广东省清远市2024-2025学年高二上学期期中联合学业质量监测考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省清远市2024-2025学年高二上学期期中联合学业质量监测考试数学试题一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】因为每枚硬币都有正、反两种结果，所以将1枚硬币抛2次，一共可能出现4种结果：正正，正反，反正，反反，其中恰好出现1次正面的结果有2种结果：正反，反正；所以恰好出现1次正面的概率为.故选：A.2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设直线的倾斜角为，因为直线，可得斜率，即又因为，所以.故选：C.3.已知空间向量，若共面，则（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因为若共面，则，即，故，解得故选:B.4.已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，设直线的方程为且.因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离.由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）.所以直线的方程为.故选：D.5.已知过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线必过定点（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圆的方程可化为，所以圆心.则以为直径的圆的圆心为，设以为直径的圆的半径为，则.所以以为直径的圆的方程为.过点作圆的切点分别为，,两圆的交点为,,即两圆的公共弦为.将两圆的方程相减可得直线的方程为，即.令得.所以直线必过定点.故选：A.6.若直线（，）平分圆，则的最小值是（）A.2 B.5 C. D.【答案】C【解析】直线平分圆，则直线过圆心，即，所以(当且仅当时，取等号)故选：C.7.在平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，有，则（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】令，设，由，等号两边分别平方得：，即，整理得，解得（或舍去），即.故选：A.8.已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（）A.圆和圆关于直线对称B.圆和圆的公共弦长为C.的取值范围为D.若为直线上的动点，则的最小值为【答案】D【解析】对于A，和圆，圆心和半径分别是，则两圆心中点为，若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，但两圆心中点不在直线上，故A错误；对于B，到直线的距离，故公共弦长为，B错误；对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小，当四点共线时，的值最大为，故的取值范围为，C错误；对于D，如图，设关于直线对称点为，则解得即关于直线对称点为，连接交直线于点，此时最小，，即的最小值为，D正确.故选：D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.甲、乙两人各投篮一次，若两人投中的概率都是0.6，且两人是否投中彼此互不影响，则下列判断正确的是（）A.两人都投中的概率是0.36B.恰有一人投中的概率是0.48C.至少有一人投中的概率是0.86D.至多有一人投中的概率是0.64【答案】ABD【解析】设事件为“甲投中”，设事件为“乙投中”，则事件A、B相互独立都投中的概率为，故A正确；恰好有一人投中的概率为，故B正确；至少有一人投中，其对立事件为两人都未投中，故至少一人投中的概率为，故C错误；至多有一人投中的对立事件为两人都投中，故至多有一人投中的概率为，故D正确.故选:ABD.10.已知圆，则下列说法正确的是（）A.当时，圆与圆相离B.当时，是圆与圆的一条公切线C.当时，圆与圆有一条公切线是D.当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为【答案】ACD【解析】由可知圆心为，半径为1，由可知圆心为，半径为，两圆圆心距为，对于A，当时，，圆与圆相离，故A正确；对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为3，即与圆不相切，所以不是圆与圆的一条公切线，故B错误；对于C，当时，，圆与圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线的方程为.②另一条公切线与公切线关于过两圆圆心的直线对称.易知过两圆圆心的直线的方程为，由，得，由对称性可知公切线过点，设公切线的方程为，则点O0,0到的距离为1，所以，解得，所以公切线的方程为，即.③还有一条公切线与直线垂直，设公切线的方程为，易知，则点O0,0到的距离为1，所以，解得或（舍去），所以公切线的方程为，即.综上，所求直线方程为或或，故C正确；对于D，当时，，此时两圆相交，圆的一般方程为，与圆的方程相减可得，故D正确.故选：ACD.11.如图，边长为1的正方形所在平面与正方形在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（）A.，使B.线段存在最小值，最小值为C.直线与平面所成的角恒为45°D.，都存在过且与平面平行的平面【答案】AD【解析】因为四边形正方形，故，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故.设，则，其中，由题设可得，，对于A，当即时，，故A正确；对于B，，故，当且仅当即时等号成立，故，故B错误；对于C，由B的分析可得，而平面的法向量为且，故，此值不是常数，故直线与平面所成的角不恒为定值，故C错误；对于D，由B的分析可得，故为共面向量，而平面，故平面，故D正确；故选：AD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点，存在三个不全为0的实数a，b，c使，那么的值为________________.【答案】0【解析】因三点共线，则存在唯一实数使，显然且，否则点重合或点重合，则，整理得，存在三个不为0的实数，使，此时.13.已知圆，直线.若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为______.【答案】【解析】由题可知，圆的圆心为(0，0)，半径为2，故要使圆上恰有3个点到l的距离为1，则圆心到直线l的距离为1，即．14.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】当时，曲线为（），表示以为圆心，1为半径的圆的右半圆；当时，曲线为（），表示以为圆心，1为半径的圆的左半圆；所以曲线的图像如图所示：当直线位于与之间或与之间时，直线与曲线有两个不同的交点，当直线位于时，直线与圆相切，则，解得；当直线位于时，；直线位于与之间时，.同理可得，直线位于与之间时，.综上，实数的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线垂直；②直线的一个方向向量为；③与直线平行．已知直线l过点，_________________．（1）求直线l的一般方程；（2）若直线l与圆相交于P，Q，求弦长．解：（1）选①：因为直线的斜率为，因为直线与直线l垂直，所以直线l的斜率为，依题意，直线l的方程为即.选②：因为直线的一个方向向量为所以直线l的向量为，依题意，直线l的方程为即.选③：因为的斜率为，又因为直线l与平行，所以直线l的斜率为，依题意，直线l的方程为即.（2）圆的圆心到直线的距离为,所以.16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，底面ABCD，点为棱PC的中点，.（1）证明:平面PAD;（2）求点E到直线CD的距离;（3）求直线BE与平面PDC所成角的余弦值.（1）证明：取PD的中点，连接AG，EG，如图.和分别为PD和PC的中点，，且，又底面ABCD是直角梯形，，且.即四边形ABEG为平行四边形，，平面平面PAD，平面PAD.（2）解：因为，所以，因为底面ABCD，所以，又AD，PA为平面PAD内两条相交直线，所以平面PAD，又PD在平面PAD内，所以，因为为PC的中点，所以点到直线CD的距离为，因为，所以，所以到直线CD的距离为.（3）解：由（1）知，因为为PD的中点，所以由(2)知平面PAD，平面PAD，所以，PD，CD为平面PCD内两条相交直线，所以平面，所以平面所以BE与平面PCD所成角为90°，其余弦值为0.17.甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题，为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙，第二轮回答顺序为乙、丙、甲，第三轮回答顺序为丙、甲、乙，第四轮回答顺序为甲、乙、丙，…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出.已知每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立.（1）求一轮中三人全部回答正确的概率；（2）记为甲在第轮胜出的概率，为乙在第轮胜出的概率，求与，并比较与的大小.解：（1）设“一轮中三人全部回答正确”为事件M，则.（2）甲在第一轮胜出的概率为.甲在第二轮胜出，说明第一轮、第二轮中三人都回答正确，第三轮中丙回答错误，故甲在第二轮胜出的概率为.易知所以当时，;当时，;当时，.同理可得，当时，；当时，；当时，.所以当时，；当时，；当时，.18.如图，直三棱柱的体积为的面积为.（1）求到平面的距离；（2）设为中点，，平面平面.（i）证明：平面;（ii）求二面角的正弦值.（1）解：在直三棱柱中，设点到平面距离为，则，解得，所以点到平面的距离为.（2）（i）证明：取的中点，连接AE，如图，因为，所以，又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面平面ABC，可得，又平面且相交，所以平面.（ii）解：由（i）可知:两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由（1）得，所以，所以，则，所以的中点，则，设平面ABD的一个法向量，则，令，可得，设平面BDC的一个法向量，则，令，可得，则，所以二面角的正弦值为.19.已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于.（1）求实数的取值范围;（2）若，用含的式子表示四边形的面积;（3）当时，若直线AD和直线交于点，证