数学函数的概念与基本初等函数多选题试题及解析

数学函数的概念与基本初等函数多选题试题及解析一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数是偶函数，且在上不单调B．函数是奇函数，且在上不单调递增C．函数在上单调递增D．对任意，都有，且【答案】AD【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A、B、C、D.【详解】解：对A，，定义域为，关于原点对称，，是偶函数，其图像关于轴对称，在上不单调，故A正确；对B，，，是奇函数，令，则，在上单调递增，故B错误；对C，，且在上单调递增，又，时，，在上单调递减，故C错误；对D，是偶函数，且在上单调递增，，且，故D正确.故选：AD.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.2．已知为上的奇函数，且当时，.记，下列结论正确的是（）A．为奇函数B．若的一个零点为，且，则C．在区间的零点个数为3个D．若大于1的零点从小到大依次为，则【答案】ABD【分析】根据奇偶性的定义判断A选项；将等价变形为，结合的奇偶性判断B选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数的奇偶性判断C选项，结合图象，得出的范围，由不等式的性质得出的范围.【详解】由题意可知的定义域为，关于原点对称因为，所以函数为奇函数，故A正确；假设，即时，所以当时，当时，当，，则由于的一个零点为，则，故B正确；当时，令，则大于的零点为的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且所以函数在区间的零点个数为4个，故C错误；由图可知，大于1的零点所以故选：ABD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.3．定义在R上的函数,若在区间上为增函数,且存在,使得.则下列不等式一定成立的是()A． B．C． D．【答案】ABC【分析】先由推出关于对称，然后可得出B答案成立，对于答案ACD，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可【详解】因为所以所以关于对称，所以又因为在区间上为增函数，所以因为所以所以选项B成立因为所以比离对称轴远所以，所以选项A成立因为所以，所以比离对称轴远所以，即C答案成立因为，所以符号不定所以，无法比较大小，所以不一定成立所以D答案不一定成立故选：ABC【点睛】本题考查的是函数的性质，由条件得出关于对称是解题的关键.4．设函数，则（）A．在单调递增 B．的值域为C．的一个周期为 D．的图像关于点对称【答案】BC【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解.【详解】令，则，显然函数为增函数，当时，为减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减，因为，所以增函数在时，，即的值域为；因为，所以的一个周期为，因为，令，设为上任意一点，则为关于对称的点，而，知点不在函数图象上，故的图象不关于点对称，即的图像不关于点对称.故选：BC【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.5．设函数g(x)=sinωx(ω＞0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）A．f(x)的图象关于直线对称B．f(x)在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f(x)在(0，2π)上有且只有2个极小值点C．f(x)在上单调递增D．ω的取值范围是[)【答案】CD【分析】利用正弦函数的对称轴可知，不正确；由图可知在上还可能有3个极小值点，不正确；由解得的结果可知，正确；根据在上递增，且，可知正确.【详解】依题意得，，如图：对于，令，，得，，所以的图象关于直线对称，故不正确；对于，根据图象可知，，在有3个极大值点，在有2个或3个极小值点，故不正确，对于，因为，，所以，解得，所以正确；对于，因为，由图可知在上递增，因为，所以，所以在上单调递增，故正确；故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.6．已知定义在R上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数x成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（）A．常值函数为回旋函数的充要条件是；B．若为回旋函数，则；C．函数不是回旋函数；D．若是的回旋函数，则在上至少有2015个零点.【答案】ACD【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令，则必有，令，则，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得，再根据零点存在性定理，推得零点的个数.【详解】A.若，则，则，解得：，故A正确；B.若指数函数为回旋函数，则，即，则，故B不正确；C.若函数是回旋函数，则，对任意实数都成立，令，则必有，令，则，显然不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C正确；D.若是的回旋函数，则，对任意的实数都成立，即有，则与异号，由零点存在性定理得，在区间上必有一个零点，可令，则函数在上至少存在2015个零点，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.7．函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数 B．的值域是C．方程的解为 D．方程的解为【答案】ABC【分析】逐项分析判断即可.【详解】当为有理数时，也为有理数当为无理数时，也为无理数是偶函数，A对；易知B对；时，C对的解为全体有理数D错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.8．已知函数，则方程的实根个数可能为（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】ABC【分析】以的特殊情形为突破口，解出或或或，将看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可.【详解】由基本不等式可得或，作出函数的图像，如下：①当时，或，故方程的实数根个数为；②当时，或或，故方程的实数根个数为；③当时，或或或，故方程的实数根个数为；④当时，或或或，故方程的实数根个数为；⑤当时，或，故方程的实数根个数为；⑥当时，或，故方程的实数根个数为；⑦当时，，故方程的实数根个数为；故选：ABC【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.9．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（）A． B． C．0 D．2【答案】BC【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到，代入，令，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.【详解】因为的两根为，所以，从而．令，则，．因为，所以，所以在上恒成立，从而在上单调递增．又，所以，即的取值范围是，故选：BC．【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数，利用导数求取值范围是解决本题的关键.10．下列结论正确的是（）A．函数的定义域为，则函数的定义域为B．函数的值域为，则函数的值域为C．若函数有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则的取值范围是D．已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为【答案】ACD【分析】根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B，利用数形结合及零点的分布求解判断C，作出函数与的图象，数形结合即可判断D.【详解】对于A,的定义域为，则由可得定义域为，故正确；对于B，将函数的图象向左平移一个单位可得函数的图象，故其值域相同，故错误；对于C,函数有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需，解得，故正确；对于D,作出函数与的图象，如图，由图可以看出，时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置或，观察图象可知，当有4个交点，当时，两条射线分别有2个交点，综上知方程恰有4个互异的实数根时，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，图象确定，而是过关于对称的两条射线，参数确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即时左边射线与抛物线部分相切，时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.11．已知，则关于x的方程的实根个数可能为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABC【分析】画出的图像，由，可分类讨论，，三种情况，令，并画出图像，结合两个函数图像以及，判断出实根个数构成的集合.【详解】画出的图像如图所示，令，画出图像如图所示.由，解得：，由，解得..由，解得：，由，解得.（1）当时，，有解，且或或，结合的图像可知，时没有与其对应，或时每个都有个与其对应，故此时有个实数根.（2）当时，，有解，且或，有一个与其对应，有两个与其对应，故此时有个实数根.（3）当时，，有解，且，结合的图像可知，每个有两个与其对应，故此时有个实数根.综上所述，关于的方程的实根个数构成的集合为.故选：ABC【点睛】方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.12．已知函数其中，下列关于函数的判断正确的为（）A．当时，B．当时，函数的值域C．当且时，D．当时，不等式在上恒成立【答案】AC【分析】对于A选项，直接代入计算即可；对于B选项，由题得当时，，进而得当时，，故的值域；对于C选项，结合B选项得当且时，进而得解析式；对于D选项，取特殊值即可得答案.【详解】解：对于A选项，当时，，故A选项正确；对于B选项，由于当，函数的值域为，所以当时，，由于，所以，因为，所以，所以当时，，综上，当时，函数的值域，故B选项错误；对于C选项，由B选项得当时，，故当且时，，故C选项正确；对于D选项，取，，则，，不满足式，故D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当时，，且当，函数的值域为，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.13．已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则（）A．是周期为2的函数 B．C．的值域为 D．在上有4个零点【答案】BCD【分析】对于A，由为上的奇函数，为偶函数，得，则是周期为4的周期函数，可判断A.对于B，由是周期为4的周期函数，则，，可判断B．对于C，当时，，有，又由为R上的奇函数，则时，，可判断C．对于D，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D．【详解】解：对于A，为偶函数，其图像关于轴对称，把的图像向右平移1个单位得到的图像，所以图象关于对称，即，所以，为上的奇函数，所以，所以，用替换上式中的得，，所以，，则是周期为4的周期函数.故A错误.对于B，定义域为R的奇函数，则，是周期为4的周期函数，则；当时，，则，则，则.故B正确.对于C，当时，，此时有，又由为上的奇函数，则时，，，函数关于对称，所以函数的值域.故C正确.对于D，，且时，，，，，，①时，，此时函数的零点为0，2；是奇函数，，②时，的周期为，，，此时函数零点为4；③时，，，此时函数零点为6；④时，，，此时函数无零点；综合以上有，在上有4个零点.故D正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：由是偶函数，通过平移得到关于对称，再根据是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.14．已知，，则（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据条件求得表达式，根据对数性质结合放缩法得A正确，根据不等式性质得B正确，通过作差法判断C错，结合指数函数单调性与放缩法可得D正确．【详解】解：∵，，∴，，因为，又由，所以，选项A正确；，，则，，所以，选项B正确；因为，，则，，此时，所以，故选项C不正确；由和知与均递减，再由，的大小关系知，故选项D正确.故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．15．设函数，g（x）＝x2-（m＋1）x＋m2-2，下列选项正确的有（）A．当m＞3时，f[f（x）]＝m有5个不相等的实根B．当m＝0时，g[g（x）]＝m有4个不相等的实根C．当0＜m＜1时，f[g（x）]＝m有6个不相等的实根D．当m＝2时，g[f（x）]＝m有5个不相等的实根【答案】BCD【分析】作出函数的图象，利用函数的图象和函数的图象分析可解得结果.【详解】作出函数的图象：令，得；当时，有两个根：，方程有1个根，方程有2个根，所以A错误；②当时，，，令，由得由由所以B正确；③令，，因为，所以有个实根根，设，所以，，因为在上递减，所以，所以，所以，即方程的最小根大于的最小值，所以、、都有2个不等实根，且这6个实根互不相等，所以当0＜m＜1时，f[g（x）]＝m有6个不相等的实根，所以C正确；④令，则，当时，方程化为，得；当，得；当得符合题意，所以D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.16．对于函数，则下列判断正确的是（）A．在定义域内是奇函数B．函数的值域是C．，，有D．对任意且，有【答案】ABD【分析】根据函数奇偶性定义判断的奇偶性，利用基本不等式求的值域，设，根据解析式判断的大小，进而确定的大小关系，应用作差、作商法判断大小关系，进而确定各项的正误.【详解】A：由解析式知：定义域为，，即在定义域内是奇函数，正确；B：当时，当且仅当时等号成立；当时有，当且仅当时等号成立；故其值域，正确；C：当时，，而，，则，所以，错误；D：若，，，所以，而，即，正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大小，判断各选项的正误.17．下列函数求值域正确的是（）A．的值域为B．的值域为C．的值域为D．的值域为【答案】CD【分析】去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A；讨论和，利用基本不等式求值域可判断选项B；利用单调性即可判断选项C；定义域为，将两边平方可得，由于，可得，求出的范围即可求值域，可判断选项D.【详解】对于选项A：原函数化为，其图象如图，原函数值域为，故选项A不正确，对于选项B：，定义域为，当时，，此时，所以，当且仅当即时等号成立，当时，，此时，当且仅当即时等号成立，所以函数值域为，故选项B不正确；对于选项C：的定义域为，，因为与均在上是增函数，所以在上是增函数，又在上恒不等于，则在上是减函数，则的最大值为，又因为，所以的值域为，故选项C正确；对于选项D：的定义域为，，设，则，，，则，的值域为，故选项D正确，故选：CD【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数值域为；（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域；（4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；（5）换元法：对于一些无理函数如，通过换元将他们转化为有理函数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如，，以及绝对值三角不等式等；（7）判别式法：把函数解析式化为关于的一元二次方程，利用判别式求值域，形如或的函数适用；（8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域；（9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如的函数求值域，均可使用配方法；（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.18．已知函数满足，且在上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（）A． B．若，则C．的最小正周期为3 D．在上的零点个数最少为202个【答案】AC【分析】由题意知在一个波谷的位置且有对称性，有且，进而可判断A、B、C的正误，又上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知零点个数最少个数，即知D的正误.【详解】由，且在上有最小值，无最大值，∴在一个波谷的位置且有对称性，即，，∴的最小正周期为，故A、C正确，B错误；在上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点；∴上零点个数最少为201个，即每个周期有三