人教高中数学A版必修二《复数的加、减运算及其几何意义》复数课件

高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI7.2.1复数的加、减运算及其几何意义第七章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.掌握复数的加法、减法运算法则.(数学抽象)2.了解复数加法、减法运算的几何意义.(直观想象)3.能够利用复数的加法、减法运算法则及几何意义解决问题.(逻辑推理、数学运算)课前篇自主预习激趣诱思任何两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,即a,b,c∈R时,必定有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).那么,复数中的加法应该如何规定,才能使得类似的交换律与结合律都成立呢?知识点拨知识点一、复数的加、减运算1.复数加法、减法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则有:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.2.复数加法的运算律设z1,z2,z3∈C,则有:交换律:z1+z2=z2+z1;结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).微练习(1)若z1=-2+4i,z2=3-2i,则z1+z2=

.

(2)(5-5i)-3i=

.

答案(1)1+2i

(2)5-8i解析(1)z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i.(2)(5-5i)-3i=5-8i.知识点二、复数加法的几何意义

微练习

答案0解析(5-4i)+(-5+4i)=(5-5)+(-4+4)i=0.知识点三、复数减法的几何意义

微练习

答案-1-7i课堂篇探究学习探究一复数的加、减运算(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z.分析(1)可根据复数的加法、减法的运算法则计算.(2)可设z=x+yi(x,y∈R),根据复数相等计算,也可把等式看作z的方程,通过移项求解.(1)答案1+i(2)解(方法一)设z=x+yi(x,y∈R),因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.(方法二)因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.反思感悟复数加、减运算的方法技巧(1)可把复数运算类比实数运算,若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从左到右依次进行.(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化运算,注意正负号法则与实数相同,不能弄错.变式训练1(1)计算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=

.

(2)若(1-3i)+z=6+2i,则复数z=

.

答案(1)-2-4i

(2)5+5i解析(1)(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.探究二复数加、减运算的几何意义反思感悟用复数加、减运算的几何意义解题的策略向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量

对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).变式训练2如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4i.求:探究三复数模的最值问题例3(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(

)(1)答案A解析设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.画图可知(图略),当Z位于Z1位置时,|ZZ3|最小.因为|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1.故选A.要点笔记复数模的问题的求解策略|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.延伸探究(1)若本例(2)条件改为“设复数z满足|z-3-4i|=1”,求|z|的最大值.(2)若本例(2)条件改为已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.解(1)因为|z-3-4i|=1,所以复数z在复平面内所对应的点在以C(3,4)为圆心,半径为1的圆上,由几何性质得|z|的最大值是

+1=6.(2)因为|z|=1且z∈C,作图如图,所以|z-2-2i|的几何意义为以O为圆心的单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2-1.素养形成数形结合思想在复数中的应用典例复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD,求||.方法点睛(1)解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形,然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解.(2)复数的几何意义包括三个方面:复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数加、减运算的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法,即通过几何图形来研究代数问题.变式训练若|z1|=|z2|=1,且|z1+z2|=,求|z1-z2|.解设复数z1,z2在复平面内对应的点为z1,z2,O为原点,则|z1+z2|和|z1-z2|是以OZ1和OZ2为两邻边的平行四边形的两条对角线的长.如图所示,由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,知四边形为正方形,故另一条对角线的长|z1-z2|=.当堂检测1.(2021甘肃靖远模拟)若z=2+3i,则|z+i|=(

)答案C2.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是(

)A.-2 B.4 C.3 D.-4答案B解析z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虚部是4.A.-1-i B.7-3i C.-7+i D.1+I答案C4.若复数