人教A版高中数学选修4-41.2.2极坐标和直角坐标的互化测试（教师版）

1.2.2极坐标和直角坐标的互化（检测教师版）时间:50分钟总分：80分班级：姓名：选择题（共6小题，每题5分，共30分）1、将点M的极坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(π,3)))化为直角坐标是()A．(5,5eq\r(3)) B．(5eq\r(3)，5)C．(5,5) D．(－5，－5)【答案】A【解析】x＝ρcosθ＝10coseq\f(π,3)＝5，y＝ρsinθ＝10sineq\f(π,3)＝5eq\r(3).2、点M的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则点M的极坐标可以为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，－\f(π,2)))【答案】C【解析】∵ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\f(π,2)，且θ＝eq\f(π,2)，∴M的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(π,2))).3、将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为()A．(π，0) B．(π，2π)C．(－π，0) D．(－2π，0)【答案】A【解析】x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)．故选A。4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是()A．关于极轴所在直线对称B．关于极点对称C．关于过极点垂直于极轴的直线对称D．两点重合【答案】A【解析】因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．【答案】B6、在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－eq\r(3))．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(4π,3)))【答案】A【解析】极径ρ＝eq\r(12＋－\r(3)2)＝2，极角θ满足tanθ＝eq\f(－\r(3),1)＝－eq\r(3)，∵点(1，－eq\r(3))在第四象限，∴θ＝－eq\f(π,3).故选A。填空题（共4小题，每题5分，共20分）8、平面直角坐标系中，若点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7π,2)))经过伸缩变换eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝\f(1,3)y))后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于________．【答案】3【解析】∵点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7π,2)))经过伸缩变换eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝\f(1,3)y))后的点为Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(7π,6)))，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于6eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(7π,6)))＝3.9．已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P的极坐标为________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(5π,4)))【解析】∵点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，∴x＝－2，且y＝－2，∴ρ＝eq\r(x2＋y2)＝2eq\r(2)，又tanθ＝eq\f(y,x)＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝eq\f(5π,4).因此点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(5π,4))).10、已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(π,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4π,3)))【解析】如图所示，|OM|＝3，∠xOM＝eq\f(π,3)，在直线OM上取点P、Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝eq\f(π,3)，∠xOQ＝eq\f(4π,3)，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11、(1)已知点的极坐标分别为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，π))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(π,2)))，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A(3，eq\r(3))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(5),3)))，C(－2，－2eq\r(3))，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．【答案】（1）Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，－\f(3\r(2),2)))，B(－1，eq\r(3))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，D(0，－4)．(2)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,6)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)，\f(3π,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(4π,3))).【解析】(1)根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，－\f(3\r(2),2)))，B(－1，eq\r(3))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，D(0，－4)．(2)根据ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x)得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,6)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)，\f(3π,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(4π,3))).12．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，B(2，π)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3))).(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．【答案】(1)等边三角形．（2）3eq\r(3).【解析】(1)如图所示，由Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，B(2，π)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3)))，得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，