11.3　余弦定理、正弦定理的应用

11.3余弦定理、正弦定理的应用(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)[课时目标]1.认识实际测量中的有关名称和术语,理解方位角、方向角、俯角、仰角的含义.2.会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题.题型(一)测量距离问题[例1]如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),若在河岸选取相距20m的C,D两点,测得∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA=60°,那么此时A,B两点间的距离是多少?听课记录:|思|维|建|模|三角形中与距离有关问题的求解策略(1)解决三角形中与距离有关的问题,若在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解.(2)解决三角形中与距离有关问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决.[针对训练]1.如图,从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,若无人机的高度AD是15(3+1),则此时峡谷的宽度BC是()A.60 B.60(3+1)C.30 D.30(3+1)题型(二)测量高度问题[例2]如图,A,B是水平面上的两个点,相距800m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D点是C点到水平面的垂足,求山高CD.听课记录:|思|维|建|模|测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题.(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路.[针对训练]2.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度,如图,在C处进行该仪器的弹射,观测点A,B两地相距100m,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚217s.A地测得该仪器在C处时的俯角为15°,A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340m/s)题型(三)测量角度问题[例3]某公司想投资建设一个深水港码头,如图,工程师为了了解深水港码头海域海底的构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=60m,BC=120m,于A处测得水深AD=120m,于B处测得水深BE=200m,于C处测得水深CF=150m,则cos∠DEF=.

听课记录:|思|维|建|模|(1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度,确定目标的方位,观察某一物体的视角等问题.(2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念,确定所求的角或距离在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.[针对训练]3.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距anmile,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的3倍,问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船?相遇时乙船行驶了多少nmile?11.3余弦定理、正弦定理的应用[例1]解:由正弦定理得AC=20=20sin105°sin45°=20sin75°sin45°BC=20=20sin45°sin45°=20在△ABC中,由余弦定理得AB=AC2+BC2∴A,B两点间的距离为106m.[针对训练]1.选A由已知得∠ACB=30°,∠ABD=75°,∴CD=15(3+1)tan30°=15(3+3),BD=15(3+1)tan75°=15(3-1),∴BC=CD-[例2]解:由于CD⊥平面ABD,∠CAD=45°,所以CD=AD.在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,由ABsin15°=得AD=AB·sin45°sin15°=800×226-即山的高度为800(3+1)m.[针对训练]2.解:设AC=xm,则BC=x-217×340=(x-40)m在△ABC中,根据余弦定理得(x-40)2=10000+x2-100x,解得x=420.在△ACH中,AC=420m,∠CAH=30°+15°=45°,∠AHC=90°-30°=60°.由CHsin∠CAH=得CH=AC·sin∠CAHsin∠AHC=1406(故该仪器的垂直弹射高度CH为1406m.[例3]解析:如图所示,作DM∥AC交BE于N,交CF于M,作FH∥AC交BE于H.由题中所给数据得DF=M=30=10333(m),DE=DN2+EN2EF=EH2+FH2=在△DEF中,由余弦定理的推论,得cos∠DEF=D=1002+1302答案:-16[针对训练]3.解:如图所示,设两船在C处相遇,并设∠CAB=θ,乙船行驶距离BC为xn