10.1.3　两角和与差的正切

10.1.3两角和与差的正切(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)[课时目标]1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切公式T(α+β)tan(α+β)=________________α,β,α+β≠kπ+π2(k∈Z)且tanα·tanβ两角差的正切公式T(α-β)tan(α-β)=________________α,β,α-β≠kπ+π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠-|微|点|助|解|(1)结构特征:公式T(α±β)的右侧为分式形式,其中分子为tanα与tanβ的和或差,分母为1与tanαtanβ的差或和.(2)符号规律:分子同,分母反.(3)T(α±β)可变形为如下形式:①tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ)或②1∓tanαtanβ=tanα±tanβtan(α±β).当α±β为特殊角时,常考虑使用变形①,遇到基础落实训练1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)两角和与差的正切公式对tanα±π2是适用的.((2)tanα+tanβ=tan(α+β)(1+tanα·tanβ).()(3)1+tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α2.若tanα=3,tanβ=43,则tan(α-β)等于()A.13B.-13C.3D.3.已知tanα=2,则tanα+π4=4.tan75°-tan15°1+tan75°tan15°=题型(一)两角和与差正切公式的简单应用[例1](1)若tanα-π4=16,则tanα=(2)已知α,β均为锐角,tanα=12,tanβ=13,则α+β=.听课记录:|思|维|建|模|利用正切的和差公式解题的两个题型及解题策略(1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解.(2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小.[针对训练]1.(2024·全国甲卷)已知cosαcosα-sinα=3,则tanαA.23+1 B.23-1C.32 D.1-2.已知tanα=2,tanβ=-13,其中0<α<π2,π2<β<π.求α+题型(二)两角和与差正切公式的逆用[例2]计算:1-tan5π12tanπ4A.-33 B.3C.-3 D.3听课记录:|思|维|建|模|一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换.如tanπ4=1,tanπ6=33,tanπ3=3等.要特别注意tanπ4[针对训练]3.化简求值:1-tan15°3题型(三)两角和与差正切公式的变形用[例3](1)tan23°+tan37°+3tan23°tan37°的值是.

(2)tan18°+tan42°+tan120°tan18°tan42°tan60°=听课记录:|思|维|建|模|当化简的式子中出现“tanα±tanβ”与“tanαtanβ”形式时,要把它们看成两个整体,这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是这两个整体还与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件,能缩小角的范围.[针对训练]4.3tan87°tan33°-tan87°-tan33°=()A.3 B.-3 C.33 D.-5.若1+tanα+tanβ-tanαtanβ=0,且α,β∈π2,π,则α+β=10.1.3两角和与差的正切◉课前预知教材tanα+tan[基础落实训练]1.(1)×(2)×(3)×2.选A原式=tanα-tanβ1+tanα3.解析:tanα+π4=tanα+tanπ答案:-34.解析:原式=tan(75°-15°)=tan60°=3.答案:3◉课堂题点研究[例1]解析:(1)法一∵tanα-π4=tanα-tan∴6tanα-6=1+tanα(tanα≠-1),∴tanα=75法二tanα=tanα=tanα-π4+tan(2)∵tanα=12,tanβ=1∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tan∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π).∴α+β=π4答案:(1)75(2)[针对训练]1.选B根据题意有cosα-sinαcosα=33,即1-tanα=33,所以tanα=1-33,所以tanα+故选B.2.解:把tanα=2,tanβ=-13代入得tan(α+β)=tan=2+-1因为0<α<π2,π2<β<所以π2<α+β<3π2.所以α+β[例2]选A原式=1tan5π12+π4=1tan2π3=1tanπ[针对训练]3.解:原式=tan45°-tan15°=33tan(45°-15°)=33tan30°=[例3]解析:(1)∵tan60°=3=tan23°+tan37°1-tan23°tan37°∴tan23°+tan37°=3-3tan23°tan37°.∴tan23°+tan37°+3tan23°tan37°=3.(2)∵tan18°+tan42°+tan120°=tan60°(1-tan18°tan42°)+tan120°=-tan60°tan18°tan42°,∴原式=-1.答案:(1)3(2)-1[针对训练]4.选A3tan87°tan33°-tan87°-tan33°=3tan87°tan33°-tan(87°+33°)(1-tan87°·tan33°)=3tan87°tan33°+3(1-tan87°·tan