课时跟踪检测(十二)　向量应用

课时跟踪检测(十二)向量应用(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)A级——达标评价1.某人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为()A.v1-v2 B.v1+v2C.|v1|-|v2| D.v2.已知平面内作用于点O的三个力f1,f2,f3,且它们的合力为0,则三个力的分布图可能是()3.共点力F1=(lg2,lg2),F2=(lg5,lg2)作用在物体M上,产生位移s=(2lg5,1),则共点力对物体做的功W为()A.lg2 B.lg5 C.1 D.24.在四边形ABCD中,若AB+CD=0,AC·BD=0,则四边形为()A.平行四边形 B.矩形C.等腰梯形 D.菱形5.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,BF=2FO,则FD·FE的值是()A.-34 B.-8C.-14 D.-6.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间长短为.

7.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD=.

8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=22,点E为BC的中点,点F在边CD上,若AB·AF=2,则AE·BF的值是.

9.(10分)已知两个力F1=5i+3j,F2=-2i+j,F1,F2作用于同一质点,使该质点从点A(8,0)移动到点B(20,15)(其中i,j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量,力的单位:N,位移的单位:m).试求:(1)F1,F2分别对质点所做的功;(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.10.(10分)已知四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.利用向量方法证明:AC⊥BD.B级——重点培优11.在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,|AB|=2,|BC|=2|AD|.若点P在线段BC上,则|PC+3PD|的最小值是()A.72 B.4C.92 D.12.若非零向量AB与AC满足ABAB+ACAC·BC=0,且ABAB·ACAC=32,则A.三边均不等的三角形B.直角三角形C.底边和腰不相等的等腰三角形D.等边三角形13.已知AB=a+b,AC=a-2b,|a|=2|b|=2,a,b的夹角为π3,则三角形ABC的BC边上中线的长为.

14.(10分)(1)已知某人在静水中游泳的速度为43km/h,河水的流速为4km/h,现此人在河中游泳.如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少?(2)在▱ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.15.(12分)如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF.课时跟踪检测(十二)1．选B由向量加法法则可知，人骑自行车逆风行驶的速度为v1＋v2.2．选D因为f1＋f2＝－f3，所以f1与f2的合力与f3方向相反，长度相等，则由平行四边形法则可知，只有D项满足．故选D.3．选D因为F1＋F2＝(1,2lg2)，所以W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.4．选D由题可知∥，||＝||，所以四边形ABCD是平行四边形．又⊥，故四边形为菱形．5．选B因为＝＋，＝＋，且＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝eq\f(1,9)－1＝－eq\f(8,9).6．解析：由题意得，速度的大小为|v|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，又||＝eq\r((7－4)2＋(12－6)2)＝3eq\r(5)，故所用时间t＝eq\f(3\r(5),\r(5))＝3.答案：37．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)．设AD＝a，则C(1，a)，＝(1，a)，＝(－1，a)．因为AC⊥BC，所以⊥.所以·＝－1＋a2＝0，解得a＝1(舍负)．答案：18．解析：建立如图所示的坐标系，设DF＝x，由图可得A(0,0)，B(2,0)，E(2，eq\r(2))，F(x,2eq\r(2))，·＝(2,0)·(x,2eq\r(2))＝2x＝2，即有x＝1.即F(1，2eq\r(2))，＝(－1,2eq\r(2))，则·＝(2，eq\r(2))·(－1，2eq\r(2))＝2×(－1)＋eq\r(2)×2eq\r(2)＝－2＋4＝2.答案：29．解：(1)根据题意，F1＝5i＋3j＝(5,3)，F2＝－2i＋j＝(－2,1)，＝(12,15)，故F1对该质点做的功W1＝F1·＝60＋45＝105(J)；F2对该质点做的功W2＝F2·＝－24＋15＝－9(J)．(2)根据题意，F1，F2的合力F＝F1＋F2＝(3,4)，故F1，F2的合力F对该质点做的功W＝F·＝3×12＋4×15＝96(J)．10．证明：法一因为＝＋，＝－，所以·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.所以⊥，即AC⊥BD.法二以B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(0,0)，设A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.因为＝－＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，＝＋＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，所以·＝c2－a2－b2＝0.所以⊥，即AC⊥BD.11.选D如图所示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系．则B(0,0)，A(0，2)，C(2d,0)，D(d,2)，P(p,0)(0≤p≤2d)，所以＝(2d－p,0)，＝(d－p,2)．所以＋3＝(5d－4p,6)．所以|＋3|＝eq\r((5d－4p)2＋62)≥6(当且仅当5d＝4p时等号成立)．所以|＋3|的最小值是6.故选D.12．选C∵·＝0，∴A的角平分线与BC垂直．∴AB＝AC.∵cosA＝·＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝30°，则△ABC是顶角为30°的等腰三角形，故选C.13．解析：设D为BC的中点，则2＝＋，所以(2)2＝(＋)2.所以4||2＝(2a－b)2.所以||＝eq\r(|a|2＋\f(|b|2,4)－a·b)＝eq\r(22＋\f(12,4)－2×1×\f(1,2))＝eq\f(\r(13),2).答案：eq\f(\r(13),2)14．解：(1)如图1，设此人在静水中游泳的速度为，水流的速度为，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为＋＝.由题意，⊥且||＝4，||＝4eq\r(3)，所以||＝＝8.在Rt△OAC中，tan∠AOC＝eq\f(AC,OA)＝eq\r(3)，所以∠AOC＝60°.故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8km/h.(2)如图2，设＝a，＝b，则|a|＝2，|b|＝1，从而＝a－b，所以2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，即4＝5－2a·b.所以a·b＝eq\f(1,2).又＝a＋b，所以2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋1＝6.所以||＝eq\r(6)，即对角线AC的长为eq\r(6).15．证