南师大地图学教案第4讲 地图投影

第四讲地图投影

一．本讲内容概述

1.地图投影的基本概念

1.1投影的实质

1.2投影变形

1.3主比例尺和局部比例尺

2.变形椭圆

3.投影变形的基本公式

3.1长度比公式

3.2面积比公式

3.3角度变形公式

4.地图投影的分类

4.1按投影变形性质分类

4.2按投影方式分类

4.3地图投影的命名二．本讲内容

1.地图投影的基本概念

1.1投影的实质

投影（Projection）一词源于几何学。我们可以把地图投影理解为是建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标表示）和地面上的点（用纬度φ和经度λ表示）之间的函数关系。用数学公式表达这种关系，就是：

X＝f1(λ,φ)

┐

Y＝f2(λ,φ)

┘

（公式4-1）

1.2投影变形

将地球椭球面（或球面）上的点投影到平面上，必然会产生形变，这是由于椭球面是一个不可展的曲面决定的。这种变形表现在形状和大小是发生了形变。实质上，就是由投影产生了长度变形、面积变形以及角度变形。

长度比（μ）——地面上微分线段投影后长度ds’与它固有长度ds之比值。公式表示为：（公式4-2）面积比（P）——地面上微分线段投影后面积dF’与它固有面积dF之比值。公式表示为：（公式4-3）在同一个投影中，不同点上的长度比和面积比的数值一般不是固定的，长度比和面积比的变化显示了投影中长度和面积的变化。

长度变形（vμ）——长度比与1之差值。用公式表示为：

vμ

＝μ－1（公式4-4）长度变形（vp）——长度比与1之差值。用公式表示为：

vp＝P－1（公式4-5）角度变形——某一角度投影后角值β'与它在地面上固有角值β之差的绝对值，即|β-β'|（公式4-6）

1.3主比例尺和局部比例尺

主比例尺—在计算地图投影或制作地图时，将地球椭球按一定比率缩小，而表示在平面上，这个比率称为地图的主比例尺，或称普通比例尺。

局部比例尺—地图上除保持主比例尺的点或线以外其他部分的比例尺。局部比例尺变化比较复杂，它们依投影种类、投影性质的不同，常常是随着线段的方向和位置而变化的。对于某些需要在图上进行测量的地图，便要采用一定的方式设法表示出该图的局部比例尺。这就是我们在大区域小比例尺图上看到的那种较复杂的图解比例尺。2.变形椭圆

为了阐明作为投影变形结果各点上产生的角度和面积变化的概念，法国数学家底索（Tissort）采用了一种图解的方法，即通过变形椭圆来论述和显示投影在各方向上的变形。变形椭圆的意思是，地面上一点处的一个无穷小圆——微分圆（也称为单位圆），将它投影后变为一个微分椭圆，利用这个微分椭圆能较恰当地、直观地显示变形的特征。

我们先证明微分圆投影后一般地称为微分椭圆，然后再利用变形椭圆去解释各种变形特征（如图4－1）。

图4－1微分圆及其表象设有半径为r地微分圆O，OX，OY为通过圆心地一对正交半径（为便于研究，令此两半径为通过O点地经纬线地微分线段），A为圆上的一点。

微分圆各元素投影到相应地O'，

O'X'，O'Y'，其中O'X'，O'Y'为斜坐标轴。按长度比的概念可以写出：

x'=mx，

y'=ny

公式中，m为经线长度比，n为纬线长度比。

对于微分圆方程：x2+y2=r2

以，带入上式：即（公式4-7）由于斜坐标系应用上不太方便，为此我们引入了主方向地概念，也称为底索定律（Tissort’Theorem）：“无论采用任何转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上能保持其正交关系。”由于主方向投影后保持正交且长度比具有极值的特点，则在对应平面上它们便称为变形椭圆的长、短半轴，并以μ1和μ2表示沿主方向的长度比（如图4－2）图4－2微分圆及其投影中地主方向于是，椭圆方程式可写为：（公式4-8）如果用a，b分别表示椭圆地长半径和短半径，则上公式中a=μ1r，b=μ2r。为方便起见，令微分圆半径为单位1，即r＝1，在椭圆中即有a=μ1及b=μ2。因此可以得出以下结论：微分椭圆长、短半径地大小，等于该点主方向的长度比（如图4－3）。图4－3通过变形椭圆形状显示变形特征设实地半径为单位值（r＝1）的微分圆，在投影中具有不同的形状和大小。其中1，2两个图形为a＝b<1和a＝b>1的情况，就是说，形状没有变化而大小发生了变化，具有这种性质的投影，叫做正交投影（或等角投影）。3，4两个图形的形状发生了变化，但a*b=1，就是说面积大小没有变化，具有这个性质的投影，叫做等面积投影。在第5个图形中，椭圆的长半径和短半径中有一个长度等于1（例如a＝1或b＝1），在第6个图形中a≠b≠1,这5，6两种投影7既不等角又不等面积，可称为任意投影（其中第5个也可称为等距离投影）。图4－4变形椭圆保持面积不变图4－5变形椭圆保持形状不变3.投影变形的基本公式

3.1长度比公式

按长度比定义，以式子表示为：

（公式4-2）考虑到球面上的微分线段与平面上微分线段的比值，经推导可得任意一点与经线成a角方向上的长度比ua为：

（公式4-9）

式中M为子午线曲率半径，r为纬线圈半径，E，F，G称为一阶基本量，或称高斯系数

式中，a为地球的长半径，b为地球的短半径，

e2称为第一偏心率，；u为该点的纬度；E，F，G是投影公式

┌x=f1(λ,φ)

└y=f2(λ,φ)

中x，y关于，的一阶偏导数。

在式公式4-9中，

若a=0o，得经线长度比m为：（公式4-11）若a=90o，则纬线长度比n为：（公式4-12）一般地说，一点上得长度比随方向不同而不同，有两个互相垂直得极值长度比a，b存在于主方向上，称为长度比在一点上得极大值和极小值。3.2面积比公式

根据长度比可推导出面积比公式为：

（公式4-13）

式中，a，b为极值长度比，为经纬线投影后所成为得夹角。3.3角度变形公式

（1）经纬线夹角变形

经纬线在椭球面上是一组互相垂直的线，在投影面上经纬线夹角变形为：

（公式4-14）经纬线夹角变形的表达式可以经推导得到：

（公式4-15）

（公式4-16）H同E，F，G一样称为一阶基本量，按求得。（2）最大角变形公式

一点上可以有无数的方向角，投影后这无数的方向角一般都不能保持原来的大小。一点上最大角度变形可用极值长度比a，b表示：

（公式4-17）按三角函数的概念，还可以得到（公式4-18）

此外，在实用上常通过以下公式求得：

（公式4-19）4.地图投影的分类

目前主要是依靠外在特征和内在的性质来进行分类。前者体现在投影平面上经纬线投影的形状，具有明显的直观性；后者则是投影内蕴涵的变形的实质。

4.1按投影变形性质分类

按变形性质分为：等角投影、等积投影、任意投影。

（1）等角投影

等角投影是指角度没有变形的投影。椭球面上一点处任意两个方向的夹角投影到平面上保持大小不变。等角投影应满足:

a=b

由于投影后保持区域形状相似，又将等角投影称为相似投影、正形投影。等角投影的面积变形比较大。（2）等积投影

等积投影是指面积没有变形的投影。椭球面上的面积与椭球面上相应的面积保持一致。等积投影应保持:

P=1,Vp=0或a•b＝1

这种投影会破坏图形的相似性，角度变形比较大。（3）任意投影

任意投影是既不能满足等角条件，也不能满足等积条件，长度变形、面积变形以及角度变形同时存在的投影。

在任意投影中，有一种特殊的投影它使得a＝1或b＝1，即沿主方向之一长度没有变形，称为等距离投影。

任意投影中三种变形都有，但其角度变形没有等面积投影中的角度变形大，面积变形没有等角投影中的面积变形大。4.2按投影方式分类

地图投影前期是建立在透视几何原理基础上，借助于辅助面将地球（椭球）面展开成平面，称几何投影。后期则跳过这个框架，产生了一系列按数学条件形成的投影，称为条件投影。

（1）几何投影

几何投影的特点是将椭球上的经纬线投影到辅助面上，然后再展开成平面。在地图投影分类时是根据辅助投影面的类型及其与地球椭球的关系划分的（如图4－6）

图4－6几何投影的类型

1）按辅助投影面的类型分

方位投影：以平面作为投影面的投影；

圆柱投影：以圆柱面作为投影面的投影；

圆锥投影：以圆锥面作为投影面的投影。

2）辅助投影面和地球（椭球）体的位置关系分

正轴投影：辅助投影平面与地轴垂直（如图4-6（g）），或者圆锥、圆柱的轴与地轴重合（如图4-6（a）、（d））的投影；

横轴投影：辅助投影平面与地轴平行（如图4-6（i）），或者圆锥、圆柱的轴与地轴垂直（如图4-6（c）、（f））的投影；

斜轴投影：辅助投影平面的中心法线或圆锥、圆柱的轴与地轴斜交（如图4-6（b）、（e）、（h））的投影。

3）按辅助投影面和地球面的相切或相割分

切投影：辅助投影平面与地球（椭球）面相切（如图4-6（b）、（c）、（d）、（f）、（g）、（h））；

割投影：辅助投影平面与地球（椭球）面相割（如图4-6（a）、（e）、（i））。（2）条件投影

条件投影是在几何投影的基础上，根据某些条件按数学法则加以改造形成的。对条件投影进行分类实质上是按投影后经纬线的形状进行分类。由于随着投影面的变化，经纬线的形状会变得十分复杂，在此我们只讨论正轴条件下的经纬线形状，其基础又是三种几何投影（如图4－7）

图4－7正轴几何投影的经纬线形状1）方位投影：

纬线投影成同心圆，经线投影为同心圆的半径，即放射的直线束，且两条经线间的夹角与经差相等。

2）圆柱投影：

纬线投影成平行直线，经线投影为垂直于各纬线的另一组平行直线，两条经线间的间隔与经差成比例。

3）圆锥投影：

纬线投影成同心圆弧，经线投影为同心圆弧的半径，两条经线间的夹角小于经差且与经差成比例。

4）多圆锥投影：纬线投影成同心圆弧，中央经线投影为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。

5）伪方位投影：纬线投影成同心圆，中央经线投影为直线，其余经线投影为相交于同心圆圆心且对称于中央经线的曲线。

6）伪圆柱投影：纬线投影成一组平行直线，中央经线投影为垂直于各纬线的直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。

7）伪圆锥投影：纬线投影成同心圆弧，中央经线投影成过同心圆弧圆心的直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。4.3地图投影的命名

1．地球（椭球）与辅助投影面的相对位置（正轴、横轴或斜轴）；

2．地图投影的变形性质（等角、等面积、任意性质三种，等距离投影属于任意投影）；

3．辅助投影面与地球相割、相切（割或切）；

4．作为辅助头投影面的可展面的种类（方位、圆柱、圆锥）。三．

课堂提问、课后作业及思考题

（1）课堂提问

●地图投影变形表现在哪几个方面？为什么说长度变形是主要变形？

●什么是主比例尺？什么是局部比例尺？一般地图上所标的比例尺属于哪一种？

（2）课后作业

●什么是长度比、长度变形？什么是面积比与面积变形？