高考数学转化与化归的思想综合训练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高考数学转化与化归的思想变量代换：如第17题，通过对三角形各边使用三角换元法，转化为通过求面积的最值转化为先求角度的最值，进而得出结论；理解转换：如第5题，通过对动点位置逐一讨论，转化为函数有关的分类讨论求参数；转化与化归是一种击破问题的策略1：如第6题，通过对常量与变量的转化，将原问题转化为，对参数分类讨论求解问题；转化与化归是一种击破问题的策略2：如第1题，通过对命题的转化，将集合问题转化为不等式求解问题.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解一元二次不等式和对数函数不等式求出集合，由并集的定义求解即可.【详解】由可得：，所以，由可得：，所以，所以.故选：D（2025届辽宁丹东高三上期总复习阶段测试）已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数乘除法运算求出复数，得到共轭复数，再作差求解即可.【详解】因为，所以，则.故选：B.（2024重庆一中高三上期11月月考）已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（

）充分不必要条件 B．必要不充分条件充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得m得取值范围，再根据包含关系分析充分、必要条件.【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线，可得，解得且，因为是的真子集，所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B.（2024届浙江杭州西湖中学高三下期数学模拟预测）某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡.假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要（

）（参考数据：）A．40年 B．30年 C．20年 D．10年【答案】C【分析】设该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要年，根据题意列出方程，再根据对数的运算性质计算即可.【详解】设该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要年，由题意知，，即，所以，即由入侵的1株变成100万株大约需要20年.故选：C.如图，四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是（

）满足的点必为的中点.满足的点有且只有一个.的最大值为3.的最小值不存在.【答案】C【分析】建立坐标系，讨论，，，四种情况，出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果.【详解】如图建系，取，∵，∴，动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，当时，有且，∴，∴，当时，有且，则，∴，∴，当时，有且，则，∴，∴，当时，有且，则，∴，∴，综上，，选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误；选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点不唯一，故B错误；选项C，当点取点时，且，解得，取得最大值为，故C正确；选项D，当取点时，取得最小值，故D错误；故选：C.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中所给条件，利用建系的方法，讨论的位置，根据，确定的范围，即可求解.（向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化）已知函数，，若对于任意的实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，若x接近时，函数与均为负值，显然不成立，当时，因当时，若即时，结论显然成立．若时只要即，综上所述，故选：B考点：1、一元二次不等式的应用；2二次函数图像．【方法点晴】本题主要考查的是二次函数与一元二次不等式的应用，属于难题题，当时，显然不成立；当时，因为所以仅对对称轴进行分类讨论即可．过点A（11，2）作圆的弦，其中弦长为整数的共有A．16条 B．17条 C．32条 D．34条【答案】C【详解】试题分析：将化为，即该圆的圆心坐标为，半径为，且，且经过点的弦的最大长度为（当弦过圆心时），最小弦长为（当弦与直线垂直时），所以其中弦长为整数的可能是10（一条），（各两条，共30条），26（一条），一共32条；故选C．考点：1．圆的对称性；2．直线与圆的位置关系．（2025届广东佛山禅城高三统一调研测试（一））已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先画出组合体的截面图，再利用几何关系，列方程组，即可求解，最后代入表面积公式.【详解】如图，圆台与外接球的轴截面，如下，

设上底面的半径为，下底面的半径为，外接球的半径为，由下底面的面积为，则，圆台的体积，即，解得或（舍），设，和中，，，两式联立，解得，，所以圆台外接球的表面积为.故选：C多选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.（2024届江苏徐州三中高三迎一检复习数学试题（四））投掷一枚骰子，向上点数共有1-6六种可能，每一种情况的发生是等可能的，则下列说法正确的是（

）事件A“点数为1或2”和事件B“点数为偶数”是相互独立事件；每一局投两次，记较大点数为该局得分，则每局得分的数学期望为4；事件C“点数为1或2或3”和事件B“点数为偶数”是相互独立事件；连续投掷40次，记出现6点的次数，则随机变量的分布列中，时概率最大．【答案】AD【分析】根据独立事件的概念判断AC的真假；列出得分的分布列，求期望，判断B的真假；列出的分布列，借助数列的单调性分析概率的最大值.【详解】对A：因为，，，由，所以事件相互独立，故A正确；对B：设每局的得分为，则的值可能为：1，2，3，4，5，6且，，，，，，所以，故B错误；对C：因为，，，由，所以事件不独立，故C错误；对D：由题意，所以.由；由.所以时，最大，即时概率最大．故D正确.故选：AD（2024湖南长沙周南中学高三上期第四阶段模拟考试）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为，点P是C与E的一个公共点，则（

）椭圆C的方程为三角形为等腰三角形过点作E的渐近线的垂线，垂足为M．则三角形面积为对于E上的任意一点Q，【答案】ABC【分析】根据椭圆及双曲线的标准方程、焦点、离心率可判断；由椭圆及双曲线的定义联立方程可判断；由，，可判断；设，则，由数量积有解可判断.【详解】对于：由双曲线的方程可知，双曲线的焦点，离心率为，所以椭圆的焦点为，离心率为，所以椭圆中，，所以椭圆C的方程为，故正确；对于：根据对称性，不妨设，则，又根据椭圆的定义可知，，所以联立，解得，，所以，所以为等腰三角形，故正确；过焦点作渐近线的垂线，垂足为M，则，，所以，所以，故正确；设，则，所以．解得，此时，所以存在点Q的坐标为或或或，使得，故错误：故选：.（2025届广东韶关高三上期综合测试（一））已知圆锥的顶点为为底面圆的直径，，点在圆上，点为的中点，与底面所成的角为，则（

）该圆锥的侧面积为该圆锥的体积为该圆锥内部半径最大的球的表面积为【答案】BCD【分析】又圆锥的侧面积、体积公式，及线面角的定义，内切球半径的确定，逐个判断即可.【详解】由已知，，，易得等腰三角形的底边长，，对于A，该圆锥的侧面积为，A错误；对于B该圆锥的体积为，B正确；对于C，如图，取中点为，连接，则为与底面所成角为，故，C正确；对于D，当球与圆锥内切时，表面积最大，此时球心在圆锥的高上，设为，球半径为，过向作垂线，垂足为，则，又，所以，所以，球的表面积为，D正确，故选：BCD填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.已知函数，若，则实数的取值范围是.【答案】【解析】先分析函数奇偶性，再根据图象化简不等式，最后解对数不等式得结果.【详解】,所以为偶函数,作图如下；由图可得因此故答案为：【点睛】本题考查根据函数图象解不等式，考查数形结合思想方法，属基础题.已知的展开式中没有常数项，，且2≤n≤8，则n=．【答案】:5【详解】试题分析：展开式的通项是，，由于的展开式中没有常数项，所以、和都不是常数，则，，，又因为，所以，故取．考点：二项式定理点评：涉及到展开式中的问题，常用到二项式定理得通项：．（2024天津新华中学高三下期校模）已知函数有3个零点，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】是函数的一个零点，再分段去绝对值符号，探讨零点个数即得.【详解】显然是函数的一个零点，当时，，此时函数无零点；当时，，由，得，因为函数有3个零点，必有，所以实数a的取值范围为.故答案为：解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（2024山东威海文登高三上期第一次模拟考试）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.【答案】(1)(2)，最小值为【分析】（1）根据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果；（2）在中，根据正弦定理表示出，在中，根据正弦定理表示出，根据三角形面积公式得到的面积，即可求出结果.【详解】（1）在中，由正弦定理可得，所以，所以，即得，因为，所以，所以，因为，所以；（2）因为，由（1）知，所以，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以，因为，所以，当时，取得最小值，此时，即，所以当时，的面积取到最小值，最小值为.（2024山东省春季高考济南第二次模拟考试）已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.(1)求双曲线的标准方程；(2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或．【分析】（1）设所求双曲线方程为，，把点代入，即可得出答案．（2）根据题意设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案．【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以双曲线为等轴双曲线，所以设所求双曲线方程为，，又双曲线经过点，所以，即，所以双曲线的方程为，即．（2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点，所以直线的方程为，所以原点到直线的距离，联立，得，所以且，所以，且，所以，所以的面积为，所以，解得，所以，所以直线的方程为或．（2024吉林长春高三上期质量监测（一））如图，在平行六面体中，，.(1)求证：直线平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见详解.(2)【分析】（1）取为空间的一个基底，用空间向量证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可;（2）先证明是平面的一个法向量，再利用空间向量计算面面角的余弦值即可.【详解】（1）设，，，则为空间的一个基底，且，，，因为，，则，，可得，，即，且，平面，所以平面.（2）由（1）知，，，所以，则；又，所以，则；又，平面，所以平面；故，分别是平面和平面的法向量，设平面与平面夹角为，所以；所以平面与平面夹角的余弦值为.（2024湖北腾云联盟高三上期12月联考（一模））已知.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间内存在极小值点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，，求导可得，又，可求切线方程；（2）求导得，分，，三种情况讨论函数的单调性，判断极小值点在内可求得的取值范围.【详解】（1）当时，，可得所以，又，所以切线方程：，即.（2）由已知得若，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以在取得最小值，符合题意.若，i）若即，当，所以在上单调递减，当，所以在上单调递增，所以在取得最小值，ii）当，，所以无极值，不符合题意，iii）当即，当，所以在上单调递减，当，所以在上单调递增，所以在取得极小值符合.若，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，在取得极小值，符合题意；综上所述：的取值范围为.（2024届云南昆明一中高三第十次考前适应性训练）表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：