2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-任务群（五）任务7~9

1．答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l与C相交于A，B两点，所以y由题意得k＝y12．答案：C解析：设P(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为xx0a2−yy0b2＝1，故切线l的斜率k＝b2x0a2y0，因为3．答案：A解析：设A(x1，y1)，P(x2，y2)，则B(−x1，所以AP＝(x2－x1，y2－y1)，AB＝(－2x1，－2y1)，故AP·AB＝2x1(x1－x2)＋2y1(y1－y2)＝0，得y1因为B，M，P三点共线，所以kBM＝kBP，则32y由A，P在椭圆上得x12a所以1a2+将①②代入③可得1a2+1b2·−x所以椭圆的离心率e＝c24．答案：BCD解析：将点A代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为x2＝y，故准线方程为y＝－14kAB＝1−−11−0＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1，联立y＝2x−1，x2＝y，可得设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立y＝kx−1，x2＝y，得x所以k>2或k<－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，又|OP|＝x12+所以|OP|·|OQ|＝y1y21+y11+因为|BP|＝1+k2x1，BQ所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2>5，而|BA|2＝5，故D正确．5．答案：BCD解析：设点P(x0，y0)，则y0≠0，且y0易知点A1(－1，0)、A2(1，0)，则kPA1·因为b>0，解得b＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，所以A错误；下面证明双曲线C：x2－y22＝1在点P处的切线方程为x0x－联立x0x−y0y2又因为y02＝2x02−1，整理可得(y－y0)所以双曲线C：x2－y22＝1在点P处的切线方程为x0x－联立y＝2x，x0x−y0y2联立y＝−2x，x0x−y0y2所以xM＋xN＝22x0−所以点P为线段MN的中点，即|PM|＝|PN|，所以B正确；因为离心率e＝ca因为|OM|＝3·xM＝62x0−y0，点P到直线2x－y＝0的距离为d＝2x0−y03，所以6．解析：设F(c，0)，由题意知，b＝c，a＝2c，直线l的方程为y＝x－c，与椭圆C的方程联立化简得3x2－4cx＝0，所以xA＝0，xB＝43c故|AB|＝2·xB−xA＝所以b＝2，a＝2，椭圆C的方程为x2答案：x27．解析：椭圆C2：x24+y23＝1在其上一点M(xM，yM)的切线方程为3xM设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA的方程为3x1x＋4y1y＝12，直线PB的方程为3x2x＋4y2y＝12，由于点P(x0，y0)在直线PA、PB上，可得3所以点A(x1，y1)、B(x2，y2)满足方程3x0x＋4y0y＝12，所以直线AB的方程为3x0x＋4y0y＝12.联立3x0x+4y同理F43因此，OE·答案：18．解：(1)在x2a2−y2b2＝1中，不妨令x＝又e＝ca＝1+b2a2所以双曲线C的方程为x2(2)点G在直线DE上，证明如下：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题可知双曲线C在点P处的切线方程为x1同理，在点Q处的切线方程为x2又两切线交点为G(m，3)，所以m所以直线PQ的方程为mx4－y联立mx4−y＝1，x24−y2因为m∈(－2，2)，满足Δ＝64m2＋4×64(12－m2)>0，12－m2≠0，则x1＋x2＝8mm所以y1＋y2＝mx14−1+设D(x3，y3)，E(x4，y4)，由题可知双曲线C在D，E两点处的切线方程分别为x3又两切线交点为H，所以m·可得直线DE的方程为mxm2−12−4ym2−12＝1，即当x＝m时，y＝3，所以点G在直线DE上．9．解：(1)由已知可得a＝2c＝2，b＝3c＝则椭圆的标准方程为x2(2)设直线l的方程为y＝k(x＋2)，联立y＝kx+2，x24+y23＝1，消去y得(3＋4k2则－2xM＝16k2−123+4k2|AM|＝1+k2−2−xM设直线PQ的方程为y＝k(x－1)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立y＝kx−1，x24+y23＝1，消去y得(3＋4k2易知Δ>0，则x1＋x2＝8k所以|PQ|＝1+k由xM＝6−8k23+4