等号)∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca.(当且仅当a=b=c时取等号)(2)法一：∵原式=(x-2y)²+2(x-2y)+3=(x-2y+1)²+2,∴当x-2y+1=0时，原式有最小值为2.法二：由x²+4y²-4xy=(x-2y)²,设x²+4y²-4xy+2x-可得m=1,n=2.(后略)点评作差法比较大小时，变形是关键，大多采用分解因式的办法，将差式分解为多个因式的积，或练习9已知函数y=x³的图象经过(x₁,y₁)与(x₂,y₂)两点，且x₁<x₂,求证：y₁<0,等等.a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-ba²+b²+c²=(a+b+c)²-2…分析条件中a³+b³三次齐次式，目标式中a+b是一次齐次式，将a+b≤2转化为这证明法一：要证a+b≤2,只要证(a+b)³≤8,只要证(a+b)³≤4(a³+b³).4(a³+b³)-(a+b)³=3a³+3b³-3a²b-3ab²=3(a+b)(a-b若a+b<0,则a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²),其中综上，4(a³+b³)-(a+b)³≥0,即(a+b)³≤4(a³+法二：由法一知必有a+b≥0(不再证明).(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³=2+3ab(a+b).(可用作差法证明),练习10(1)求证：对任意实数a,b均有(2)已知a>0,b>0,a³+b³=2,比较三个数(a+b)(a⁵+b),(a+b)²与4的大小.【例10】已知n,x,y为正整数，且x"+y"能被x+y整除，求证：x"+²+y"+²也能被x+y整除.解x"+²+y"+²=x²·x"+y²·y"=x²(x"+y”)+y"·(y+x)(y-x).∵x“+y”能被x+y整除，且(y+x)(y-x)A.6B.8C.102.若△ABC的三边a,b,c满足a²+2b²+c²-2b(a+c)=0,A.直角三角形B.等腰直角三角形3.方程x³-y³+x²y-xy²=32的正整数解的个数为().A.0B.1C.2D.不小于34.若a<b,x<y,且A=ax+by,B=A.A>BB.A=BC.A5.若正数a,b,c满足a²=b²+c²,且a⁴-3a²b²-4b⁴=0,则的值为().(2)x²+x-(a²-a)=_(3)2x²+xy-y²-4x+5y-6=_;(4)x³+x-2=_第②训整式8.(1)比较大小：x²+y²+1(2)已知a>0,b>0,且a≠b,比较大小：a⁵+b⁵a³b²+a²b³.9.x,y可取任何实数，T=x²+4xy+5y²-2y+2,当x=_,y=时，T有最小10.(1)定义新运算：f(x)=x²+2x-1,那么f(x+1)=;(2)定义新运算：f(x+1)=x²+4x+2,那么f(x)=_.(结果都要求化简)11.(1)已知x,y,z为三个非负实数，且满足3x+2y+z=5,x+y-z=2,若s=2x+y-z,求s的最大值与最小值的和.(2)已知-1≤a+b≤3,2≤a-b≤4,令T=2a+3b,求T的最大值，并指出T取最大值时a,b的值.分析第(2)问，利用不等式性质可,于是这样得到T的最大值和最小值，这一做法对吗?12.已知11*+²+12²+¹(n是某个正整数)是133的倍数，求证：11*+³+12#+³也是133的倍数.整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果B中含有字母，那么称为分式.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式(1)分式的乘除法分式乘方是把分子、分母各自乘方.用式子表示是”为整数).(2)分式的加减法①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，等于0就是增根，应该舍去；第③训分式不等于0就是原方程的根.比例性质对化简有什么好处呢?现举一例：【例1】已知a,b,c均为非零常数，且满求p的值.解若a+b+c≠0,则由等比性质，得化简，得p=1.若a+b+c=0,则a+b=-c.从而点评使用等比性质时务必要注意新产生的分母不能为0.练 ;(2)已知实数x,y,z满,求x+y+z的值.(3)若a≠b,a≠0,b≠0,a+b≠0,提示：第(3)问，如果将x代入目标式就太繁琐了，仔细观察目标式，再调整已知条件中的比例式.这里主要谈分式的几种常见变形：齐次分式的变形、作差法比较大小、配方法求最值、分子的降次处理.形如a,b,c,d为常数)的分式的分子、分母均为一次齐次式，我们称之为一次齐次分式，比例函数的性质知道，正数x趋近于无穷大时，趋近于0,于是作如下变形：第③训分式【例2】已知正数a,b,c满足a²=b²+c²,1的取值范围.分析有两个元a与c,不太好求范围，若化为,则只有,想到先求的范∵b²=a²-c²,∴a²≥3(a²-c²).整理，得3c²≥2a².于是练(2)已知正数a,c满足a²-ac-2c²=0,这两个关系称为同角三角函数的平方关系与商数关与3sin²θ-5cos²θ+sinθcos【例3】利用作差法证明.(1)已知a>b>0,求证：证明(1)练求证：已知x₁>x₂>-5,求证：倒数法则的本质是反比例函数的性质.要比较与的大小，除了知道a,b是同号还是异号(由例3的证明过程也可以看出).到高中后，还有不少同学仍对这种问题含糊不清.(1)比较f(x₁),f(x₂)的大小；(2)求证：f(x)≥4,并说明何时取到等号(实际就是证明函数f(x)的最小值为4).【例4】用配方法求下列分式的最大(小)值.(2)已知x<0,求的最大值.分析配方法求最小值，比如二次函数y=x²+2x+3=(x+1)²+2,从而得到最小值为2.第③训分式(2)法一：法二：由(1)知，当x>0时，当且仅当x=1时取等号.当x<0时，-x>0,当且仅当-x=1时取等号，所以当x=-1时，最大值-2.例4告诉我们两个重要结论：若x<0,则当x=-1时，有最大值-2.一当且仅当x=-1时取等号.当且仅当x=1时取等号∴函数y的最小值为23-4.现在换一个配法：最小值为215-9,表不同的配法，仿照以上做法，y的最小值为2/2a-1-a²,每种配法都会有一个最小值(与a有关),岂不荒唐?我们再验证取最小值的条件：x=a,且即只有当a=我们知道，一个假分数可以化为带分数.例如很明显，整数部分6就是25÷4的整商，而分数部分的分子1则是25÷4的余数.和分数的情况类似，如果一个分式的分子次数高于或等(一个位置含x)原来有两个位置含有x,现在只有一个位置含有x,解(1)法一(待定系数法):设函数可化为,即法二(配凑法):∵,(关键一步是凑分母)法三(换元法):令t=x+1,则x=t-1.当x+1是1的约数，即x+1=±1时，y是整数，所以满足条件的x有2个.(2)法一(待定系数法),仿照(1),略法二(配凑法):注：还可以作如下变形法三(竖式除法):从上式可以看出：点评两问分别化为都实现了分子的次数低于分母的次数.这样做是有用的，通过例5,我们知道函数是有联系的.先将分式变形是常见思维，如练习3,在比车的大小时，也可以这样：∵x₁+5>x₂+5>0,(此处“>0”不可省，接着用倒数法则)即练(1)分别把下列分式化成整式(或常数)加上分式的形式：(2)将形式，有多少个整数x,使y也是整数?(3)用简便方法计算：(分母可保留积的形式).练再欣赏一遍练习6第(2)问的思路：或或分析本题用不等式基本性质2解决，将分类讨论写成不等式组的形式.解(1)不等式可化为或第③训分式解之得-2≤x<3,或无解.∴原不等式的解集为-2≤x<3.点评第(1)问最容易出现的错误是是正确的，原因是有隐含条件x²+1>0,避免了讨论.练练【例7】在正实数范围内，只有一个数是关于x分析先化为整式方程，再列出符合题意的情形：(1)有两个相等的实根，是正数但不是1.(2)有两个不相等的实根：①两个正根且其中一个是1;②一正一负两根，且正根不是1;③一正一零两根，且正根不是1.解原方程可化为2x²-3x-(k+3)=0,①当△=8k+33=0时，,符合题意.当△>0,即时，分以下三种情况.(1)当方程①有两个正实根时，必须有一根为1,另一根不为1.若x=1是方程①的根，则k=-4(说明只有k=-4才会产生x=1的根).由于k≠-4,正的实根不是1,符合题意.(3)当方程①有一个根为0时，k=-3,此时另一个根为,符合题意.和和A.0B.1A.B.y≠0C.y≠2且y≠5D.5.若函数则其图象的最高点的坐标是().A.(1,3)B.D.不存在8.一个两位数除以它的两个数位上的数字和.若商为最小值，则这个两位数是__;若商为最9.若函数满足当x=a时，y=a,则称点(a,a)为函数图象上的不动点.如果函数的图象上有第③训分式11.解下列方程与不等式：12.作差法比较大小：(1)函数(x₁,y₁),(x₂,y₂)两点，且0<x₁<x₂<1,试比较y₁与y₂的大小；13.由抛物线y=x²与直线x=1,y=0求它的近似值.图1图2必然是一个定值，为了求得它，先图3步骤1:分割将线段OA分成n等份(n为大于2的正整数),得到n条长度相等的小线段，也可以这样说，将区间[0,1]等分成n个小区间,…,所以过各个区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小矩形，图2、图3展示的是第i个小矩形的画法，所有矩形都是这样得到.步骤2:用S,近似代替S第i个小矩形的面积S₁=_这n个小矩形的面积之和为Sₙ=_(结果只含n,可保留括号).这n个小矩形面积之和就是S的近似值.步骤3:取极限，推导S的值y=²00步骤4:换个做法如图，展示的是第i个小矩形另一种画法，出S的值.第④排二次根式在初中，我们已经了解了二次根式、最简二次根式的概念，了解了二次根式(根号下仅限于数)加、式.因此要更多地了解根式的运算技巧，如平方去根号，将根式换元，利用乘法公式化简，分子(母)有理化，等等.二次根式必须满足：①含有二次根号“/”;②被开方数a必须是非负数.(la)²=a(a≥0).简二次根式.(1)若a≥0,则(/a)²=a.虽然初中不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算，如、/a³b,,但是在高中这些都(1)/24x;(2)/-12x⁶y(x<0);(3)、x³y掉绝对值符号.第(3)题的被开方数是多项式，可以先分解因式，再化简.(2)/-12x⁶y=|2x³I./-3y点评根式的运算是今后指数运算的基础.在根式中要注意对字母的正负进行判断.类项类似.aa练练第④排二次根式练习3求函数的值域.下列两种思路至少一种是错的，请指出来，并写出正确的解法.思路一：将函数变形为思路二：,先得y²的范围，有或2.重二次根式如果二次根式的被开方数中含有二次根式，那么这样的式子叫做重二次根式.如、/1+/2.有些重二次根式可以直接去掉最外面的根号，如、/4+2.3,根式中的2/3相当于2ab(只需补上a²+b²),于是、/4+23=、/(3)²+2×13×1+1=、/(3+1)²=13+1.有些重二次根式需要先调整，如、/2+、3先化)于是【例2】化简：分析这是形如、/A+2/B的二次根式的化简问题.可考虑用配方法或待定系数法来解.解(1)法一(配方法):、11+2./18=、/9+2./18+2=、/(.9+、/2)²=3+.2.法二(待定系数法):设11+2/18=(x+y²(x>0,y>0),即11+2/18=(x+y)+2/xy,解得或(或者：∵0<x<1,,即点评对于化简、A+2/B的两种方法，配方法是要设法找到两个正数x,y(x>y),使x+y=A,xy=方，再确定x,y的值.经过计算，(1)的结果是4,(2)的结果是xy-ab,计算结果都不再含有根式.两个含有根式的式子相乘，如果它们的乘积中不再含有根式，那么这两个式子就叫做互为有理化因式.如2/2a+3b与2/2a-3、√b,/x-y与/x-y等都是互为有理化因式.【例3】化简：练②②有根式，现在分子是2,是有理数，不带根号，这就是实现了分子有理化.第④排二次根式【例4】比较大小：/2019-、/2017与/19-/17.解法一：(/2019-/2017)-(/19-/17)=(/2019+/17)-(/2017+/19),∵(/2019×/17)²-(/2017×/19)²=(2019练(1)、3+15和/2+、6;(2)/23-/21和/21-/19;(3)较法；求商比较法；倒数比较法；分子有理化法等等.这些变形在高中函数性质的研究、不等式的证明、求导等方面将经常用到.问题1(1)用不等号将3-/2,4-13,5-厍，6-√5按从小到大的顺序连起来.(3)如果x-、/x²+1=y-、/y²+1,那么x=y吗?为什么?(4)如果y=/x(/x+1-./x),那么当正数x无限增大时，y会逼近于哪个常数?程.方程/2x+3x-5=0虽然带有根号，但根号内不含有未知数，所以它们不是根式方程.在根式方程里，由于未知数包含在根号内，所以未知数只允许取使二次根式有意义的值.如/x-1=2中，未知数只允许在“x≥1”的范围内取值.【例5】解方程：分析用平方去掉根号.如果方程中只有一个根式，那么可将根式留在方程的一边，其他各项移到另解得x₁=0,x₂=3.∴原方程的根是x=3.两边平方，得2x-4=1+2/x+5+x+5,即x-10=2/x+5.两边再平方，得x²-20x+100=4(x解得x₁=4,x₂=20.∴原方程的根是x=20.(3)设、/2x²+3x+9=y,那么2x²+3x+9=y²,因此2x²+3x=y²-9,解得y₁=-1,y₂=6当y=-1时，/2x²+3x+9=-1,无解.当y=6时，/2x²+3x+9=6,两边平方，解得x₁=3,∴原方程的根是x₁=3,第④排二次根式解根式方程的思路：练(1)/x+7=x-5;(2)/x+10+/x-11=7.【例6】化简方程、/(x+2)²+y²+/(x-2)²+分析两边直接平方，得到[(x+2)²+y²]+[(x-2)²+y²]+2/(x+2)²+y²·/(x-2)²+y²=64,少了一个根号，但如果继续平方，根号无法消除，不妨先移项为2/(x+2)²+y²·/(x-2)²+y²=64-再两边平方，结果中不再含有根号.但这一过程计算太繁，以致于不想再动手.能不能一开始就将两个根号分开放在等号的两边?解方程可化为、(x+2)²+y²=8-、/(x-2)²+y²,两边平方得(x+2)²+y²=64+(x-2)²+y²-16、/(x-2)²+y²,整理得16-2x=4、/(x-2)²+y²,两边平方得4x²-64x+256=16(x²+y²-4x+4),整理得3x²+4y²=48,点评结果化成3x²+4y²=48就可以了，到了高中我们会知道是椭圆方程.练习7化简下列方程使其不含根号(3)/(x+c)²+y²+/(x-c)²+y²=2a,说明：第(3)问为了美观，请化成的形式，方程中a²-c²用b²代替5.含根号的不等式问题2下列关于不等式“、F(x)≤g(x改正.f(x)≥0).由/f(x)≥g(x)也得不到f(x)≥[g(x)]²,不一定.解(1)不等式可化为(2)不等式可化为解集合起来是全体实数(在高中称为两个解集在实数集下互补).现在看来，两个解集并不是在全体实数第④排二次根式练(1)/x²-1≥x-2;(2)(/x²-1<x-2.A.(/a+/b)²B.-(/a-/b)²C.(/-a+/-b)²A.C.-2x3.不等式/2-x≥x的解集是().A.-2≤x≤1B.x≤2C.x≤1A.145+7B.16√5+8C.185+9D.20√5+10A.1B.x6.(1)已知a,b是正实数且a≠b,比较大小：8.化简：、/5+2.√6+/7-4.13-、/6-4./2=9.(1)已知a>|b|,化简：(2)当x=1-/2时，10.(1)方程-的解k=_;(2)方程2x²+x-5、/2x²+x=6的解x=_;走进·初高中数学衔接教程(2)若p>0,p为何值时，方程只有一个实数根?并求出这个根.第④排二次根式13.(1)求证：2(k≥1).(2)设n为一自然数，,求n的值.14.已知动点P(x,y).(1)点P到(1,1),(-1,-1)的距离之差为2,试写出x,y满足的等式.y是否是关于x的函数?(2)点P到(a,b),(-a,-b)的距离之差为m(a,b,m均为正的常数),写出x,y满足的等式.(3)在(2)中，当y是x的反比例函数时(此时图象为双曲线),求证：双曲线上任意一点P(x,y)到A(a,b),B(-a,-b)的距离之积等于P到原点O距离的平方.二次方程(组)先说两句先说两句知识梳理知识梳理一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)可用配方法变形为该方程根的情况可由(1)当△>0时，方程有两个不相等的实数根：(2)当△=0时，方程有两个相等的实数(3)当△<0时，方程没有实数根.反过来也成立.如果一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根为,那么如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根是x₁,x₂,那么第⑤二次方程(组)1.韦达定理的综合应用韦达定理是初等代数的一个基本定理，它的好处是不需要解方程而直接求得两根之和与积，也就是说，只要知道一元二次方程的系数，就可以得到根的和与积，这也是它被为“根与系数的关系”的原因.在高中学习圆锥曲线的过程中，韦达定理可以让我们减少计算，提高效率.但要注意，韦达定理成立的前提是△≥0.练习1若x₁,x₂为方程2x²-4x+1=0的两根，不解方程，求下列各式的值：题1韦达定理可以用来求关于两根x₁,x₂的对称式的值.那么非对称式如何处理?在练习1中，不解方程，能否用韦达定理求(1);(2)的值[第(2)问设x₁>x₂]?以上两个待求式都是非对称式，我们可以“邀请”(构造)一个与待求式相应的代数式一起参与运算，化非对称式为对称式(以方便使用韦达定理),从而使问题得到解决.见下面.解得k=3±/2.(以上求x₁-x₂的方法：(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x,x₂=2,将两式相加得，韦达定理还能帮助我们快速判断两个数是否是同一个二次方程的根，或者检验求得的根是否正确.问题2(1)小明和小华分别求出了方程9x²+6x-1=0的根，小明的答案是小华的答案是x₁=-3+3/2,x₂=-3-32.他们的答案正确吗?说说你的判断方法.问题3已知2+.5是关于x的方程x²-4x+c=0的一个根，求方程的另一根及c的值.【例1】关于x的二次方程kx²+2x-ck=0(c>0,且c≠1)有两个不等的实根，其中一个是x=-c.(1)求另一个实根.(2)写出k关于c的表达式，并求k的取值范围.解(1)由韦达定理，知另一实根为练习2已知x₁,x₂是关于x的一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k,成立?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.(2)求的值为整数的实数k的整数值.如果x₁,x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根，那么二次三项式ax²+bx+c可因式分解为ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂).∵x₁,x₂是方程ax²+bx+c=0(1)x²+2x-1;(2)2x²+x-4.第⑤二次方程(组)分析先求对应二次方程的实根，再分解因式，注意二次项系数.(2)方程2x²+x-4=0的根为，点评在初中一般只要求在有理数范围内分解到不能再分解为止.实际上，在实数范围内是可以分解到以上的程度的.如果ax²+bx+c在实数范围内能分解因式，那么一元二次方程ax²+bx+c=0一定有实数根.因此，如果一元二次方程ax²+bx+c=0无实数根，那么ax²+bx+c在实数范围内不能分解因式.练在实数范围内，将下列二次式分解因式：(2)x³+2x-3.1.2构造二次方程以下结论是显而易见的以两个数x₁,x₂为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0.练习4已知一元二次方程的两根，写出一个一元二次方程.,x₂=-4分别是多少?(2)已知a+b=13,ab=2,你能否构造一个一元二次方程，使它的根是a,b?(3)设a+b=s,ab=t,当s与t满足什么条件时，能构造一个一元二次方程，使它的根是a,b?如果a,b满足相同结构的等式，那么a,b可视为是同一方程的两个根.问题4第(1)问，a、b可视为关于x的方程x²-13x+m=0的两根，由于a≠b,所以它们并不是同一个根，因此有a+b=13,ab=如果两个数a,b的和与积是已知的，那么可以构造以a,b为根的一元二次方程.问题4第(2)问，a、b可视为关于x的方程x²-13x+25=0的两根.问题4第(3)问，a、b可看作是关于x的方程x²-sx+t=0的两个实数根，这个方程有实数解就必须根据s²≥4t有这个不等式告诉我们，两个实数a,b的和与积是有制约关系的.命题“若a+b=13,ab=2025,则a、b是方程x²-13x+2025=0的实数根”是假命题，因为满足两数之和为13,积为2025的实数根本就不存在.如果你的老师忽视了这一点，就会编出错题.设又,所以可视为关于y的一元二次方程y²-sy+1=0的两个实根，于是【例3】已知a,b,c都是实数，且a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c中必有一个大分析a+b=-c,,构造以a,b为根的一元二次方程(系数含c),再利用△求出c的范围，同理可得a,b的范围.本题只要证a,b,,不妨指定一个最大，并证明最大者大证明由a+b+c=0及abc=1,可知a,b,c中有一个正数、两个负数，于是a,b是关于x的方程的两个根.构造一元二次方程继而用判别式或根与系数的关系解决有关问题是竞赛中常用的方法.对于形如的方程组，可把x,y看作关于z的一元二次方程z²-pz+q=0的两个根，解这个一元二次方程就可求得方程组的解.或者通过判别式得到p、q满足的不等式，这种方法称为判别式法.这样能够使练满足x²+xy+y²=1,求x²-xy+y²的最大值与最小值提示：设x²-xy+y²=t,方程组①是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，方程组②是由两个二元二次方程组成的.像这样的方程组叫做二元二次方程组.理解二次曲线的基础.把y值分别代入③,得x₁=5,练②提示：第(1)题消哪个元更好?第(2)题的第一个方程左边可分解因式，于是转化为两个方程组，这是降次的方法.第(3)题两个方程左边的整式有联系吗?问题5解方程组除了用“代入消元法”,你还有其他办法吗?用同样的方法试试y.同样，如果x+(-y)=5,x(-y)=-6,那么x,-y可视为方程z²-5z-6=0的两根，解该方程即可得到x,-y.②分析消去y²,得到一个仅含有x的一元方程，先解xy解将②代入①,得x²+4x-5=0,解得x=-5,或x=1.∴y²=-20(舍去)或y²=4.∴【例6】已知3m²+4k²+8km-2m-1=0,试求k与m的关系(将k表示为关于m的表达式).分析已知条件是关于m,k的二元二次方程，有无数组解.本题并不要求得到所有的解，只要得到解方法一：方程可整理为3m²+(8k-2)m+4k²-1=0,(下面可用十字相乘法分解因式)所以3m+2k+1=0,或m+2k-1=0,方法二：方程可整理为4k²+8mk+(3m²-2m-1)=0,所以4k²+8mk+(3m+1)(m-1)=0,点评还有一个方法，就是在得到3m²+(8k-2)m+4k²-1=0后，观察判别式△=(8k-2)²-12(4k²-1)=16(k-1)²,于是可用求根公式解出m.第⑤二次方程(组)习8已知下列条件，试求k与m的关系(将k表示为关于m的表达式).(2)(24k²-6)m=(8m²-18)k,k与m符号相同.【例7】二元二次方程的所有解中有两组解(x₁,y₁),(x₂,y₂)满的分析由条件另一方面，相乘得到于是想到将等式①②相减.等式两边同除以x₁-x₂得,其中,(注意目标是点评本题的难点由条件构造出,即恒等变形中整式与分式的互相转化.练习9二元二次方的所有解中有两组解(x₁,y₁),(x₂,y₂)满足【例8】(1)当m为何值时，关于x,y的方程组有两个解?(2)实数x,y满求y-x的最大值.分析第(1)问是根据方程组解的情况，求参数m的范围.先消元将方程组转化为关于x的一元二次方程，利用判别式求得m的取值范围.第(2)问令y-x=m,与联立成方程组，问题就转化为“求使方程组有解的m的最大值”,这与第(1)问变成了同一类型.解(1)消去y得，5x²+8mx+4(m²-1)=