课时跟踪检测(十三)　平面向量及其应用

课时跟踪检测(十三)平面向量及其应用(满分100分,选填小题每题5分)1.已知△ABC中,AB=4,AC=3,cosA=13.若D为边BC上的动点,则AB·AD的取值范围是()A.[42,12] B.[82,16]C.[4,16] D.[2,4]2.已知向量a,b满足|a|=1,a与b的夹角为π3,若对一切实数x,|xa+2b|≥|a+b|恒成立,则|b|的取值范围是()A.12,+∞ C.[1,+∞) D.(1,+∞)3.设e1,e2是平面内两个不共线的向量,AB=(a-1)e1+e2,AC=2be1-e2,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则2a+1b的最小值是(A.8 B.6 C.4 D.24.对任意非零向量a,b,定义新运算:a×b=asin<a,b>b.已知非零向量m,n满足|m|>3|n|,且向量m,n的夹角θ∈π4,π2,若4(m×n)和4(n×m)都是整数A.2 B.3 C.4 D.175.已知a=(2sin13°,2sin77°),|a-b|=1,a与a-b的夹角为π3,则a·b=()A.2 B.3 C.4 D.56.如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(PA+PB)·PC的最小值是()A.2 B.0C.-1 D.-27.已知A32,72,B(1,4),且AB=(sinα,cosβ),α,β∈-π2,π2,8.定义a*b是向量a和b的“向量积”,其长度为|a*b|=|a||b|sinθ,其中θ为向量a和b的夹角.若a=(2,0),b=(1,3),则|a*(a+b)|=.

9.如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点,则EF·FG+GH·HE=.

10.(18分)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0).(1)求向量b+c的模的最大值;(2)设α=π4,且a⊥(b+c),求cosβ的值11.(18分)已知矩形ABCD中,|AB|=2,|AD|=1,E为AB的中点,P为边DC上的动点(不包括端点).(1)求PA·PB的最小值;(2)设线段AP与DE的交点为G,求AG·AP的最小值.12.(19分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),且点A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t).(1)若AB⊥a,且|AB|=5|OA|,求向量OB;(2)若向量AC与向量a共线,常数k>0,当f(θ)=tsinθ取最大值4时,求OA·OC.课时跟踪检测(十三)1．选C由题意得＝λ＋(1－λ)，0≤λ≤1，·＝·[λ＋(1－λ)·]＝λ2＋(1－λ)||||cosA＝16λ＋4－4λ＝12λ＋4∈[4,16]．2．选C因为|a|＝1，a与b的夹角为eq\f(π,3)，所以a·b＝|b|coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)|b|.把|xa＋2b|≥|a＋b|两边平方，整理可得x2＋2|b|x＋3|b|2－|b|－1≥0，所以Δ＝4|b|2－4(3|b|2－|b|－1)≤0，即(|b|－1)(2|b|＋1)≥0，解得|b|≥1.3．选A因为A，B，C三点共线，所以向量，共线，所以存在λ∈R，使得＝λ，即(a－1)e1＋e2＝λ(2be1－e2)，即(a－1)e1＋e2＝2λbe1－λe2，因为e1，e2不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝2bλ，,1＝－λ，))消去λ，得a＋2b＝1，因为a>0，b>0，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))·(a＋2b)＝4＋eq\f(a,b)＋eq\f(4b,a)≥4＋2eq\r(\f(a,b)·\f(4b,a))＝4＋2×2＝8，当且仅当a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)时，等号成立．4．选B由题意可得n×m＝eq\f(|n|sinθ,|m|)＝eq\f(k,4)(k∈Z)．因为|m|>3|n|>0，所以0<eq\f(|n|,|m|)<eq\f(1,3).因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以eq\f(\r(2),2)<sinθ<1.所以0<eq\f(|n|,|m|)sinθ<eq\f(1,3)，即0<eq\f(k,4)<eq\f(1,3)，解得0<k<eq\f(4,3).因为k∈Z，所以k＝1.所以n×m＝eq\f(|n|sinθ,|m|)＝eq\f(1,4).则eq\f(|m|,|n|)＝4sinθ，则eq\f(|n|,|m|)＝eq\f(1,4sinθ)<eq\f(1,3)，得eq\f(3,4)<sinθ<1，故m×n＝eq\f(|m|sinθ,|n|)＝4sin2θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，4))，符合该条件的是3.5．选B因为a＝(2sin13°，2sin77°)，所以|a|＝eq\r((2sin13°)2＋(2sin77°)2)＝eq\r((2sin13°)2＋(2cos13°)2)＝2.又因为|a－b|＝1，向量a与a－b的夹角为eq\f(π,3)，所以coseq\f(π,3)＝eq\f(a·(a－b),|a||a－b|)＝eq\f(a2－a·b,2×1)＝eq\f(4－a·b,2×1)＝eq\f(1,2)，所以a·b＝3，故选B.6．选D由平行四边形法则得＋＝2，故(＋)·＝2·，又||＝2－||，且，反向，设||＝t(0≤t≤2)，则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．∵0≤t≤2，∴当t＝1时，(＋)·取得最小值－2，故选D.7．解析：由题意知＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))＝(sinα，cosβ)，∴sinα＝－eq\f(1,2)，cosβ＝eq\f(1,2).又∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α＝－eq\f(π,6)，β＝eq\f(π,3)或－eq\f(π,3).∴α＋β＝eq\f(π,6)或－eq\f(π,2).答案：eq\f(π,6)或－eq\f(π,2)8．解析：因为a＝(2,0)，b＝(1，eq\r(3))，所以a＋b＝(3，eq\r(3))．所以|a|＝2，|a＋b|＝2eq\r(3).所以cos〈a，a＋b〉＝eq\f(2×3＋0×\r(3),2×2\r(3))＝eq\f(\r(3),2).因为〈a，a＋b〉∈[0，π]，所以sin〈a，a＋b〉＝eq\f(1,2).所以|a*(a＋b)|＝2×2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)9．解析：连接EG，FH，交于点O(图略)，则·＝·＝2－2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,4)，·＝·＝2－2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,4)，因此·＋·＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)10．解：(1)因为向量b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1，0)，所以b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|＝eq\r((cosβ－1)2＋sin2β)＝eq\r(cos2β－2cosβ＋1＋sin2β)＝eq\r(2－2cosβ).因为－1≤cosβ≤1，所以0≤2－2cosβ≤4.所以0≤|b＋c|≤2.所以向量b＋c的模的最大值为2.(2)因为α＝eq\f(π,4)，所以a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).因为a⊥(b＋c)，所以a·(b＋c)＝0.所以eq\f(\r(2),2)(cosβ－1)＋eq\f(\r(2),2)sinβ＝0.化简得sinβ＝1－cosβ，代入sin2β＋cos2β＝1，得(1－cosβ)2＋cos2β＝1，得cos2β－cosβ＝0，解得cosβ＝0或cosβ＝1.11．解：(1)设DP＝a，a∈(0,2)，如图建立平面直角坐标系．∵A(0,0)，P(a，1)，B(2，0)，∴＝(－a，－1)，＝(2－a，－1)．∴·＝(－a)×(2－a)＋(－1)×(－1)＝a2－2a＋1＝(a－1)2.当a＝1时，·有最小值，最小值为0.(2)由图可得△AEG∽△PDG，则eq\f(AG,PG)＝eq\f(AE,PD)＝eq\f(1,a)，∴＝eq\f(1,a＋1).又＝(a,1)，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋1)，\f(1,a＋1))).∴·＝eq\f(a2,a＋1)＋eq\f(1,a＋1)＝eq\f(a2＋1,a＋1)＝eq\f((a＋1)2－2a,a＋1)＝a＋1－eq\f(2a,a＋1)＝(a＋1)＋eq\f(2,a＋1)－2≥2eq\r(2)－2，当且仅当a＋1＝eq\f(2,a＋1)，即a＝eq\r(2)－1时取等号．∴·的最小值为2eq\r(2)－2.12．解：(1)∵＝(n－8，t)，⊥a，∴8－n＋2t＝0①.又||＝eq\r(5)||，∴(n－8)2＋t2＝5×64②.联立①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝8，,n＝24))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝－8，,n＝－8.))∴＝(24,8)或(－8，－8)．(2)∵＝(ksinθ－8，t)，向量与向量a共线，∴t＝－2ksinθ＋16.∴tsinθ＝(－2ksinθ＋16)·sinθ＝－2keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－