人教高中数学A版必修二《直线与平面平行》立体几何初步 课件

高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI8.5.2直线与平面平行第八章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理.(数学抽象)2.理解并掌握直线与平面平行的性质定理.(数学抽象)3.会证明直线与平面平行的性质定理.(逻辑推理)4.能够应用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明相关问题.(逻辑推理、直观想象)课前篇自主预习激趣诱思在教室里,一般地,日光灯所在的直线与地面是平行的;将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面,则封面的外边缘所在直线与桌面是平行的;我们还注意到门的两边是平行的,当门绕着一边转动时,另一边始终与门框所在的平面是平行的.这些生活中的实例都给我们留下了直线与平面平行的印象.知识点拨知识点一、直线与平面平行的判定定理

文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行包括线面平行与线面相交两类图形语言符号语言a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α作用证明直线与平面平行名师点析(1)线面平行的判定定理包含三个条件:①平面外一条直线;②平面内一条直线;③两条直线平行.这三个条件缺一不可.(2)定理充分体现了等价转化思想,它将线面平行问题转化为线线平行问题,即线线平行⇒线面平行.微思考如果直线a与平面α内的一条直线b平行,直线a与平面α一定平行吗?提示不一定,直线a可能在平面α内.微练习能保证直线a与平面α平行的条件是(

)A.b⊂α,a∥bB.b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cC.b⊂α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BDD.a⊄α,b⊂α,a∥b答案D知识点二、直线与平面平行的性质定理

文字语言一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行图形语言符号语言a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b作用证明两条直线平行名师点析(1)定理的条件可理解为有三条:①a∥α;②α∩β=b;③a⊂β.这三个条件缺一不可.(2)当a∥α时,过a的任何平面与α的交线都与a平行,即a可以和α内的无数条直线平行,但不是任意的.平面α内凡是不与a平行的直线,都与a异面.微练习(1)如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则(

)A.EF与BC相交B.EF∥BCC.EF与BC异面D.以上均有可能(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.①若直线l∥平面α,直线a⊂平面α,则l∥a.(

)②若直线l∥平面α,则l与平面α内的任意一条直线都不相交.(

)③若直线m∥平面α,n∥平面α,则m∥n.(

)答案(1)B

(2)①×

②√

③×解析

(1)∵平面SBC∩平面ABC=BC,又∵EF∥平面ABC,∴EF∥BC.课堂篇探究学习探究一直线与平面平行的判定例1(2021江苏高一期末改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为棱AB,PD的中点.求证:直线MN∥平面PBC.证明取PC的中点E,连接NE,EB,又因为N为PD的中点,因为底面ABCD为矩形,所以AB∥CD,AB=CD,所以MB∥NE,且MB=NE,则四边形MBEN为平行四边形,所以MN∥EB,又MN⊄平面PBC,EB⊂平面PBC,所以直线MN∥平面PBC.反思感悟证明线面平行的思路及步骤证明直线与平面平行,可以用定义,也可以用判定定理,但说明直线与平面没有公共点不是很容易(当然也可用反证法),所以更多的是用判定定理,用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下:变式训练如图,P是▱ABCD所在平面外一点,E,F分别为AB,PD的中点,求证:AF∥平面PEC.证明设PC的中点为G,连接EG,FG.∵F为PD的中点,∴GF∥CD,且GF=CD.∵AB∥CD,AB=CD,E为AB的中点,∴GF∥AE,GF=AE,∴四边形AEGF为平行四边形,∴EG∥AF.又∵AF⊄平面PEC,EG⊂平面PEC,∴AF∥平面PEC.探究二直线与平面平行性质定理的应用例2如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.分析根据已知AB∥平面MNPQ,CD∥平面MNPQ,根据线面平行的性质定理,找出经过直线的平面与平面MNPQ的交线,转化为线线平行即可得证.证明因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB⊂平面ABC,所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形.反思感悟1.利用线面平行的性质定理解题的步骤

2.运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.延伸探究2若本例中添加条件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积.解由例2知,四边形MNPQ是平行四边形,∵AB⊥CD,∴PQ⊥QM,∴四边形MNPQ是矩形.∴PQ=5,QM=4,∴四边形MNPQ的面积为5×4=20.探究三线面平行性质定理与判定定理的综合应用例3求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行.分析先写出已知求证,再借助线面平行的性质定理与判定定理求解.解已知:a,l是直线,α,β是平面.a∥α,a∥β,且α∩β=l.求证:a∥l.证明:如图,在平面α内任取一点A,且使A∉l.∵a∥α,∴A∉a.故点A和直线a确定一个平面γ,设γ∩α=m.同理,在平面β内任取一点B,且使B∉l,则点B和直线a确定平面δ,设δ∩β=n.∵a∥α,a⊂γ,γ∩α=m,∴a∥m.同理a∥n,则m∥n.又m⊄β,n⊂β,∴m∥β.∵m⊂α,α∩β=l,∴m∥l.又a∥m,∴a∥l.反思感悟利用线面平行的判定定理和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化,转化思想是一种重要数学思想.该转化过程可概括为:延伸探究若本例中条件改为“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l∥m”,试判断直线l,m,n的位置关系,并说明你的理由.解三条直线l,m,n相互平行.证明如下,如图,∵l∥m,m⊂γ,l⊄γ,∴l∥γ.又l⊂α,α∩γ=n,∴l∥n.又l∥m,∴m∥n,即直线l,m,n相互平行.素养形成分类讨论思想在线面平行中的应用典例已知BC∥平面α,D在线段BC上,A∉α,直线AB,AC,AD分别交α于点E,G,F,且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的长.解(1)当BC位于点A与平面α之间时,如图①,AB∩AC=A,由AB,AC确定平面β,所以BC⊂β,α∩β=EG.因为BC∥平面α,①

(2)当点A在BC与平面α之间时,如图②,因为BC∥平面α,②

(3)当点A和BC位于平面α两侧时,如图③.③

方法点睛本题中点A的位置有三种情况:①BC在点A与平面α之间;②点A在BC与平面α之间;③平面α在点A与BC之间.解题时容易只考虑其中一种情形而漏解.当堂检测1.平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,且AD∶DB=AE∶EC,如图所示,则BC与α的位置关系是(

)A.平行 B.相交C.异面 D.BC⊂α答案A解析在△ABC中,∵AD∶DB=AE∶EC,∴BC∥DE.∵BC⊄α,DE⊂α,∴BC∥α.2.如图所示,过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1,则BB1与EE1的位置关系是(

)A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定答案A解析∵BB1∥CC1,BB1⊄平面CDD1C1,CC1⊂平面CDD1C1,∴BB1∥平面CDD1C1.又BB1⊂平面BEE1B1,平面BEE1B1∩平面CDD1C1=EE1,∴BB1∥EE1.3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC平行的平面是

;与BC1平行的平面是

;与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是

.

答案平面A1B1C1D1与平面ADD1A1

平面ADD1A1

DC解析观察题图,根据判定定理可知,与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1;与BC1平行的平面是平面ADD1A1;因为与平面A1B1C1D1平行的棱有AB和DC,与平面A1B1BA平行