9.3.2　第1课时　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示

9.3.2向量坐标表示与运算第1课时向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示(教学方式:基本概念课逐点理清式教学)[课时目标]1.借助于平面直角坐标系,理解向量坐标的概念,会求点的坐标.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.会用坐标表示平面向量的加法和减法及数乘运算.逐点清(一)向量的坐标表示[多维理解]在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个i,j作为基底,对于平面内的向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对有序实数(x,y),使得.我们把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=.

特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).|微|点|助|解|点的坐标与向量坐标的区别和联系区别表示形式不同向量a=(x,y)中间用等号连接,而点A(x,y)中间没有等号意义不同点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y)联系当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同[微点练明]1.如图所示,e1,e2为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是()A.(3,4),(2,-2)B.(2,3),(-2,-3)C.(2,3),(2,-2)D.(3,4),(-2,-3)2.已知D是△ABC所在平面内一点,BC=3CD,设AB=e1,AC=e2,则AD在基底e1,e2下的坐标为()A.43,13C.13,-43.若i,j为正交基底,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于()A.第一、二象限 B.第二、三象限C.第三象限 D.第四象限4.已知O为坐标原点,点A在第二象限,|OA|=2,∠xOA=120°,则向量OA的坐标为.

逐点清(二)向量线性运算的坐标表示[多维理解]文字叙述符号表示加法两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=______________减法两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=______________数乘向量实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标若a=(x,y),λ∈R,则λa=________向量的坐标一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=______________|微|点|助|解|(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.(2)当且仅当向量的起点为坐标原点时,向量终点的坐标等于向量本身的坐标.(3)由向量坐标的定义知,相同的向量的坐标一定相同,但是相同的向量的起点、终点的坐标可以不同.也就是说,两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b⇔x[微点练明]1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量12a-32b=(A.(2,1) B.(-2,1)C.(1,2) D.(-1,2)2.已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c=()A.-133,-C.133,43.在平面直角坐标系中,已知P1(-1,1),P2(1,3),点P满足P1P=-3PP2,则点P4.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;(2)求M,N的坐标及向量MN的坐标.逐点清(三)向量坐标运算的综合应用[典例]已知O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB(t∈R).(1)t为何值时,P在x轴上?t为何值时,P在y轴上?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.听课记录:|思|维|建|模|(1)待定系数法是最基本的数学方法之一.先将未知量设出来,建立方程(组)求出未知数的值,是待定系数法的基本形式,也是方程思想的一种基本应用.(2)坐标形式下向量相等的条件:相同的向量的对应坐标相等,对应坐标相等的向量是相同的向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.[针对训练]已知O(0,0),向量OA=(2,1),OB=(3,-2).(1)如图,若四边形OACB为平行四边形,求点C的坐标;(2)若点P为线段AB靠近点B的三等分点,求点P的坐标.9.3.2向量坐标表示与运算第1课时向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示[多维理解]单位向量a=xi+yj(x,y)[微点练明]1.选C根据平面直角坐标系,可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2.∴a=(2,3),b=(2,-2).2.选D因为BC=3CD,所以CD=13BC=13(AC-所以AD=AC+CD=AC+13(AC-AB=-13AB+43AC=-13e1因此向量AD在基底e1,e2下的坐标为-13.选Dx2+x+1=x+122+34>0,x2-x+1=x-122+34>0,因此a对应的坐标满足x2+x+1>0,-(x24.解析:如图,由∠xOA=120°可得∠yOA=30°.因为|OA|=2,所以A(-1,3).故OA=(-1,3).答案:(-1,3)[多维理解](x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx,λy)(x2-x1,y2-y1)[微点练明]1.选D12a-32b=12(1,1)-32(1,-1)=(-12.选A由a-2b+3c=0,可得c=-13a+23b=-13(5,-2)+23(-4,-33.解析:设点P的坐标为(x,y),因为P1(-1,1),P2(1,3),所以P1P=(x+1,y-1),PP2=(1-x,3因为P1P=-3所以x+1=-3(1-x所以点P的坐标为(2,4).答案:(2,4)4.解:(1)由题意得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8),所以mb+nc=(-6m+n,-3m+8n).因为a=mb+nc,所以-6m+(2)设O为坐标原点,因为CM=OM-OC=3c,所以OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).所以点M的坐标为(0,20).因为CN=ON-OC=-2b,所以ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2).所以点N的坐标为(9,2).故MN=(9,-18).[典例]解:(1)由题意得OA=(1,2),AB=(3,3),则OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).若P在x轴上,则2+3t=0,∴t=-23若P在y轴上,则1+3t=0,∴t=-13(2)不能.理由如下:由题意知OA=(1,2),PB=OB-OP=(3-3t,3-3t).若四边形OABP为平行四边形,则OA=PB,∵3-3t=1,∴四边形OABP不能成为平行四边形.[针对训练]解:(1)设点C的坐标为(x,y),由题意,得A(2,1),B(3,-2),则BC