山东辽宁省百师联盟2025届高三期中考试试题及答案数学

2024—2025学年高三期中考试1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={1,2,3,4,5,6},B={x∈N|2x∈A},则CAA.{1,3,6}B.{3,4,6}C.{1A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.设向量a=(2,2),b=(一2,6),c=(4,2),且(a—λb)⊥c,则λ=A.3B.24.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为6π,则该圆锥的内切球体积为的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平秒个单位长度得到函数g(x)的图象.若对任意的x∈R都有g(x)+g(-x)=0,则图中a的值为6.已知函数若方程f(x)-ax=0恰有2个不相等的实数解，则a的取值范围是A.(一∞,0)B.[-1,0]C.(-1,4)D.(0,+∞)A.2B.-2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知方程x²+2x+4=0的两个复数根为z₁,≈2,则下列说法正确的有C.z₁z2=4C.3a∈R,使f(x)在R上是减函数D.Va∈R,曲线y=f(x)的对称中心的横坐标为定值11.已知曲线C上的动点P(x,y)到点F(1,0)的距离与其到直线x=-1的距离相等，则A.曲线C的轨迹方程为y²=4xB.若T(4,2),M为曲线C上的动点，则|MT|+|MF|的最小值为5C.过点N(-1,0),恰有2条直线与曲线C有且只有一个公共点D.圆x²+y²=5与曲线C交于A,B两点，与直线x=-1交于E,G两点，则A,B,E,G四点围成的四边形的周长为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。13.曲线y=2x—1nx在点(1,2)处的切线与抛物线y=ax²—ax+2相切，则a=·是.(第一空2分，第二空3分)第2页(共4页)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(1)求角A;(2)若a=2,求△ABC周长的取值范围.16.(15分)已知函数f(x)=xlnx-ax²+1.(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2.(2)若FC与平面ABCD所成的角是,求二面角F-AC一D的余弦值.第4页(共4页)18.(17分)如图，已知椭圆上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为2(√3+√2)和2(√3—√2),斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点P(3,1)的M,N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若|MN|=√10,求直线l的方程；(3)当直线PM,PN均不与x轴垂直时，设直线PM的斜率为k₁,直线PN的斜率为k₂,求n-2),则称{an}为M数列.①1,2,4,3;②4,2,8,1.{an}是等差数列的充分必要条件是数列{bm}是常数列.(3)已知M数列{an}是m(m∈N"且m≥3)个连续正整数1,2,…,m的一个排列，若,求m的所有取值.2024—1.D【解析】因为A={1,2,3,4,5,6},B={x∈N2x∈A},所以B={1,2,3},CAB={4,5,6}.3.A【解析】因为a=(2,2),b=(-2,6),c=(4,2),所以a-λb=(2+2λ,2—6λ);因为(a—λb)⊥c=8(1+λ)+4(1-3λ)=12—4λ=0,解得λ=3.故选A.4.B【解析】设圆锥的底面半径为r,则π·r·2r=6π,所以r=√3.设圆锥的内切球半径为R,又圆锥的轴截面为等边三角形，所以,则内切球的体积.故选B.5.A【解析】由f(x)max=2,得A=2.f(x)由题意知g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，得函数f(x)的图象过点.设f(x)的最小正周期为6.C【解析】当x≤0时，f(x)=x²+4x,由二次函数的性质可知f(x)在(-∞,-2)上单调递减，在(-2,0)上单f(x)在(0,1)上单调递减.令h(x)=In(1-x),则h'(0)=-1.作出y=f(x)的大致图象，如图所示.方程f(x)-ax=0恰有2个不相等的实数解，也就是f(x)的图象与直线y=ax恰有两个公共点.由图易知所求a的取值范围是(-1,4).故选C.7.C【解析】因为函数f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)=f(一x+2),即函数f(x)的图象关于直线x=2对称；因为函数f(2x+1)为奇函数，所以f(2x+1)+f(-2x+1)=0,即函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称.又所以8.C【解析】因为x²+y²—xy=1,将点(一x,-y)的坐标代入方程，原方程保持不变，所以椭圆关于原点对称；将点(y,x)和(一y,—x)的坐标分别代入方程，原方程保持不变，所以椭圆关于直线y=x和y=-x对称.数学答案第1页(共8页)数学答案第2页(共8页)设直线y=-x与椭圆交于C,D两点，则所以.由椭圆性质可知，2a=|AB|=,所以a=√2,9.ACD【解析】方程x²+2x+4=0的两个复数根为z1,z₂,由一元二次方程根与系数的关系得z₁+z₂=-2,B选项，x²+2x+4=0的两个复数根若z₁=-1+√3i,z₂=-1—√3i,则z²=(-1+√3i)²=1-2√3i+3i²=-2-2√3i≠z₂,B错误；对于B,f'(x)=3x²—2x+a,当时，△=4-12a≤0而不等式3x²—2x+a≤0的解集不可能得曲线y=f(x)的对称中心的坐标为,D正确.故选BD.11.ABD【解析】对于A,依题意，曲线C是以F(1,0)为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，方程为y²=4x,A对于B,如图，过点T作直线x=-1的垂线，交直线x=-1于E,交抛物线于A.令点M到直线x=-1的距离为d,则M|F|=d,|MTI+|MF|=|MTI+d≥TE|,当且仅当点M与点A重合时取等号，因此|MTI+数学答案第3页(共8页)|MF|的最小值为|TE|=5,B正确；对于C,显然过点N(一1,0)与曲线C有且只有一个公共点的直线的斜率存在，设其方程为y=k(x+1),消去x得ky²-4y+4k=0,当k=0时，直线y=0与抛物线仅有一个公共点，当k≠0时，由△=16—16k²=0,解得k=±1,显然直线y=x+1,y=-x-1均与抛物线仅有一个公共点，因此过点N(-1,0)与曲线C有且只有一个公共点的直线有3条，C错误；对于D,直线x=-1交圆x²+y²=5于点E(一1,2),G(一1,-2),由得或从而A(1,2),B(1,-2),所以四边形ABGE是矩形，其周长为2×(2+4)=12,D正确.故选ABD.12.8【解析】设等差数列{an}的公差为d,所以曲线y=2x-Inx在点(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,即y=x+1.所15.解：(1)由及正弦定理得,……………1分数学答案第4页(共8页)因为A∈(0,π),所以……………………5分又a=2,所以b²+c²=bc+4.……………………7分所以bc≤4,当且仅当b=c=2时，等号成立.……………………9分又(b+c)²=b²+c²+2bc=3bc+4≤1即0<b+c≤4,又b+c>a=2,所以2<b+c≤4,……………11分所以4<a+b+c≤6,即△ABC周长的取值范围是(4,6).……………13分因为f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以f'(x)=lnx+1—2ax≤0在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立.……………2分构造函数令g'(x)=0,解得x=1.所以g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,十∞)上单调递减，所以,即a的取值范围为……………………6分(2)证明：方法一：由题意得f(x)=xlnx-ax²+1的定义域为(0,+∞),构造函数,即证h(x)mn>0.……………………8分因为函数T(x)图象的对称轴为直线,所以T(x)在(0,十∞)上单调递增，且T(0)=-1<0,T(1)=-a>0,所以存在xo∈(0,1),使得T(xo)=-ax?+xo-1=0,数学答案第5页(共8页)又因为—ax?+x。-1=0,,所以(0<x₀<1)..……13分即h(x)min>0,所以f(x)>015因为一x²<0,所以φ(a)关于a单调递减.………………………8分令m(x)=xlnx+1,则m'(x)=1nx+1,令m'(x)=0,解得x0十单调递增…………13分又AE//CD且所以四边形AEHF为平行四边形，则AF//EH4分数学答案第6页(共8页)则FM//PA且,又PA=2,所以FM=1.因为PA⊥平面ABCD,所以FM⊥平面ABCD,故FC与平面ABCD所成的角为∠FCM,所以.…………………8分又由菱形性质可得AG=CM,所以AG²+BG²=AB²,所以AG⊥BC.所以AG⊥AD,所以AG,AD,AP两两垂直.…………………10分以点A为坐标原点，直线AG,AD,AP分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直由PA⊥平面ABCD得平面ACD的一个法向量为n=(0,0,1).设平面FAC的一个法向量为m=(x,y,z),所以m=(√3,-3,3)为平面FAC的一个法向量.……………14分设二面角F-AC-D的平面角为θ,由图可得θ为锐角，所以二面角F-AC一D的余弦值为……………………15分椭圆的几何性质，………………………2分解得则b=√a²—c²=2,………………4分故椭圆C的方程…………………5分数学答案第7页(共8页)当m=2时，直线l的方程为此时直线l过点P(3,1);所以直线l的方程为………