第11讲勾股定理的应用（1大知识点11大典例变式训练过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新八年级数学衔接讲义（浙教版2024）（原卷版）

第11讲勾股定理的应用（1大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）典型例题一求梯子滑落高度典型例题二求旗杆高度典型例题三求小鸟飞行距离典型例题四求大树折断前的高度典型例题五解决水杯中筷子问题典型例题六解决航海问题典型例题七求河宽典型例题八求台阶上地毯长度典型例题九判断是否受台风影响典型例题十选址使到两地距离相等典型例题十一求最短路径知识点01勾股定理的应用勾股定理的作用1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2、用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．【即时训练】1．（2425八年级上·浙江湖州·期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（）米．A． B． C． D．【即时训练】2．（2425八年级上·北京房山·期末）如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为m．【即时训练】3．（2425八年级上·四川眉山·期中）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【典型例题一求梯子滑落高度】【例1】（2425八年级上·广西玉林·期中）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（

）A．12米 B．13米 C．14米 D．5米【例2】（2425八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C离墙7米．如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了（

）米A．7米 B．8米 C．9米 D．10米【例3】（2425八年级上·山东青岛·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一根竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为15米，顶端距离地面20米；如果保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在左墙时，其顶端距离地面为24米，则小巷的宽度为米．【例4】（2425九年级·北京西城·阶段练习）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺）设木杆长尺，依题意，列方程是．(1)求此时风筝的铅直高度．(2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？(2)在演练中，高约为24m的楼房窗口处有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的楼房窗口去救援被困人员？【典型例题二求旗杆高度】A． B． C． D．【例2】（2425八年级上·河南鹤壁·期末）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形高必须低于（

）A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米(1)求秋千的长度；(2)如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？3．（2425八年级上·重庆万州·期末）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的距离为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．(1)求此时风筝的垂直高度的长；(2)若放风筝的同学站在点不动，风筝沿的方向继续上升到处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿方向上升的高度的长．【典型例题三求小鸟飞行距离】A． B． C． D．【例2】（2425八年级上·重庆云阳·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树稍飞到另一棵树的树稍，问小鸟至少要飞行（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．14米【例3】（2425八年级上·江西抚州·期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行米．【例4】（2425八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是．1．（2425八年级上·江苏泰州·期中）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米.3．（2425八年级上·安徽合肥·期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示.输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B.求终止点B与原出发点A的距离AB.【典型例题四求大树折断前的高度】【例1】（2324八年级上·广东广州·期中）如图，一棵树（树干与地面垂直）高18米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵树断裂处点B离地面的高度的值为（

）

A．12米 B．14米 C．3米 D．5米【例3】（2425八年级上·贵州黔南·期中）如图，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是．【例4】（2425八年级上·北京·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为．1．（2425八年级上·重庆合川·期中）如图，一棵树在离地面处断裂，树的顶端落在离树杆底部处．求这棵树折断之前的高度．3．（2425八年级·浙江杭州·单元测试）如图所示，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？【典型例题五解决水杯中筷子问题】【例4】（2324八年级上·四川成都·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是尺

3．（2425八年级上·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺）解决下列问题：（1）示意图中，线段AF的长为尺，线段EF的长为尺；（2）求芦苇的长度．【典型例题六解决航海问题】【例1】（2324八年级上·山东威海·期中）周末，小明骑车从家A出发向北偏东方向骑行了4000米到达体育公园B，然后又从体育公园出发向南偏东方向骑行了3000米到达新华书店C．则小明家到新华书店的距离为（

）

A．2000米 B．3000米 C．4000米 D．5000米【例2】（2324八年级上·安徽合肥·期末）如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（

）A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时【例3】（2425八年级上·江西抚州·期中）一轮船以海里时的速度从港向东北方向航行，另一艘船同时以海里时的速度从港向西北方向航行，经过小时后，它们相距海里．【例4】（2425八年级上·河北石家庄·期末）如图，两艘轮船在港口补给完毕后分别沿着北偏东和北偏西的方向同时行驶，行驶速度分别为每小时海里和每小时海里，行驶两小时后分别到达和处，此时两艘轮船之间的距离是海里．

(2)若轮船不改变航行速度和方向，求轮船开始受台风影响的时刻．(1)如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？(2)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由；(3)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？(4)假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【典型例题七求河宽】【例1】（2425八年级上·浙江杭州·课后作业）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为（

）A．480m B．380mC．580m D．500m【例3】（2425八年级上·四川达州·阶段练习）如图，为修铁路需凿通隧道BC，测得∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，若每天凿隧道0.3km，则需天才能把隧道凿通．【例4】（2425八年级上·浙江台州·期中）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长米．

【典型例题八求台阶上地毯长度】【例1】（2024八年级上·浙江杭州·专题练习）如图所示的是一个三级台阶，它每一级的长、宽和高分别为9，3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点．点A有一只蚂蚁，想到点B去吃食物，则这只妈蚁沿着台阶面爬行的最短路程为（

）A．6 B．8 C．9 D．15【例2】（2425八年级上·吉林长春·期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米【例3】（2425八年级上·山东济南·阶段练习）如图，是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于．【例4】（2425八年级上·吉林·期中）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=cm，楼梯宽1cm，则地毯的面积至少需要平方厘米．

(1)直接写出的值；(2)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/，求购买地毯需多少元？(3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG在这个坐标系中的解析式．【典型例题九判断是否受台风影响】【例1】（2425八年级上·湖北武汉·阶段练习）M城气象中心测得台风中心在M城正北方向240km的P处，以每小时45km的速度向南偏东30°的PB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域，则M城受台风影响的时间为（

）小时．A．4 B．5 C．6 D．7【例2】（2425八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(

)小时它就会进入台风影响区

A．10 B．7 C．6 D．12【例3】（2425八年级上·浙江绍兴·期中）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是秒．(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？【典型例题十选址使到两地距离相等】【例1】（2324八年级上·云南·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（

）A．60m B．80m C．100m D．160m【例2】（2425八年级·重庆·阶段练习）如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（）A．L1 B．L2 C．L3 D．L4【例3】（2425八年级上·浙江杭州·课后作业）小丽从家出发先向正东方向直线前进了40米，接着又向正北方向直线前进了9米，此时小丽若以20米/分钟的速度回家，最少需要分钟.2．（2425八年级上·陕西西安·开学考试）如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：（1）站应建在距站多少千米处？（2）和垂直吗？说明理由．3．（2425八年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒；（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m；【典型例题十一求最短路径】数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接．(1)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是______；(2)问题解决：求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．3．（2425八年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______；(2)求该长度最短的金属丝的长；(3)如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______．2．（2425八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（

）米．A．17 B．15 C．10 D．83．（2425八年级上·湖北襄阳·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何