10.1.2　第1课时　两角和与差的正弦

10.1.2两角和与差的正弦第1课时两角和与差的正弦(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)[课时目标]1.能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式,了解它们的内在联系.2.掌握两角和与差的正弦公式,并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦公式S(α+β)sin(α+β)=____________________________α,β∈R两角差的正弦公式S(α-β)sin(α-β)=____________________________α,β∈R|微|点|助|解|1.两角和与差的正弦公式的结构特征 (1)公式中的角α,β都是任意角.(2)一般情况下,两角和与差的正弦不能按分配律展开,即sin(α±β)≠sinα±sinβ.(3)注意公式的逆向运用和变形运用.①公式的逆用:如sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin[(α+β)-β]=sinα.②公式的变形运用:变形运用涉及两个方面,一个是公式本身的变形运用,如sin(α-β)+cosαsinβ=sinαcosβ;一个是角的变形运用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现.2.利用公式统一角的方法f(x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)(a,b不同时为0),其中cosφ=aa2+b基础落实训练1.sin105°的值为()A.3+22C.6-242.化简sin21°cos81°-cos21°sin81°等于()A.-32B.-12C.123.若sinπ4+α=12,则sinα+cos题型(一)给角求值[例1](1)cosπ12-sinπ12=A.12 B.3C.62 D.(2)sin52°cos22°-sin38°sin158°=()A.-12 B.1C.32 D.-(3)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=()A.-12 B.-3C.32 D.听课记录:|思|维|建|模|掌握两个解题技巧(1)利用诱导公式把不同的角转化为相同的角.(2)注意公式的逆用或变形用.[针对训练]1.sin2023°cos17°+cos2023°cos73°=()A.12 B.-C.-32 D.2.sin50°cos170°-sin40°sin170°=()A.-32 B.C.12 D.-3.已知a=(2sin35°,2cos35°),b=(cos5°,-sin5°),则a·b=()A.12 B.C.2 D.2sin40°题型(二)条件求值[例2]已知sinα=35,cosβ=-513,且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)听课记录:[变式拓展]1.若本例条件不变,求sin(α-β)的值.2.若本例条件“cosβ=-513”变为“cos(α+β)=-45”,“α为第一象限角,β为第二象限角”变为“0<α<π2<β<π”,求sin|思|维|建|模|1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示:(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+[针对训练]4.已知α∈0,π2,cosα=35,则sinα-πA.4-3310 B.C.43-3105.若α,β为锐角,且满足cosα=45,cos(α+β)=513,则sinβ的值为(A.-1665 B.C.5665 D.题型(三)三角公式的应用[例3]已知函数f(x)=32sin2x-12cos2x.则下列判断正确的是(A.关于直线x=π4对称 B.关于直线x=πC.关于点π12,0对称 D.关于点听课记录:|思|维|建|模|对形如sinα±cosα,3sinα±cosα的三角函数式均可利用特殊角的关系,运用和、差角的正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形式,即y=Asin(ωx+φ)的形式.[针对训练]6.函数fx=3cosx-sinx的一个单调递增区间是()A.π,2π B.1C.-16π,7.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sinx-3cosx在[0,π]上的最大值是.第1课时两角和与差的正弦◉课前预知教材sinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ[基础落实训练]1.D2.A3.解析:因为sinπ4+α=sinπ4cosα+cosπ4sinα=12,即22cosα+22sinα=12答案:2◉课堂题点研究[例1]解析:(1)cosπ12-sinπ12=cosπ3-π4-sinπ3-π4=cosπ3cosπ4+sinπ3sinπ4-sinπ3cosπ(2)sin52°cos22°-sin38°sin158°=sin52°cos22°-cos52°sin22°=sin(52°-22°)=sin30°=12(3)原式=cos(70°+α)sin[180°-(10°+α)]-sin(70°+α)cos(10°+α)=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=sin[(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-sin60°=-32答案:(1)D(2)B(3)B[针对训练]1.选Csin2023°cos17°+cos2023°cos73°=sin2023°cos17°+cos2023°sin17°=sin(2023°+17°)=sin2040°=sin240°=-sin60°=-322.选Asin50°cos170°-sin40°sin170°=sin50°cos170°-cos50°sin170°=sin(50°-170°)=sin(-120°)=-sin120°=-323.选Ba·b=2sin35°cos5°-2cos35°sin5°=2sin(35°-5°)=2sin30°=1.[例2]解:因为α为第一象限角,β为第二象限角,sinα=35,cosβ=-5所以cosα=45,sinβ=12所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=35×-513+45×[变式拓展]1.解:sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=35×-513-45×122.解:∵0<α<π2<β<π,∴π2<α+β<∵sinα=35,cos(α+β)=-4∴cosα=45,sin(α+β)=±3∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα,当sin(α+β)=35时,sinβ=24当sin(α+β)=-35时,sinβ=0∵π2<β<π,∴sinβ=24[针对训练]4.选A∵α∈0,π2,cosα=∴sinα=1-cos2α∴sinα-π3=sinα×12-cosα×32=45×12-355.选B因为α,β为锐角,且cosα=45,cos(α+β)=5所以sinα=35,sin(α+β)=12所以sinβ=sin[(α+β)-α]=1213×45-513×35=33[例3]选Cf(x)=32sin2x-12cos2x=sin2x-π6.因为fπ4=sin2×π4-π因为fπ6=sin2×π6-π6=sinπ6=12≠±1,所以B不正确;因为fπ12因为fπ3=sin2×π3-π6=sinπ2=1≠0[针对训练]6.