2025年广州市中考数学试卷真题（含答案解析）

秘密★启用前2025年广州市初中学业水平考试数学考生号：姓名：本试卷共8页，25小题，满分120分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名;将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。3.非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域;不准使用铅笔(作图除外)、涂改液和修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分选择题(共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.下列四个选项中，负无理数的是().A.-2 B.-1 C.0 D2.如图1，将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是().数学试题第1页（共8页）3.下列运算正确的是().A.a3⋅a5C.a-b=a-b4.关于x的方程.x2-x+kA.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.无实数根 D.只有一个实数根5.某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是().星期一二三四五六日最高气温/℃252528303330296.如图2,在平面直角坐标系中,点A(-3,1),点.B（-1，1）,若将直线y=x向上平移d个单位长度后与线段ABA.-3≤d≤-1 B.1≤d≤3C.-4≤d≤-2 D.2≤d≤4数学试题第2页（共8页）7.若|k|=-k(k≠0),则反比例函数y=kx的图象在(A.第一、二象限 (B)第一、三象限C.第二、四象限 (D)第三、四象限8.如图3,菱形ABCD的面积为10,点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的面积为().A.52 BC.4 D.89.如图4,⊙O的直径AB=4,C为AB中点，点D在BC上，BD=13BC,点P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是(A.A2+7 B.C.3+7 D.10.在平面直角坐标系中,两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在抛物线y=ax2-2ax,A.当.x1<0且y1⋅B.当.x1<0且y1⋅C.当x1<x2D.当x1>x第二部分非选择题(共90分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分.)数学试题第3页（共8页）11.如图5,直线AB,CD相交于点O.若.∠1=3数学试题第3页（共8页）12.如图6,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,若DEBC=1313.要使代数式x+1x-3有意义，则x的取值范围是14.如图7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB,已知cos∠CAD=1213,AB=26,则点B到AD15.若抛物线y=x2-6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y=x+16.已知⊙O的半径为6，⊙O所在平面内有一动点P，过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.点P与圆心O的距离为d，则d的取值范围是；若过点O作OC∥PA交直线PB于点C(点C不与点B重合),线段OC与⊙O交于点D.设PA=x,CD=y,则y关于x的函数解析式为___________________.三、解答题(本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分4分)解不等式组2x≥1,4x-3<x+9,并在数轴上表示解集.18.(本小题满分4分)如图8,BA=BE,∠I=∠2,BC=BD.求证:△ABC≌△EBD.数学试题数学试题第4页（共8页）19.(本小题满分6分)求代数式2m2+4mm-220.(本小题满分6分)为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛.评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计.进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的单项成绩如下表所示：选手内容能力效果甲988488乙888597(1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩(百分制)，能否以此确定两人的名次?(2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4：3：3的比确定，以此计算两名选手的平均成绩(百分制)，并确定两人的名次；(3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由.21.(本小题满分8分)如图9，曲线G:y=2xx0)经过点P((1)求t的值;(2)直线l:y=-x+b也经过点P,求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；(3)在(2)的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)随机取一个格点(横、纵坐标都是整数的点)，求该格点在曲线G上的概率.数学试题第5页（共8页）22.(本小题满分10分)智能机器人广泛应用于智慧农业。为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘。(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%.求用智能机器人采摘的成本是多少元；用含a的代数式表示(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍.求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克.23.(本小题满分10分)宽与长的比是5-12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.现有一张黄金矩形纸片ABCD,长.AD=5+1.如图10,折叠纸片ABCD,点B落在AD上的点E处，折痕为AF，连接EF(1)求AB的长;(2)求证：四边形CDEF是黄金矩形；(3)如图11,点G为AE的中点,连接FG,折叠纸片ABCD,点B落在FG上的点H处,折痕为FP,过点P作PQ⊥EF于点Q.四边形BFQP是否为黄金矩形?如果是，请证明；如果不是，请说明理由.数学试题第6页（共8页）24.(本小题满分12分)某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图12所示的双向通行隧道.以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题.发现问题确定目标涉水线设置限高架设置数学抽象绘制图形隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图13所示图14为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成.信息收集资料整理当隧道内积水的水深为0.27米时(即积水达到涉水线处)，车辆应避免通行.车辆进入隧道，应在行驶车道内通行(禁止压线)，且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米.实地考察数据采集斜坡的坡角α为10°，并查得sin10°≈0.174,cos10°≈0.985,tan10°≈0.176.隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD=BE=3米，地面跨度DE=10米.车辆行驶方向的右侧车道线(宽度忽略不计)与墙面的距离为1米.问题解决：(1)如图13，求涉水线离坡底的距离MN(精确到0.01米)；(2)在图14中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式；数学试题第7页（共8页）(3数学试题第7页（共8页）25.(本小题满分12分)如图15,AC=4,O为AC中点,点B在AC上方,连接AB,BC.(1)尺规作图：作点B关于点O的对称点D(保留作图痕迹，不写作法)，连接AD，DC，并证明四边形ABCD为平行四边形；(2)如图16,延长AC至点F,使得CF=AC.当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的动点E,连接EA,EB,EC,EF,若.∠AEC=45∘,①求证:△ABC△CBE;②CB的长是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.数学试题第8页（共8页）2025年广州市初中毕业生学业考试数学答案详解一、单选题(每小题3分，满分30分.)1.下列四个选项中，负无理数的是()A.-2 B.-1 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件.对各选项逐一分析即可.【详解】解：选项A:-2是无理数(无法表示为分数且是无限不循环小数)，因此-2也是无理数.负号表明其为负数，故-选项B:-1-1是整数，属于有理数，不符合无理数的条件.选项C:00是整数，属于有理数，且非负数.选项D:33是正整数，属于有理数，且非负数.综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件，故选A.2.如图，将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是()故B选项的结论错误；当xx1＜0且y此时x₂应满足x2＜0故C选项的结论错误；当x1＞x2＞故x₁越大,y₁越大,即y故D选项的结论错误；故选：A二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分.)11.如图,直线AB,CD相交于点O.若∠1=36°,则∠2的度数为°.【答案】144【解析】【分析】本题考查了邻补角互补，根据∠1，∠2是互为邻补角，得∠2=180【详解】解:∵直线AB,CD相交于点O,且∠1=36°,∴∠2=18故答案为：14412.如图6,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,若DEBC=1【答案】19【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意证明△ADE1ABC，根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解:∵DE∥BC∴△ADE1ABC,S故答案为：113.要使代数式x+1x-3有意义，则x的取值范围是【答案】x≥-1且x≠3【解析】【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出x+1≥0且x-3≠0，即可求解.【详解】解:依题意,x+1≥0且x-3≠0,解得:x≥-1且x≠3,故答案为:x≥-1且x≠3.14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB,已知cos∠CAD=1213,AB=26,则点B到AD【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解sinDCAD=CDAD=513,过点B,作BQ⊥AD,交AD【详解】解：∵cos∠CAD=∴设AC=12x,则AD=13x,∴CD=∴sinDCAD=过点B,作BQ⊥AD,交AD于点Q,∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD,∴BQAB=sin∠BAQ=sin∠CAD=∵AB=26,∴BQ=10,∴点B到AD的距离为10;故答案为：10.15.若抛物线y=x2-6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y=x+【答案】1或-【解析】【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键.先整理得出顶点坐标为3m-3m2+5m+3,再把3m-3m2+5m+3代入【详解】解：∵y=∴对称轴为直线x=-把x=3m代入y=得y=-3即顶点坐标为3m∵抛物线的顶点在直线y=x+2上，∴-3整理得3则Δ=∴故答案为：1或-16.已知⊙O的半径为6，⊙O所在平面内有一动点P，过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.点P与圆心O的距离为d，则d的取值范围是；若过点O作OC∥PA交直线PB于点C(点C不与点B重合),线段OC与⊙O交于点D.设PA=x,CD=y,则y关于x的函数解析式为___________________.【答案】 ①.d＞6 .y=【解析】【分析】由题意可得点P在□O外,从而得出d＞6,再由切线长定理可得PA=PB=x,OB⊥PB,∠OPA=∠OPB,又OC∥PA,则∠OPA=∠POC,所以∠OPC=∠POC,可得PC=OC,故有PC=OC=6+y,BC=x-6-y,最后通过勾股定理即可求解.【详解】解：如图，∵过点P可以引□O的两条切线PA，PB，∴点P在□O外,∴d＞6,∵PA,PB是□O的两条切线,∴PA=PB=x,OB⊥PB,∠OPA=∠OPB,∴∠OBP=90°,∵OC∥PA,∴∠OPA=∠POC,∴∠OPC=∠POC,∴PC=OC,∵CD=y,□O的半径为6,∴PC=OC=6+y,∴BC=PB-PC=x-6-y,在Rt△OBC中,O∴故答案为：d＞6,【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，切线长定理，勾股定理，求函数解析式，等角对等边，线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键.三、解答题(本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.解不等式组2x≥1,【答案】12【解析】【分析】本题考查解不等式组和用数轴表示不等式组的解集，需要注意用数轴表示解集的时候实心点和空心点的区别.分别求出每一个不等式的解集，根据数轴，确定不等式组的解集即可.【详解】解：2x≥1,由①得：x≥由②得：x＜4,将不等式组的解集表示在数轴上如下：则不等式组解集为118.如图,BA=BE,∠1=∠2,BC=BD.求证:△ABCEBD.【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明∠ABC=∠EBD,，进而根据SAS即可证明△ABCEBD.【详解】证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠EBC=∠2+∠EBC,即∠ABC=∠EBD,在VABC和△EBD中,{∴△ABCEBD(SAS)19.求代数式2m2+4m【答案】-4【解析】【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把m=3【详解】解：2==2(m+2)(m-2)=2当m=3原式=2×=2×=8-4=-420.(本小题满分6分)为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛.评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计.进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的单项成绩如下表所示：选手内容能力效果甲988488乙888597(1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩(百分制)，能否以此确定两人的名次?(2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4：3：3的比确定，以此计算两名选手的平均成绩(百分制)，并确定两人的名次；(3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由.【答案】(1)甲、乙的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次；(2)甲排名第一，乙排名第二；(3)设计三项成绩的比为5：2：3，理由内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低.(答案不唯一)【解析】【分析】本题考查了加权平均数，算术平均数，权重等知识，掌握知识点的应用是解题的关键.(1)利用算术平均数即可求解；(2)利用加权平均数即可求解；(3)改变权重即可.【小问1详解】解：不能以此确定两人的名次，甲的平均成绩：98+84+883=90乙的平均成绩：88+85+973=90∴不能以此确定两人的名次；【小问2详解】解：甲的平均成绩：98×4+84×3+88×34+3+3=90.8乙的平均成绩：88×4+85×3+97×34+3+3=89.8∴甲排名第一，乙排名第二；【小问3详解】解：设计三项成绩的比为5：2：3，理由，内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低.(答案不唯一)21.如图，曲线G:y=2xx0)过点P((1)求t的值;(2)直线l:y=-x+b也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；(3)在(2)的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)随机取一个格点(横、纵坐标都是整数的点)，求该格点在曲线G上的概率.【答案】(1)t=(2)(0,4.5),见详解(3)1【解析】【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键.(1)直接把P(4,t)代入y=2x进行计算，得(2)先得出P412,再代入直线l:y=-x+b,，求出y=-x+4.5，即可求出l与(3)先得出格点共有6个,分别是(1,3),(1,2),(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),再分析得出格点(1,2),(2,1)在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答.【小问1详解】解：∵曲线G:y=2xx0)过点P(∴【小问2详解】解:由(1)得t=故4∵直线l:y=-x+b也经过点P，∴把P412代入y=-x+b,解得b=4.5,∴令x=0,则y=-0+4.5=4.5,∴l与y轴交点的坐标为(0,4.5);直线l的函数图象，如图所示；l:y=-x+4.5 【小问3详解】解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)的格点共有6个，分别是(1,3),(1,2),(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),∵曲线G:y=则1×3=3≠2,1×2=2,1×1=1≠2,2×1=2,2×2=4≠2,3×1=3≠2,∴格点(1，2)，(2，1)在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，即该格点在曲线G上的概率=22.智能机器人广泛应用于智慧农业.为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘.(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%.求用智能机器人采换的成本是多少元；(用含a的代数式表示)(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克.【答案】(1)0.7a元(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克.【解析】【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用；(1)根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%，再列代数式即可；(2)设一个工人每天采摘该种水果x千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5x千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可.【小问1详解】解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%.∴用智能机器人采换的成本是(1-30%)a=0.7a(元);【小问2详解】解：设一个工人每天采摘该种水果x千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5x千克；∴解得:x=200,经检验x=200是原方程的解且符合题意；∴5x=1000(千克),答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克.23.宽与长的比是5-12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.现有一张黄金矩形纸片ABCD，长AD=5+1.如图1，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为(1)求AB的长;(2)求证：四边形CDEF是黄金矩形；(3)如图2,点G为AE的中点,连接FG,折叠纸片ABCD,点B落在FG上的点H处,折痕为FP,过点P作PQ⊥EF于点Q.四边形BFQP是否为黄金矩形?如果是，请证明：如果不是，请说明理由.【答案】(1)2 (2)证明见解析(3)四边形BPQF是黄金矩形.证明见解析【解析】【分析】(1)根据黄金矩形的定义可得：ABAD(2)先证明四边形ABFE是正方形；可得AB=BF=EF=AE=2,DE=CF=5-1,证明四边形CFED是矩形，从而可得答案；(3)先证四边形BPQF是矩形，然后求解FG=12+22=5,由对折可得:FH=FB=2,设BP=x,则AP=2【小问1详解】解：∵AD=5+1,矩形∴【小问2详解】证明：∵折叠黄金矩形纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，∴AB=AE,∠B=∠AEF,又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD,AD=BC=5+1,∴∠BAE=∠B=∠AEF=90°,∴四边形ABFE是矩形,∵AB=AE,∴四边形ABFE是正方形；∴AB=BF=EF=AE,由(1)可知,AB=2,∴AB=BF=EF=AE=2,∴DE=CF=∵∠C=∠D=∠DEF=90°,∴四边形CFED是矩形,∴EF=CD=2,∴∴四边形CDEF是黄金矩形.【小问3详解】解：四边形BPQF是黄金矩形，证明如下：..PQ⊥EF,四边形ABFE是正方形,:ĐB=ĐBFE=ĐPQF=90°,∴四边形BFQP是矩形;由(2)可知,AB=BF=AE=EF=2,∵G为AE的中点,∴AG=EG=1,∴FG=如图，连接PG，由对折可得：FH=FB=2,BP=PH,∠PHF=∠B=90∘,设BP=PH=x,则AP=2⋯SAPG解得：x=∴∴∴四边形BFQP是黄金矩形.【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键.24.(本小题满分12分)某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图12所示的双向通行隧道.以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题.发现问题确定目标涉水线设置限高架设置数学抽象绘制图形隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图13所示图14为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成.信息收集资料整理当隧道内积水的水深为0.27米时(即积水达到涉水线处)，车辆应避免通行.车辆进入隧道，应在行驶车道内通行(禁止压线)，且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米.实地考察数据采集斜坡的坡角α为10°，并查得sin10°≈0.174,cos10°≈0.985,tan10°≈0.176.隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD=BE=3米，地面跨度DE=10米.车辆行驶方向的右侧车道线(宽度忽略不计)与墙面的距离为1米.问题解决：(1)如图13，求涉水线离坡底的距离MN(精确到0.01米)；(2)在图14中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式；(3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”(即最大安全限高)，求h的值(精确到11米).【答案】(1)MN=1.55米(2y=-(3)3.5米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键.(1)认真研读题干，过点M作MP⊥l，代入数值得sin10(2)先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线ACB的解析式为y=ax2(a＜0),再把B(5,-2.4(3)认真研读题干,得出10÷5-1=4,再算出当x=4时,y=-1.536,则OG=1.536,GH=CH-OG=3.864,即可得出h=GH-0.3=3.564≈3.5(米),即可作答.【小问1详解】解:如图,过点M作MP⊥l,∵斜坡的坡角α为10°，隧道内积水的水深为0.27米，∴∠MNP=10°,MP=0.27,∵MP在Rt△MNP中,sin1∴(米);【小问2详解】解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：依题意，设抛物线ACB的解析式为y=a∵隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD=BE=3米，地面跨度DE=10米.AD=BE=3DE=10:B(5,-2.4),把B(5,-2.4)代入.y=a得-2.4