人教高中数学A版必修二《余弦定理、正弦定理应用举例》平面向量及其应用课件

高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI余弦定理、正弦定理应用举例第六章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.掌握基线、仰角、俯角、方位角、方向角等测量问题中的常用概念.(数学抽象)2.能够运用正弦定理和余弦定理解决与距离、高度、角度有关的“不能到达”类的实际问题.(数学建模、数学运算)课前篇自主预习激趣诱思解三角形在现实生活中有着广泛的应用,例如在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,并保持一定的航速和航向呢?这就需要用到解三角形中关于角度测量这方面的知识.再如喜马拉雅山,我们怎样测出它的高度呢?这就需要用到解三角形中关于高度测量这方面的知识.由此可见学好解三角形知识,还能在现实生活中发挥“一技之长”.知识点拨知识点一、测量问题中的常用概念1.基线(1)定义:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.(2)性质:为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.2.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角(如图所示).3.视角观察物体的两端,视线张开的夹角叫做视角,如图所示.4.方位角与方向角(1)方位角从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α,如图①所示.(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°,如图②所示.图①

图②

微练习(1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是(

)A.α>β

B.α=βC.α+β=90° D.α+β=180°(2)若P在Q的北偏东37°方向上,则Q在P的(

)A.东偏北53°方向上 B.北偏东37°方向上C.南偏西37°方向上 D.南偏西53°方向上(3)下图中,两个方向对应的方位角分别等于

.

答案(1)B

(2)C

(3)30°,240°解析(1)如图,从A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角,由水平线平行,得α=β.(2)如图所示,Q在P的南偏西37°的方向上.(3)左题图中方向对应的方位角等于30°,右题图中方向对应的方位角等于240°.知识点二、解决实际测量问题的思路和步骤1.基本思路2.一般步骤(1)分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图;(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解;(4)检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.微练习海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C岛间的距离是(

)答案D课堂篇探究学习探究一测量距离问题例1如图,一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走,开始在A处,经观察,在河的对岸有一参照物C,与学生前进方向成30°角,学生前进200m后到达点B,测得该参照物与前进方向成75°角.(1)求点A与参照物C的距离;(2)求河的宽度.分析根据图形,先由已知求出∠ACB,再利用正弦定理求得AC的长度,最后在直角三角形中求出河的宽度.反思感悟三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决与距离有关的问题,若所求的线段在一个三角形中,则直接利用正弦定理、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正弦定理、余弦定理求解.(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正弦定理、余弦定理来解决.变式训练1如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为

m.

答案60解析作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC,所以AC=AB=120m.探究二测量高度问题例2如图,在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30m到点C处,测得顶端A的仰角为2θ,再继续前进10m至点D处,测得仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE的高度.解∵∠ABC=θ,∠ACD=2θ,∴∠BAC=θ,∴AC=BC=30m,在△ADE中,AE=ADsin60°=15(m).即所求的角θ为15°,建筑物AE的高度为15m.反思感悟测量高度问题的求解策略(1)在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或余弦定理,构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边,如图所示.(2)解决测量高度问题的一般步骤是:变式训练2如图,在山顶铁塔上B处测得一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β.若铁塔高为m米,则山高CD为

米.

探究三测量角度问题角度1

实际测量中的角度问题例3地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向,且距离他40m,之后该测绘人员沿正北方向行走了40m,达到点B.试确定此时目标参照物P相对于他的方位角以及他与目标参照物P的距离.分析画出图形,在三角形中,利用余弦定理求出内角的大小以及边的长度,从而确定相应的方位角以及距离.因为AB=40m,所以AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠PBA=120°.因此测绘人员到达点B时,目标参照物P相对于该测绘人员的方位角为180°-120°=60°,且目标参照物P与他的距离为40m.变式训练3如图所示,从A到B,方位角是50°,距离是470m;从B到C,方位角是80°,距离是860m;从C到D,方位角是150°,距离是640m,试计算从A到D的方位角和距离.解如图,连接AC,在△ABC中,∠ABC=50°+(180°-80°)=150°.∴∠CAD≈24.3°.∴从A到D的方位角约为50°+19.5°+24.3°=93.8°.即从A到D的方位角约为93.8°,距离约为1531m.角度2

航海与追及中的角度问题例4某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10nmile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.分析本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间t,找出等量关系,再解三角形.解如图所示,根据题意可知AC=10,∠ACB=120°.设舰艇靠近渔轮所需的时间为th,并在B处与渔轮相遇,则AB=21t,BC=9t.在△ABC中,由余弦定理,反思感悟测量角度问题画示意图的基本步骤

延伸探究本题中其他条件不变,将“渔轮向小岛靠拢的速度”改为“10nmile/h”,将“我海军舰艇的速度”改为“10nmile/h”,求舰艇的航向和靠近渔轮所需要的时间.素养形成函数与方程思想在解三角形应用举例中的应用

典例如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?分析(1)利用正弦定理求出AB的长.(2)先设出乙出发后所用的时间t,再建立时间t与甲、乙间距离d的函数关系式,利用关系式求最值.方法点睛与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想,就是在解决问题时,用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系,列出方程(组),从而求出未知数及各量的值,使问题获得解决,所设的未知数沟通了变量之间的联系.方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件,它架设了由已知探索未知的桥梁.函数与方程思想在数学中有着广泛的应用,本章在利用正弦定理、余弦定理求角或边长时,往往渗透着函数与方程思想.当堂检测1.如图,从山顶A望地面上C,D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD=100m,点C位于BD上,则山高AB等于(

)答案D解析在△ACD中,CD=100m,∠ADC=30°,∠DAC=∠ACB-∠ADC=45°-30°=15°,2.从某电视塔的正东方向的A处,测得塔顶仰角是60°,从电视塔的西偏南30°的B处,测得塔顶仰角为45°,A,B间距离为35m,则此电视塔的高度是(

)答案A解析设此电视塔的高度是xm,如图所示,答案C所以∠BAC=45°,所以下次航行直接从A出发到C,此船的航向为北偏东65°,故选C.4.在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为

a的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这两支精锐部队之间的距离.解∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,又∠DCA=60°,5.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12nmile,渔船乙以10nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2h在C处追上.(1)求渔船甲的速