河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，，则向量在向量上的投影向量是.故选：C.2.下列命题正确的是（）A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B.所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥C.所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱D.棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点【答案】D【解析】对于A，正六棱柱中两个互相平行的平面可能是侧面，则A错误；对于B，正八面体的所有面都是三角形，则B错误；对于C，底面是菱形的直四棱柱的所有侧面都是全等的矩形，则C错误；对于D，由棱台的定义可知棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则D正确.故选：D.3.如图，在平面直角坐标系中的斜二测直观图是，其中，，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】由斜二测画法可知，图形中平行于轴、轴的线段，在直观图中分别平行于轴和轴，平行于轴的线段在直观图中保持不变，平行于轴的线段在直观图中变为原来的一半.如图为在平面直角坐标系中的平面图，则，，则.故选：B.4.已知某圆柱的轴截面是边长为的正方形，则该圆柱的侧面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知该圆柱的底面半径，高，则该圆柱的侧面积是.故选：B.5.在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取棱的中点，连接，，又是棱的中点，所以，因为平面，所以平面，则是直线与平面所成的角.设，则，，.在中，由余弦定理可得，则，所以.故选：A6.已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A. B.4 C. D.6【答案】C【解析】由题意可知圆锥的底面半径，母线，侧面展开所得扇形的圆心角，则，因为是的中点，所以，则这只蚂蚁爬行的最短距离，故选：C．7.在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取棱的中点，连接，，因为是的中点，所以，⊥，则或其补角是直线与所成的角，由题中数据可知，，，由勾股定理得，在中，由余弦定理可得，则，故.故选：A8.在中，是线段的中点，是线段的中点，延长，交线段于点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为是线段的中点，所以，因为是线段的中点，所以，因为，，三点共线，所以，因为，，三点共线，所以，则解得，故.故选：D9.如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】原正方体如图所示，由正方体的性质可知相交，，则，则四边形为平行四边形，则；因为等边三角形，则，又空间内两条直线的夹角范围为，则直线与所成的角为；因且，则，则①③错误，②④正确.故选：B.10.某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米的正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，则这个球形饰品的表面积的最大值是（）A.平方厘米 B.平方厘米C.平方厘米 D.平方厘米【答案】B【解析】如图，在正三棱锥中底面正三角形中，，，所以，在中，，，所以，所以该木材的表面积平方厘米，，所以，所以体积立方厘米.要使这个球形饰品的表面积最大，则这个球形饰品是该木材的内切球.设内切球的半径为厘米，则，所以.设这个球形饰品的半径为厘米，则，故这个球形饰品的表面积平方厘米.故选：B11.如图，在同一个平面内，向量，，满足，向量，的夹角为，向量，的夹角为，且.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，过点作，交于点，作，交于点，则.因为，所以，，，，.因为，且，所以由正弦定理得，得，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.12.若平面向量，不共线，则下列各组向量可以作为平面向量的一组基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ACD【解析】因为向量，不共线，若向量，共线，则，即，无解，故向量，不共线，若向量，共线，则，即，无解，故向量，不共线，若向量，共线，则，即，无解，故向量，不共线，则向量，，向量，，向量，都可以作为平面向量的一组基底.因为，所以向量，共线，则向量，不可以作为平面向量的一组基底.故选：ACD13.已知某圆台的上，下底面的半径分别是和，且该圆台的上，下底面的圆周都在半径为的球的球面上，则该圆台的体积可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】旋转体的性质可得外接球半径与圆台轴截面外接圆半径相等，如图所示，当球的球心在圆台外时，设圆台的高为，则，解得，圆台的体积为；当球的球心在圆台内时，则，即圆台的高，则圆台的体积为.综上，该圆台的体积为或，故选：AC.14.在锐角中，角的对边分别是，已知，，且，则（）A.角的取值范围是B.的取值范围是C.周长的取值范围是D.的取值范围是【答案】ABD【解析】因为，且，所以，所以，所以.因为是锐角三角形，，所以，则，则解得，所以，A正确.因为，所以.因为，所以，所以，所以，即的取值范围是，B正确..设，则在上单调递增，所以，即.因为，所以周长的取值范围是，C错误.因为，所以.因为在单调递增，所以，所以，即，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.15.已知某棱锥的顶点个数为，棱的条数为，则______.（用含的式子表示）【答案】【解析】设该棱锥为棱锥，则，，则，即，故答案为：.16.某数学兴趣小组成员为测量，两地之间的距离，测得在的北偏东方向上，在的北偏西方向上，在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，在的正东方向上，且，相距20千米，则，两地之间的距离是______千米.【答案】【解析】如图：在中，由题意可知，，千米，由正弦定理可得，则千米.在中，由题意可知，，千米，由正弦定理可得，则千米.在中，，千米，则千米.故答案为：17.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则______.【答案】【解析】如图，在线段上取点，使得.连接，，，记，，连接，因为直线平面，且平面平面，所以.因为四边形是平行四边形，所以为线段的中点，则为线段的中点.因为，，所以，所以，即.因为为线段的中点，所以是线段的中点，则，所以，则.故答案为：四、解答题：本题共4小题，共62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知向量，.（1）若向量，共线，求向量的坐标；（2）若，求.解：（1）因为，所以.因为向量，共线，所以.当向量，同向时，，则；当向量，反向时，，则.故或.（2）因为，所以，所以.因为，，所以，所以.因为，所以.19.如图，在长方体中，四边形是边长为的正方形，，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.（1）证明：记.因为，为棱的中点，所以，则.因为，所以，所以.因为，所以，所以，即.由长方体的性质可知平面.因为平面，所以.因为平面，平面，且，所以平面.（2）解：连接，.由题意可得三棱锥的体积.由长方体的性质可知平面，且平面，则.因为，，所以，所以的面积.设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，因为，所以，解得，即点到平面的距离为.20.如图，在三棱柱中，、分别是棱、上一点，且，.（1）证明：平面.（2）证明：直线、、交于同一点.（3）记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值.解：（1）因为，，所以，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知，.因为，，所以，，则直线与相交.设直线与的交点为，因为点在直线上，且平面，所以平面.因为点在直线上，且平面，所以平面.因为平面平面，所以点在直线上，即直线、、交于点.（3）设的面积为，三棱柱的高为，则三棱柱的体积.因为，所以，且，所以的面积，则三棱台的体积，故.21