2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-任务群（四） 立体几何

任务群（四）立体几何任务1几何体的表面积和体积[核心整合]几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S圆柱侧＝2πrl，S表面积＝S侧＋2S底V＝S底·h锥体(棱锥和圆锥)S圆柱侧＝πrl，S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)S底·h台体(棱台和圆台)S圆台侧＝π(r上＋r下)l，S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3角度1空间几何体的表面积[例1](1)已知一个圆柱底面半径为2，高为3，上底面的同心圆半径为1，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩余的几何体表面积等于()A．(9＋3eq\r(10))πB．(14＋3eq\r(10))πC．(5＋2eq\r(10))πD．(15＋3eq\r(10))π(2)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构．如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体．已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度(单位：dm)分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为()A．(34eq\r(3)＋8)dm2B．(34eq\r(3)＋44)dm2C．(34eq\r(3)＋48)dm2D．(34eq\r(5)＋8)dm2[规律总结]空间几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何体特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积角度2空间几何体的体积[例2](1)一个五面体ABC­DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1.已知AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为()A．eq\f(\r(3),6)B．eq\f(3\r(3),4)＋eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(3\r(3),4)－eq\f(1,2)(2)科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息创新研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050m，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55m，高19m，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为()(参考数据：9.52≈90，9.53≈857，315×1005≈316600，π≈3.14)A．9064m3B．9004m3C．8944m3D．8884m3[规律总结]求几何体体积的基本方法(1)直接法：对于规则的几何体，可利用相关公式直接计算求解．(2)割补法：对于不规则的几何体，可将其分割成规则的几何体，进行体积计算；也可把不规则的几何体补成规则的几何体，进行体积计算．(3)转换法：主要用于求三棱锥(四面体)的体积，将三棱锥的顶点和底面进行转换，使其底面的面积可求(或容易求)，高可求(或容易求)，从而代入公式求得体积．[对点练习]1.(1)庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡(如图①)，类似五面体FE­ABCD的形状(如图②)，若四边形ABCD是矩形，AB∥EF，且AB＝CD＝2EF＝2BC＝8，EA＝ED＝FB＝FC＝3，则五面体FE­ABCD的表面积为________．(2)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________．任务2球的切、接问题[核心整合]设正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).当且仅当长方体为正方体(即a＝b＝c)，才有内切球．角度1外接球[例3]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3eq\r(3)和4eq\r(3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100πB．128πC．144πD．192π[延伸探究](变条件)本例中的“正三棱台”改为“高为1，底面边长为4eq\r(3)的正三棱锥”，求该球的表面积．[规律总结]求空间多面体外接球半径的常用方法(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解．(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可．角度2内切球[例4](1)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A­BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，则其内切球表面积为()A．3πB．eq\r(3)πC．(3－2eq\r(2))πD．(eq\r(2)－1)π(2)已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为()A．eq\f(28π,3)B．eq\f(40π,3)C．eq\f(56π,3)D．eq\f(112π,3)[规律总结]几何体内切球问题的求解策略(1)体积分割法求内切球半径．(2)作出合适的截面(过球心、切点等)，转化为平面图形求解．(3)多球相切的问题，连接各球球心，转化为处理多面体问题．[对点练习]2.(1)在三棱锥P­ABC中，已知PA＝BC＝2eq\r(13)，AC＝BP＝eq\r(41)，CP＝AB＝eq\r(61)，则三棱锥P­ABC外接球的表面积为()A．77πB．64πC．108πD．72π(2)如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为1＋eq\r(2)，则该棱锥的内切球半径为________.任务3空间直线、平面位置关系的判定[例1](1)若m，n为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m⊥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m⊥nD．若m∥α，n⊥α，则m与n相交(2)(多选)如图，四棱锥A­BCDE是所有棱长均为2的正四棱锥，三棱锥A­CDF是正四面体，G为BE的中点，则下列结论正确的是()A．A，B，C，F四点共面B．FG⊥平面ACDC．FG⊥CDD．平面ABE∥平面CDF[规律总结]判断空间直线、平面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断；(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断；(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察直线、平面的位置关系，并结合有关定理进行判断．[对点练习]1.(1)(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题正确的是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊂β，α∥β，则m∥αC．若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥βD．若m∥α，m∥β，n∥α，则n∥β(2)(多选)已知四棱锥P­ABCD，PA⊥平面ABCD，则()A．若PC⊥BD，则AC⊥BDB．若AC⊥BD，则PB＝PDC．若PB＝PD，则AB＝ADD．若AB＝AD，则PC⊥BD任务4空间平行、垂直关系的证明角度1几何法[核心整合]1．线面、面面平行的判定及性质定理2．线面、面面垂直的判定及性质定理3．向量法：设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，ν＝(a3，b3，c3).则有：①线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.②线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.③面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λν⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.④面面垂直α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.[例2]如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，EF＝1，AE＝DE＝eq\r(2).(1)求证：CD∥平面ABFE；(2)求证：平面ABFE⊥平面CDEF.[规律总结]空间平行、垂直关系证明的技巧(1)明确空间几何体的结构特征，明确其中已有的平行、垂直关系．(2)熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理，并能灵活运用．(3)证明线线平行的常用方法：①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理．(4)证明线线垂直的常用方法：①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质证线线垂直．角度2向量法[例3]如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.[规律总结]利用向量证明平行与垂直的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素；(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题．注意：运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．[对点练习]2.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，E是B1C1的中点，D是BC上一点．(1)若D是BC中点，求证：平面AC1D∥平面A1BE；(2)若AD⊥C1D，求证：D是BC中点．3．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.(1)证明：平面PQB⊥平面DCQ；(2)证明：PC∥平面BAQ.重点题型(九)截面与交线问题【编者按】立体几何中，截面是指用一个平面去截几何体得到的平面图形，确定截面的形状及内含的数量关系，首先要确定交线．“截面、交线”问题是高考对立体几何知识考查最具创新意识的题型之一，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力．求截面、交线问题常与解三角形、多边形面积、扇形弧长及面积、平面的基本性质等综合命题，有些问题还要借助于空间向量坐标运算求解．题型一截面问题角度1多面体中的截面问题[例1](多选)如图，已知棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1，点P是棱AB的中点，过点P作正方体ABCD­A1B1C1D1的截面，下列判断正确的是()A．截面的形状可能是正三角形B．截面的形状可能是直角梯形C．此截面可以将正方体体积分成1∶3D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值角度2球的截面问题[例2]如图，棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中点，O为线段MN的中点，球O的表面正好经过点M，则球O被平面BCD截得的截面面积为__________．[规律总结]作几何体截面的方法(1)利用平行直线找截面；(2)利用相交直线找截面．[对点练习]1.(1)如图所示，正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为eq\f(63\r(2),2)，点E在AD上且满足DE＝2AE，过点E的平面α与平面D1AC平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为()A．7eq\r(2)B．8eq\r(2)C．3eq\r(3)＋4eq\r(2)D．4eq\r(3)＋4eq\r(2)(2)已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长均为2，D为棱AB的中点，则过点D的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的取值范围为___________．题型二交线问题角度1多面体中的交线问题[例3]正三棱台A1B1C1­ABC中，A1B1＝1，AB＝AA1＝2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作截面，则截面与上底面A1B1C1的交线长为________．角度2与球有关的交线问题[例4]已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，eq\r(5)为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．[规律总结]找交线的方法(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点．(2)面面交线法：各棱面与截平面的交线．[对点练习]2.(1)如图，已知在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB＝2，且点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点.过点A，E，F作三棱柱截面交C1B1于点P，则线段B1P的长度为_________．(2)在正三棱锥A­BCD中，底面△BCD的边长为4，E为AD的中点，AB⊥CE，则以D为球心，AD为半径的球截该棱锥各面所得交线长为________．重点题型(十)立体几何中的动态问题【编者按】立体几何中的“动态”问题，是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的，是可变的．由于“动态”的存在，也使立体几何问题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的轨迹问题、解三角形问题等之间架设了桥梁，可以灵活转化．立体几何中的动态问题主要有两个类型：(1)研究动点的轨迹，主要方法有定义法(如圆锥曲线定义)、解析法、交轨法；(2)与动点有关的最值、范围问题，主要方法有几何法、函数法．题型一动点的轨迹问题[例1](多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是()A．若MN与平面ABCD所成的角为eq\f(π,4)，则点N的轨迹为圆B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2πC．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线D．若D1N与AB所成的角为eq\f(π,3)，则点N的轨迹为双曲线[规律总结]解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法：根据平面的性质进行判定．(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算．(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或特殊位置进行检验排除．[对点练习]1.已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B、C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动，点H运动的轨迹()A.是圆B．是椭圆C．是抛物线D．不是平面图形题型二几何体的表面展开问题[例2]正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，M是面BCC1B1内一动点，且DM⊥A1C，N是棱CC1上一动点，则△DMN周长的最小值为()A．2B．eq\r(3)＋1C．eq\r(2)＋2D．eq\f(\r(6),2)＋eq\f(\r(10),2)[规律总结]在解决空间折线(段)最短问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．注意多面体表面展开图可能有不同的排布(如长方体)，一定先观察立体图形每个面的形状，全面考虑问题，借助展开图，培养直观想象素养．[对点练习]2.如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为2km，山高为2eq\r(15)km，B是SA山坡上一点，且AB＝2km.现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为______．题型三最值、范围问题[例3](多选)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，动点P在体对角线BD1上(含端点)，则下列结论正确的有()A．当P为BD1中点时，∠APC为锐角B．存在点P，使得BD1⊥平面APCC．AP＋PC的最小值为eq\f(\r(30),3)D．顶点B到平面APC的最大距离为eq\f(\r(6),6)[规律总结]在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是：(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在什么位置时，所求的量有相应最大、最小值．(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．[对点练习]3.如图，已知球的表面积为16π，若将该球放入一个圆锥内部，使球与圆锥底面和侧面都相切，则圆锥的体积的最小值为__________．任务5异面直线所成的角[核心整合]设异面直线a，b的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，异面直线a，b的夹角为θ，则(1)θ∈(0，eq\f(π,2)]；(2)cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)＝eq\f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(aeq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,1))·\r(aeq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,2)＋ceq\o\al(2,2))).[例1]如图，已知O是圆柱下底面圆的圆心，AA1为圆柱的一条母线，B为圆柱下底面圆周上一点，OA＝1，∠AOB＝eq\f(2π,3)，△AA1B为等腰直角三角形，则异面直线A1O与AB所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(3),6)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(3),4)D．eq\f(\r(2),3)[规律总结]求异面直线所成角的方法方法一：几何法．步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角．方法二：向量法．步骤为：①求出直线a，b的方向向量，分别记为m，n；②计算cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)；③利用cosθ＝|cos〈m，n〉|，以及θ∈(0，eq\f(π,2)]，求出角θ.[对点练习]1.如图所示，已知两个正四棱锥P­ABCD与Q­ABCD的高分别为1和2，AB＝4，则异面直线AQ与PB所成角的正弦值为________．任务6直线与平面所成的角[核心整合]设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则(1)θ∈[0，eq\f(π,2)]；(2)sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a|·|n|).[例2]在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)求证：AC＝A1C；(2)若直线AA1与BB1距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．[规律总结]利用向量法求直线与平面所成角的步骤[对点练习]2.在三棱台A1B1C1­ABC中，△ABC为等边三角形，AB＝2A1B1＝2，AA1⊥平面ABC，M，N分别为AB，AC的中点．(1)证明：平面BCC1B1∥平面A1MN；(2)若A1B⊥AC1，设D为线段BC上的动点，求A1D与平面BCC1B1所成的角的正弦值的最大值．任务7平面与平面的夹角[核心整合]设平面α，β的法向量分别为μ，ν，平面α与平面β的夹角为θ，则(1)θ∈[0，eq\f(π,2)]；(2)cosθ＝|cos〈μ，ν〉|＝eq\f(|μ·ν|,|μ|·|ν|).[例3]如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝eq\r(10)，FB＝2eq\r(3)，M为AD的中点．(1)证明：BM∥平面CDE；(2)求二面角F­BM­E的正弦值．[规律总结]利用向量法求二面角的方法步骤[对点练习]3.如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)证明：B2C2∥A2D2；(2)点P在棱BB1上，当二面角P­A2C2­D2为150°时，求B2P.任务8空间距离[核心整合]1．点到直线的距离如图，直线l的单位方向向量为u，向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))，则△APQ是直角三角形，设向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，点P到直线l的距离为PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－(a·u)2).2．点到平面的距离已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的长度．因此PQ＝|eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\f(n,|n|)|＝|eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)|＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).角度1点到直线的距离[例4]如图所示，在四棱锥P­ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AP＝BP＝eq\r(5)，AB＝2，AD＝3，M是棱AD上一点，且AM＝2MD.(1)求点B到直线PM的距离；(2)求平面PMB与平面PMC夹角的余弦值．[规律总结]求点到直线距离的方法(1)设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝eq\r(|\o(PA,\s\up6(→))|2－(\o(PA,\s\up6(→))·n)2)；(2)若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．角度2点到平面的距离[例5]如图，在直三棱柱形木料ABC­A1B1C1中，D为上底面ABC上一点．(1)经过点D在上底面ABC上画一条直线l与B1D垂直，应该如何画线，请说明理由；(2)若BC＝BB1＝1，AB＝2，∠A1B1C1＝eq\f(π,2)，E为A1B1的中点，求点B到平面AC1E的距离．[规律总结]求点到平面的距离的四步骤[对点练习]4.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝4，AD＝2，点P为侧面ABB1A1内一动点，且满足C1P∥平面ACD1，则C1P的最小值为__________，此时点P到直线A1C1的距离为__________．5．如图，边长为4的两个正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，AG＝2GD，直线AB与平面EFG相交于点H.(1)从下面两个结论中选一个证明：①BD∥GH；②直线HE，GF，AC相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分．(2)求直线BD与平面EFG的距离．任务9翻折问题[例1]如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5eq\r(3)，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，将△AEF沿EF对折至△PEF，使得PC＝4eq\r(3).(1)证明：EF⊥PD；(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．[规律总结]解决翻折问题的关键(1)盯住量：看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折过程，把翻折前后没有变化和发生变化的量准确找出来，因为它们反映了翻折后空间图形的特征；(2)会转化：根据需要解决的立体几何问题(证明位置关系，求解空间角或距离)，确立转化的目标；(3)得结论：对转化后的问题，用定义、判定定理、性质定理、基本事实及相关公式解决．[对点练习]1.如图甲是由正方形ABCD，等边△ABE和等边△BCF组成的一个平面图形，其中AB＝6，将其沿AB，BC，AC折起得三棱锥P­ABC，如图乙．(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)过棱AC作平面ACM交棱PB于点M，且三棱锥P­ACM和B­ACM的体积比为1∶2，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．任务10探究性问题角度1与空间位置关系相关的探究性问题[例2]如图，在三棱锥P­ABC中，底面△ABC是边长为2的正三角形，PA＝PC＝4.(1)求证：PB⊥AC；(2)若平面PAC⊥平面ABC，在线段PB(包含端点)上是否存在一点E，使得平面PAB⊥平面ACE？若存在，求出PE的长；若不存在，请说明理由．[规律总结]与空间线面关系有关的探究性问题的一般解法(1)可先猜后证，即先观察并尝试给出条件再证明．涉及到线段上是否存在符合某条件的点的问题时，常猜测点的位置，特别要注意特殊位置关系和极端情形的应用．(2)首先假设结论成立，然后把这个假设作为已知条件，与题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，若得到一个合理的结论，则说明假设成立；若得到一个不合理的结论，则说明假设不成立．角度2与空间角有关的探究性问题[例3]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝2，沿AC将△ADC折起，使点D到达点P的位置，点P在平面ABC的射影H落在边AB上．(1)求AH的长度；(2)若M是边PC上的一个动点，是否存在点M，使得平面AMB与平面PBC的夹角余弦值为eq\f(\r(3),4)？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．[规律总结]与空间角有关的存在性问题的解题流程[对点练习]2.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M是AB的中点，N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．(1)证明：A1C⊥BC1；(2)求直线A1P与平面A1CM所成角的正弦值；(3)在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？若存在，求出A1Q的长；若不存在，请说明理由．3．如图，三棱台ABC­A1B1C1中，侧面四边形ACC1A1为等腰梯形，底面三角形ABC为正三角形，且AC＝2A1C1＝2.设D为棱A1C1上的点．(1)若D为A1C1的中点，求证：AC⊥BD；(2)若三棱台ABC­A1B1C1的体积为eq\f(7,8)，且侧面ACC1A1⊥底面ABC，试探究是否存在点D，使直线BD与平面BCC1B1所成角的正弦值为eq\f(\r(15),10)？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由．大题规范解答·(四)立体几何[典例示范](15分)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD①，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝eq\r(3)②.(1)若AD⊥PB③，证明：AD∥平面PBC④；(2)若AD⊥DC⑤，且二面角A­CP­D的正弦值为eq\f(\r(42),7)⑥，求AD⑦.破题①：PA垂直于底面内的任一条直线．破题②：∠ABC＝90°⇒AB⊥BC.破题③：因为AD⊥PA，从而得AD⊥平面PAB.破题④：若AD∥平面PBC，由线面平行性质定理可得AD∥BC.破题⑤：可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系．破题⑥：求平面ACP和平面CPD的法向量，利用公式表示．破题⑦：设AD＝t，通过法向量夹角关系解方程．———————[满分作答]—————