向量法证明平面几何问题的方法探究_第1页
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文档简介

本文主要探究了向量法在平面几何证明中的使用，拓展了新教材（2019版关键词： 11，在DABCBE、CD交于点OFBC证明：（Ⅰ）AF、O（Ⅱ）AO=BO=CO=2 r 1：OAOB是平面上的一组基底，且OC=xOA+yOB，则点C x+y=1 1：AB¹0，所以点CAB上的充要条件是存在t

RAC=t ÛOC=(1-t)OAx=1ty=t，即得点CABx+y=1证明：（Ⅰ）AO=xAB+yACAO=2xAD+yAC=xAB+2yAE，由OBE三点共线及O、CD1，我们有2x+y=x+2y=1x=y=1 1 1

2 所以AO=3(AB+AC)=

AFAF、O

2

（Ⅱ

=所

=2AO

AD

ACAO

AB+ 1BO=CO=2 39323，已知DABC，点O、GH分别为DABCO、GHHG=2OGOO 4，BODBO=OD，于是OB+OC其中MBC

=DCGG 因为点O为DABCBD为DABCDC^BCDA^ABH为DABCAH^BCCH^AB

DC

CHAHCDDC=AH因此OH=OA+AH=OA+DC=OA+OB+OC 2

1 又由例1可知，AG=

OG=OA 1

1

1 1即有O、GHHG=2OG35，点O是DABC所在平面内一点，则点O为DABCAO2+BC2=BO2+CA2=CO2+AB2

AO2+BC2=BO2r2Ûr2

r2r2

r2r2

rr2ÛAO-BO+BC-AC O)(CA)BC AO+BO×AB+BA rÛ2CO×ABBO2+CA2=CO2+AB2Û2AO×BC=0所以CO^ABAO^BC，即点O为DABC46PABCDABCD为PA2+PC2=PB2+PD2. 证明：先证必要性：设交于点O，则OACBDrPA2+PC2

r2

PC)=1

r

r22

=1

r

r22(2PO)

PD)

=PB2PA2+PC2=PB2rÛPA

r2

r2=PD

r2 PB)(PA)(PDrr ÛPM×BA=PNCD其中MNAB、CD

PP与点MN重合，得MN^CDMN^ABCDP为线段MN垂直平分线上一点（异于MN中点AB=CDABCD为平行四边形，从而

BCAB^ADABCDPA2+PC2=PB2+PD2ABAB∥CDPA2+PB2=PC2+PD2 PA2+PB2=1

r

r2

PC2+PD2=1

AB∥CD，所以MN^ABMN^CDPN2

PM2=MN2=MD2

DN2=BM2

PM2+BM2=PN2+DN2ÛPA2+PB2=PC2+PD2CD∥+PD2PD2PABAC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2r2 r

r

r

r2

r2AC

=2

+ABAC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2

++-2：(2：

r2r

r2r

r2r

r2

+AB)BD(BC =BD×AD+AB+BC=2AC r

r2

r2

所以(AC

r2

r2

r2

r2

r2r

r2++=2

22 )

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