广东省广州市增城区2025届高三下学期5月模拟测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市增城区2025届高三下学期5月模拟测试数学试题一、单选题1．已知1+iz=2，则z=（A．1+i B．1-i C．-1+i【答案】B【解析】因为1+iz=2，所以故选：B2．满足等式0,1∪X=x∈Rx3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】方程x3=x的实数根有x=0,x=1,x=-1，解集构成的集合为即0,1∪X=0,1,-1，则符合该等式的集合X为X=-1，X=-1,1，故这样的集合X共有4个.故选：D.3．已知a,b是两个单位向量，若向量a在向量b上的投影向量为12b，则向量a与向量A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】因为向量a在向量b上的投影向量为12b，所以acos所以cosa,b所以a,所以a⋅又a=1所以cosa,a所以向量a与向量a-b的夹角为π3故选：B.4．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的表面积为（A．8π B．12π C．16π【答案】C【解析】设圆锥的母线长为l=6，底面半径为r，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2πl3=2π故选：C5．生物丰富度指数d=S-1lnN是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2A．3N2=2N1 B．2N【答案】D【解析】由已知S-1lnN1=2，S-1lnN2=3故选：D．6．设甲：“函数fx=2sinωx在-π3,π4A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“函数fx=2sinωx在-π由-π2≤ωx≤π2得-所以，甲是乙的充分不必要条件.故选：A7．若函数fx=x-1exA．-1,0 B．-1,0 C．-1,0 D．-1,0【答案】A【解析】当x<1时，fx当x≥1时，fx若a>0，fx=ax+1在1,+∞若a<0，fx=ax+1在要想函数有最大值，则a+1≥0，解得-1≤a<0；若a=0，ax+1=1，函数有最大值1，符合题意；故实数a的取值范围为-1,0.故选：A.8．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点为F1,F2，过点FA．223 B．63 C．33【答案】C【解析】设∠F1MF2的平分线交则cos2α=2所以sinα=而sin设NF1=2m，则NM所以m=a在△F1M则4c2=所以椭圆离心率e=3故选：C．二、多选题9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：x12345y0.50.811.21.5假设经验回归方程为y=bx+0.28（参考公式：相关系数为r=nA．bB．当x=4时，对应的残差为0.04C．样本数据y的第40百分位数为0.8D．去掉点3,1后，x与y的样本相关系数r不变【答案】AD【解析】A项，x=所以样本点的中心坐标为3,1，将它代入y=bx+0.28得，3b+0.28=1B项，当x=4时，y的预测值为y=0.24×4+0.28=1.24，对应的残差为1.2-1.24=-0.04，故B错误；C项，由5×40%=2为整数，则样本数据y的第40百分位数为0.8+12D项，去掉样本点3,1后，新样本数据的平均值没有变化，即x=3,不妨设3,1为第5组数据，即x5=3,y5则由相关系数公式r=n即新样本数据x与y的相关系数与原数据相关系数相等，即x与y的样本相关系数r不会改变，故D正确.故选：AD.10．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，GA．若直线BD的斜率为1，则BD=8 B．以BD为直径的圆与yC．EF⊥GF D．B，O，G三点共线【答案】ACD【解析】抛物线C:y2=4x的焦点F1,0，准线l:x=-1，点对于A，直线BD:y=x-1，由y=x-1y消去y得x2-6x+1=0，所以x1+x对于B，BD=x1+x弦BD中点到准线的距离为12BD，因此以BF为直径的圆与准线相切，故对于C，由BF=BE,BE∥AF，得∠AFE=∠BEF=∠BFE则∠EFG=∠AFE+∠AFG=12∠AFB+∠AFD对于D，设直线BD:x=ty+1，联立x=ty+1y2=4x，得y直线OB:y=y1x1x，直线OB联立y=y1x又y2=-4y1，所以yH=y2，即H与G故选：ACD11．已知函数fx及其导函数f'x的定义域均为R，记gx=f'A．g0=1 B．y=fC．fx+f2-x=0 D．【答案】ABD【解析】因为fx所以f'(x)+f令x=0，得g(0)=1，故A正确；因为fx当x≠0时，f(x)x所以y=f(x)x的图象关于点0,1对称，故对于C，假设f(x)+f(2-x)=0成立，求导得f'即g(x)-g(2-x)=0，又g(x)+g(2-x)=0，所以g(x)=0，所以g(0)=0与g(0)=1矛盾，故C错误；对于D，因为g(x)+g(-x)=2，g(x)+g(2-x)=0，所以g(2-x)-g(-x)=-2，g(0)=1，g1=0，所以有g(n+2)-g(n)=-2，所以数列g(n)的奇数项是以0为首项，-2为公差的等差数列，数列g(n)的偶数项是以-1为首项，-2为公差的等差数列，又g2-g1所以数列g(n)是以0为首项，-1为公差的等差数列，所以g(n)=1-n，所以n∑k=1g故选：ABD．三、填空题12．已知等差数列an的前n项和为Sn,a【答案】8【解析】设公差为d，则7a故a1又a1=-1，故S4故答案为：8.13．某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的情况有种（用数字作答）．【答案】42【解析】6名学生随机分配到3个不同的办公室，有2,2,2和3,2,1两种情况，当按照2,2,2分配时，甲乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室，先选一个办公室给甲乙两人，有C3将剩余的4人平均分配到两个办公室，有C4此时，共有C3当按照3,2,1分配时，先选一个办公室给甲乙两人，有C3将剩余的4人按照1,3分配到两个办公室，有C4此时，共有C3综上，共有18+24=42种情况.故答案为：4214．三棱锥P-ABC的底面是以AC为底边的等腰直角三角形，且AC=22，各侧棱长均为3，点E为棱PA的中点，点Q是线段CE上的动点，则E到平面ABC的距离为；设Q到平面PBC的距离为d1,Q到直线AB的距离为d2，则【答案】7【解析】取AC中点O，连接PO,BO，因为PA=PC=3，AC=22，所以PO⊥AC，且PO=因为△ABC是等腰直角三角形，所以BO⊥AC，且BO=2又PB=3，满足PB2=P因为AC∩BO=O，所以PO⊥平面ABC，因为点E为棱PA的中点，所以E到平面ABC的距离为12如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设CQ=λ则C0,则PB=设CQ=λCE0≤λ≤1则Q0,-32所以cos∠QAB=所以sin∠QAB=所以d2设平面PBC的法向量为n=则n⋅PB=0n⋅PC=0则d1所以d1所以f'λ=4λ-34又f″λ=74所以当λ∈0,25时，f'λ<0，fλ所以fλmin=f25故答案为：72；14四、解答题15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b（1）求角A的大小；（2）已知a=7，D是BC边的中点，且AD⊥AC，求AD的长．解：（1）由正弦定理得：3sinB在△ABC内，sinB>0,B+C=π-A，则有所以3sinπ2因为cosA2≠0，所以因为A2∈0,所以A=2（2）因为∠BAC=2π3,AD⊥AC因D是BC边的中点，则S△ACD即12b⋅AD=1在△ABC中，a2所以49=b所以b=7．所以c=2在△ACD，AD=CD16．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面PBC，平面PAB⊥平面ABC．（1）证明：过点P作PO⊥AB，垂足为O，因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB,PO⊂平面PAB，所以PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PO⊥BC，因为PA⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC，又PA∩PO=P,PA,PO⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB．（2）解：由BC⊥平面PAB，则PC与平面PAB所成角等于∠CPB，tan∠CPB=BCBP因为PA⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以PA⊥PB，因为AB=22+62∴AC=102+法一：如图，以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，则P2105设平面APC的一个法向量为m=x,y,z，则令x=3，则y=5,z=易知平面ABC的一个法向量为n=cosm设平面PAC与平面ABC夹角为θ，则sinθ=1-所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值为45法二：过点O作OD⊥AC，垂足为D，连接PD，因为OD⊥AC,PO⊥AC,PO∩OD=O，所以AC⊥平面POD，由PD⊂平面POD，所以AC⊥PD，所以二面角P-AC-B的平面角为∠PDO，因为PA⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，则PA⊥PC，所以PC=4因为PO⊥平面ABC，在直角三角形POD中，sin∠PDO=所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值为4517．已知函数fx=alnx-1x，直线（1）讨论fx（2）若存在直线l经过点0,0，求实数a的取值范围．解：（1）函数定义域为0,+∞，f当a≥0时，f'x=ax+1x当a<0时，f'x=由f'x>0，解得0<x<-1a则fx在0,-1a综上，当a<0时，fx在0,-1a当a≥0时，fx在0,+（2）因为fx=aln因为f'x=所以直线l的方程为y-a因为l经过点0,0，所以-alnt-显然a≠0，所以2a设gt=tln当0<t<1时，g't<0,g当t>1时，g't>0,g所以gt在t=1时取得最小值，g(t)≥g1=-1即2+aa≥0，解得a≤-2或所以a的取值范围是-∞18．某企业的设备控制系统由2k-1k∈N*个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p0<p<1，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为pk（例如：p2表示控制系统由（1）若k=2，且每个元件正常工作的概率p=2①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．（2）请用pk表示p解：（1）①因为k=2，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3；因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为p=2所以X∼B3,所以PX=0PPX=2PX=3所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为X0123P1248控制系统中正常工作的元件个数X的数学期望为EX②设“设备正常运行”为事件A,“所有元件都正常工作”为事件B,则在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率为P(B|A)，P(B|A)=（2）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则设备正常运行有三种情况，第一类：原系统中至少有k+1个元件正常工作，其概率为p1第二类：原系统中恰好有k个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为p2第三类：原系统中有k-1个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为p3所以p=p即pk+1则pk+1所以，当p>12时，当p≤12时，p19．已知双曲线C:x2a2-y2b2（1）求双曲线C的方程；（2）过点P0(3,0)作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线C于点A1、B1和点C1、D1，M1、N1分别为弦A1B1和C1D1的中点，直线M1N1与x轴交于点P1(t1,0)；过点P1(t1,0)作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线C于点（ⅰ）求数列tn（ⅱ）Qn、Rn分别在双曲线的左支和右支上，且直线QnRn经过点Pn，当n≥