第10讲一元二次方程判别式、根与系数关系2知识点3大核心考点2025年新八年级数学讲义沪教版2024

的判别式，通常用符号“Δ”表示，记作Δ=b2-4ac．(1)4x2-5x-3=0；2．下列一元二次方程中，有实数根的是()5．在下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是()A．x2-3x-1=0B．3x2-x+1=08．如果关于x的方程k2x2-(2k+1)x+1=02x2-10x+m=0的两根．ax22x2+3x-5=0的两根分别是x1,x2，则(1)已知方程2x2-2x-1=0的两根分别是x1,x2，求x1+x2和x1x2的值；(2)已知方程2x2-3=6x的两根分别是x1,x2，求x+x1x2+x的值．26．如果关于x的方程(x-2)2=1-m无实数根，那么m满足的条件是()27．下列关于x的方程中，有两个实数根的是()228．已知关于x的方程x2-2x+k29．以关于x的方程x2-px+q=0(p2>4q)的两根的相反数为根的一元二次方C．x2+px-q=0D．x2-px-q30．已知方程x2-kx-6=0的两个根都是整数，则k的值有()31．已知关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围yxyxxy38．已知关于x的一元二次方程kx2+x-3=0，设方程两个实数根分别为x1,x2，且满足2.x2（4）若q=2p，则关于x的方程px2-系：试着利用这个关系解决问题．设方程2x2-5x-3=0的两根为x1,x2，(2)不解方程，求x12+x22=_______.(3)不解方程，求2x22-5x2=_______.(4)不解方程，求下列式子的值：2x12,这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方(1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两(2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种法．例如方程2x2-3x-7=0，Qa=2、b=-3、c=- 所以原方程的解为请利用小明的方法解方程3x2-4x-2=0． 是若三次方程x3-x2-3x-10=0的三个根【分析】先将方程整理成一般形式，列出方程中的a、b、c，再代值计算Δ,根据Δ与0:方程有两不等实根；:方程无实数根；:Δ=b2-4ac=0，:方程有两相等实根；:方程有两不等实根．2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2-4ac=0，则方程有两个相等:Δ=-(m-1)2-4(m-2)2-2m+1-4m+82-6m+9:原方程一定有两个实数根，:方程有两个不相等的实数根，本选项符合题意；B、3x2-x+1=0，:方程无实数根，本选项不符合题意；2-4×1:方程无实数根，本选项不符合题意；:方程实有两个相等的实数根，本选项不符合题意；整理得到，2x2+2(m-1)x-m=02-4×22:一元二次方程有两个不相等的实数根，求出k的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可．:无论取任何实数值，方程总有实数根；x2:△ABC的周长为5．【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别:-x+1=0，解得，且k≠0；:m≠0:m2-2m=0，:m=2；:m>2．【详解】解：一元二次方程(m-1)x2-2mx+:Δ=(-2m)2-4(m-1)(m-3)≥0，::m的取值范围为且m≠1，【详解】解:根据题意得:k的取值范围为k≤2且k≠-2.,:m=-1；【分析】根据根与系数的关系即可求解．1x2【点睛】本题考查了根与系数的关系，要掌握根与系数的关系式：．2:p=0，q=-21；积或两根之和,代入数值计算即可.【详解】:x1、x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,故填空答案:-.【点睛】本题考查了根与系数的关系,解题的关键是将根与系数的关系与代数式变形.【详解】解：根据根与系数的关系可得方程两根满足:方程2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为7，:方程由实数根，2,,和与两根积，再由两根是正整数及p+q=2:p+q=2016，:x1x2-x1-x2=2016，:x1x2-x1-x2+1=2016+1，:x1(x2-1)-(x2-1)=2017，:x1-1=1，x2-1=2017或x1-1=2017，x2-1=1，:方程的两个根是：x1=2，x2=2018或x1=2018，x2=2，:两根之和为x1+x2=2020．:a、b是两个不相等的素数，:ab=22223．1:x1+x2=-p，x1x2=q，:p=-5，q=6，:p+q=1，故答案为：1【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系，等腰三角形的性质，25．(1)1，-（2）解：2x2-3=6x2x2-6x-3=0，(x12:当1-m<0时，方程(x-2)2=1-m无解．:m>1，【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及解一元一次方程，一元二次方程:方程有两个实数根，故A符合题意；:方程没有实数根，故B不符合题意；:-1<0，:方程没有实数根，故C不符合题意；【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+k=0没有实数根，:k>1，2D、x2-px-q=0中，x1+x2=p，x1x2=-q，不符合题意；【分析】本题考查了根与系数的关系，可以把-6分解成几个因数的积的形式，然后利用根与系数的关系就可以确定k的值，掌握根与系数的关系是解题的关键．:-k=2+(-3)=-1，则k=1，:k的值有4个，【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程ax2【详解】解：:一元二次方程mx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，【详解】:一元二次方程mx2-2x-1=0有实根，【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的加法、运用完全平方公式求值， 【详解】解：由题意可知，当x≠y时，实数x、y是一元二次方程x2+3x-8=0的两个实:x,y满足x+y=-3,xy=-8，34．-1故答案为：-1．:当a=2时，c=4，此时不能构成三角形，舍去；【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式，解题关键是牢记公司，2:关于y的方程cy2+by-a=0化为6ay2-5ay-a=0，即6y2-5y-1=0，(6y+1)(y-1)=0，38．或-1bcax2经检验，两根都是原方程的解，且满足k≠0，所以k的值为或-1．故答案为：或-1．3913）解得：x1=-4，x2=2，:方程x2+2x-8=0不是“倍根方程”，故（2）不符合题意；（4）:q=2p，p≠0，:方程px2-q=px2-2p=0，:x2=2，:x1=2:px2-q=0不是“倍根方程”，故:符合题意的有（13故答案为13且m≠2【分析】本题考查了根的判别式与一元二次方程的定义．根据一元二次方程ax2【详解】解：Δ=(2m)2-4(m-2)(m-3)=4m2-4(m2-5m+6)=20m-24.:20m-24>0，且m≠2，,所以当a=β时，利用判别式的意义得到Δ=(-2k)2-4(k+2)(k-1)=0；当:a=β或a=-β,当a=-β时解得k=0，-2(a-2b)2(a-2b)2:此方程一定有实数根2-4×2-2．:x1+x2=，x1.x2=-，故答案为：，-（2）:x1+x2=，x1.x2=-:x12+x22=(x1+x2)2-2x1.x22-2374（3）Q方程2x2-5x-3=0的两个根为x1，x2，:2x-5x2-3=0，（4）Q方程2x2-5x-3=0的两个根为x1，x2，:2x-5x1-3=0，2x-5x2-3=0，2:原式=5x1+3+2(5x2+3)+5x12)2(3)x3-x2-1