2025年高考数学立体几何解题策略模拟试卷

2025年高考数学立体几何解题策略模拟试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)到平面π：x-y+z=1的距离是（）A.1B.√2C.√3D.√5（我想啊，这题其实挺有意思的，空间点到平面的距离公式用熟了就好办，就是点到平面的距离d=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²)，这里a=1，b=-1，c=1，d=-1，x₀=1，y₀=2，z₀=3，代入公式一算就出来了，选B。）2.已知直线l：x=2t+1，y=-t-1，z=t与平面π：x+y+z=0的交点为P，则点P到直线l的距离是（）（这题啊，我一看就想到，先求交点P，把直线参数方程代入平面方程，得到2t+1-t-1+t=0，解得t=0，所以P(1,-1,0)，然后求P到直线的距离，这就要用到向量叉乘了，直线方向向量为(2,-1,1)，向量OP=(1-1,-1-0,0-0)=(0,-1,0)，所以向量OP和直线方向向量的叉乘模长除以方向向量模长，就是P到直线的距离，算出来是√2/√6，简化一下是√3/3，选C。）3.如果一个三棱锥的四个顶点都在一个球面上，那么这个三棱锥的四个顶点中，到球心的距离都相等的点是（）（我想啊，这题得看懂，四个顶点都在球面上，说明都在球面上，球心到四个顶点的距离都相等，都是球的半径，但是题目问的是哪个点到球心的距离相等，我想啊，只能是球心自己了，其他点肯定不等啊，所以选D。）4.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，E是SC的中点，则异面直线AB与SE所成的角的大小是（）（这题啊，我一看就想到，正四棱锥底面是正方形，高是3，所以SC是正三角形，E是SC中点，所以SE垂直于底面，所以SE垂直于AB，所以异面直线AB与SE所成的角是90度，选D。）5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BB₁的中点，F是BC的中点，则直线AE与平面BCC₁B₁所成的角的大小是（）（这题啊，我一看就想到，正方体中，BB₁垂直于平面BCC₁B₁，AE在平面ABB₁A₁中，所以AE与平面BCC₁B₁所成的角就是AE与BB₁所成的角，AE和BB₁都是线段，所以就是它们夹角的度数，AE在平面ABB₁A₁中，与BB₁相交于B，所以夹角是45度，选C。）6.已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为270度的扇形，这个扇形的半径为4，那么这个圆锥的底面圆的面积是（）（这题啊，我一看就想到，圆锥侧面展开图是扇形，扇形半径是圆锥母线，扇形圆心角是270度，所以扇形弧长是圆锥底面周长，弧长是2πr，这里r=4，所以圆锥底面周长是8π/3，所以圆锥底面半径是4π/3，所以圆锥底面面积是π(4π/3)²=16π²/9，选D。）7.如果一个三棱锥的三个侧面都是边长为1的等边三角形，那么这个三棱锥的体积是（）（这题啊，我一看就想到，三棱锥三个侧面都是等边三角形，所以底面也是等边三角形，边长为1，高为√3/2，所以体积是1/3×1²×√3/2=√3/6，选B。）8.已知一个球内切于一个正方体，这个正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是（）（这题啊，我一看就想到，球内切于正方体，球半径等于正方体棱长的一半，所以球半径是1，所以球表面积是4πr²=4π，选C。）9.已知一个四棱锥的底面是矩形，侧面都是等边三角形，那么这个四棱锥的体积是（）（这题啊，我一看就想到，四棱锥底面是矩形，侧面是等边三角形，这个四棱锥是正四棱锥，底面边长是2，高是√3，所以体积是1/3×2²×√3=4√3/3，选A。）10.已知一个三棱台的上底面和下底面都是等边三角形，侧棱长为√3，上底面边长为1，下底面边长为2，那么这个三棱台的体积是（）（这题啊，我一看就想到，三棱台上底面边长为1，下底面边长为2，侧棱长为√3，所以侧面是等腰梯形，高为√2，所以三棱台高为√2，所以体积是1/3×(1²+1×2+2²)×√2=7√2/3，选B。）11.已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为√2，那么这个圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的圆心角是（）（这题啊，我一看就想到，圆锥侧面展开图是扇形，扇形半径是圆锥母线，扇形圆心角是圆锥底面周长与扇形半径的比值，圆锥底面周长是2π，扇形半径是√2，所以圆心角是2π/√2=π√2，选D。）12.已知一个球的外切于一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为2，高为3，那么这个球的体积是（）（这题啊，我一看就想到，球外切于正四棱锥，球半径等于正四棱锥高与底面对角线之比的2/3，底面对角线是2√2，所以球半径是2/3×3/(2√2)=√2/2，所以球体积是4/3πr³=4/3π(√2/2)³=√2π/3，选C。）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。）13.已知一个三棱锥的三个侧面都是边长为1的等边三角形，那么这个三棱锥的体积是√3/12。（这题啊，我刚才选选择题的时候已经算过了，底面是等边三角形，边长为1，高为√3/2，所以体积是1/3×1²×√3/2=√3/6，但是题目问的是哪个点到球心的距离相等，我想啊，只能是球心自己了，其他点肯定不等啊，所以选D。）14.已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为270度的扇形，这个扇形的半径为4，那么这个圆锥的底面圆的面积是8π。（这题啊，我刚才选选择题的时候已经算过了，扇形弧长是圆锥底面周长，弧长是8π/3，所以圆锥底面半径是4π/3，所以圆锥底面面积是π(4π/3)²=16π²/9，但是题目问的是哪个点到球心的距离相等，我想啊，只能是球心自己了，其他点肯定不等啊，所以选D。）15.已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为3，那么这个正四棱锥的侧面与底面所成的二面角的大小是60度。（这题啊，我一看就想到，正四棱锥侧面与底面所成的二面角，就是侧面斜高与底面边的夹角，侧面斜高是√(高²+(底面边长/2)²)=√(3²+(1)²)=√10，底面边长是2，所以夹角是arctan(√10/2)，但是题目问的是哪个点到球心的距离相等，我想啊，只能是球心自己了，其他点肯定不等啊，所以选D。）16.已知一个球内切于一个正方体，这个正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是16π。（这题啊，我刚才选选择题的时候已经算过了，球半径是1，所以球表面积是4πr²=4π，但是题目问的是哪个点到球心的距离相等，我想啊，只能是球心自己了，其他点肯定不等啊，所以选D。）三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.已知正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E是BB₁的中点，F是CD的中点，求二面角E-CF-D的大小。（这题啊，我可喜欢了，正方体里找二面角，我首先得找两个相交平面的公共垂线。我画个图，取BC中点G，连接EG和FG。EG是面BB₁C₁C的法线，FG是面BCD的法线，所以∠EGF就是二面角E-CF-D的平面角。正方体棱长为1，E是BB₁中点，所以BE=EB₁=1/2，F是CD中点，所以CF=FD=1/2。在△EGF中，EG=√(1²+(1/2)²)=√5/2，FG=√(1²+(1/2)²)=√5/2，EF=√(1²+(1/2)²)=√5/2，所以△EGF是等边三角形，∠EGF=60度。所以二面角E-CF-D的大小是60度。）18.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，点E是PC的中点。求（1）异面直线AE与BC所成的角的大小；（2）点E到平面PAB的距离。（这题得一步步来。首先看（1），AE和BC所成的角，我想到要做一条线让它们相交，或者找它们夹角的平面角。我延长AE交CD于点F，因为ABCD是矩形，所以CF⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，所以CF⊥PA，所以CF⊥平面PAB。又因为EF在平面PAB中，所以EF⊥CF。在△AEF中，因为E是PC中点，PC是等腰直角三角形，所以PE=EC=PC/2=√2，而PF=PC=√2，所以EF=√(PF²-PE²)=√(2²-1²)=√3。所以∠AEF=arctan(EF/PE)=arctan(√3/1)=60度。所以异面直线AE与BC所成的角的大小是60度。）（然后看（2），点E到平面PAB的距离，我想到可以用体积法。设点E到平面PAB的距离为h。四棱锥P-ABCD的体积是V=1/3×底面积×高=1/3×2×1×2=4/3。四棱锥E-ABP的体积是V'=1/3×底面积×高=1/3×1×1×h=1/3×h。因为两个四棱锥等底同高，所以它们的体积比是V/V'=4/3:1/3=4:1，所以h=1/2。所以点E到平面PAB的距离是1/2。）19.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为H，且PH=1，底面ABC是边长为2的等边三角形，求（1）三棱锥P-ABC的体积；（2）点H到平面PAB的距离。（这题啊，体积好求，关键看第二问。首先求（1），三棱锥体积V=1/3×底面积×高=1/3×(√3/4)×2²×1=√3/3。然后求（2），点H到平面PAB的距离。我想到作高，PH垂直于底面ABC，过H作HE垂直于AB于E，连接PE。因为PH⊥平面ABC，HE⊥AB，所以PE⊥AB，所以∠PEH是二面角P-AB-C的平面角。因为底面ABC是等边三角形，所以∠B=60度。在等腰三角形PEH中，PH=1，∠B=60度，所以∠PEH=30度，所以HE=PH×sin30度=1×1/2=1/2。所以点H到平面PAB的距离是1/2。）20.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的等边三角形，D是AC的中点，D₁是A₁C₁的中点，求直线B₁D与平面ABC所成的角的大小。（这题啊，我首先得找直线B₁D与平面ABC所成的角。我想到这个角就是直线B₁D与它在平面ABC上的射影所成的角。过B₁作B₁H垂直于平面ABC于H，连接DH。因为B₁H⊥平面ABC，DH在平面ABC中，所以∠B₁DH就是直线B₁D与平面ABC所成的角。在等边三角形ABC中，D是AC中点，所以AH=√3。在直角三角形B₁DH中，B₁H⊥平面ABC，所以B₁H⊥AH，B₁H=2，AH=√3，所以∠B₁DH=arctan(B₁H/AH)=arctan(2/√3)=√3/3。所以直线B₁D与平面ABC所成的角的大小是√3/3。）21.已知圆锥的底面半径为1，母线长为√5，E是母线AC的中点，F是底面圆周上一点，且∠AEF=60度。求（1）圆锥的体积；（2）直线EF与圆锥的轴O-OB所成的角的大小。（这题得用空间向量。首先建立空间直角坐标系，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴。则O(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,√4)=P(0,0,2)。母线AC的方向向量为AC=(1,0,2)，单位向量=(1/√5,0,2/√5)。E是AC中点，所以E=(1/2,0,1)。F在底面圆上，且∠AEF=60度，设F(x,y,0)，则AF=(x-1,y-0,-2)=(x-1,y,-2)。因为AF·AC=|AF||AC|cos60度，所以(x-1)×1/√5+y×0+(-2)×2/√5=√(x-1)²+y²+(-2)²×1/√5×1/2，解得x=3/5，y=4/5，所以F(3/5,4/5,0)。）（然后求（1），圆锥体积V=1/3×底面积×高=1/3×π×1²×2=2π/3。）（接着求（2），直线EF的方向向量为EF=(1/2-3/5,0-4/5,1-0)=(1/10,-4/5,1)，圆锥轴O-OB的方向向量为OB=(0,1,0)。所以cosθ=|EF·OB|/|EF||OB|=|(1/10,-4/5,1)·(0,1,0)|/√(1/100+16/25+1)×1=4/√181/5=20/√181。所以直线EF与圆锥的轴O-OB所成的角的大小是arccos(20/√181)。）22.已知球O的半径为R，正四棱锥P-ABCD的底面边长为2R，高为√2R，球的球心O在正四棱锥的高PC上。求（1）正四棱锥P-ABCD的体积；（2）球O与正四棱锥P-ABCD的四个面所成的二面角的大小。（这题啊，得好好想想。首先求（1），正四棱锥底面是正方形，边长2R，高√2R，所以体积V=1/3×底面积×高=1/3×(2R)²×√2R=4√2R³/3。）（然后求（2），球心O在PC上，且O到底面中心的距离是R，PC=√(2R)²+(√2R)²=2√3R，所以PO=√3R。过O作OE垂直于面PAB于E，连接PE。因为OE⊥面PAB，PE在面PAB中，所以PE⊥AB，又因为AB⊥BC，所以PE⊥BC。在等腰直角三角形PEA中，PE=AE=R，所以∠PEO=45度。所以球O与正四棱锥P-ABCD的四个面所成的二面角的大小都是45度。）本次试卷答案如下一、选择题1.B解析：点A(1,2,3)到平面π：x-y+z=1的距离d=|1*1+(-1)*2+1*3+(-1)|/√(1²+(-1)²+1²)=|1-2+3-1|/√3=√2，选B。2.C解析：把直线参数方程代入平面方程得2t+1-t-1+t=0，解得t=0，交点P(1,-1,0)。直线l方向向量为(2,-1,1)，向量OP=(0,-1,0)，向量OP和直线方向向量的叉乘模长除以方向向量模长，即|(-1)*1-0*1+0*(-1)|/√(2²+(-1)²+1²)=|-1|/√6=√3/3，选C。3.D解析：四个顶点都在球面上，球心到四个顶点的距离都相等，都是球的半径，只有球心自己到球心的距离相等，选D。4.D解析：正四棱锥底面ABCD是正方形，E是SC中点，所以SE垂直于底面ABCD，AB在底面内，所以SE垂直于AB，异面直线AB与SE所成的角是90度，选D。5.C解析：正方体中，BB₁垂直于平面BCC₁B₁，AE在面ABB₁A₁中，所以AE与平面BCC₁B₁所成的角就是AE与BB₁所成的角，AE与BB₁相交于B，AE=√(AB²+BE²)=√(2²+(1/2)²)=√(4+1/4)=√(17/4)=√17/2，BB₁=1，所以sin∠ABE=BE/AB=1/2，所以∠ABE=30度，选C。6.A解析：扇形弧长是圆锥底面周长，弧长是2πr=2π，扇形半径是圆锥母线，扇形圆心角是270度，所以扇形弧长是(270/360)×2πr=3π/4r，所以3π/4r=2π，解得r=8/3，所以圆锥底面半径是8/3，所以圆锥底面面积是π(8/3)²=64π/9，选A。7.C解析：正四面体高h=√(a²-(a/√3)²)=√(3a²/3-a²/3)=√(2a²/3)=a√2/√3，体积V=1/3×底面积×高=1/3×(√3/4)a²×a√2/√3=a³√2/12，选C。8.B解析：球内切于正方体，球半径r等于正方体棱长的一半，正方体棱长为2，所以r=1，所以球表面积是4πr²=4π，选B。9.D解析：正四棱锥底面是正方形，侧面都是等边三角形，这个四棱锥是正四棱锥，底面边长为2，高是√(2²-(1)²)=√3，所以体积V=1/3×底面积×高=1/3×2²×√3=4√3/3，选D。10.B解析：三棱台侧面是等腰梯形，高为√(2²-(1)²)=√3，所以三棱台高为√3，体积V=1/3×(1²+1×2+2²)×√2=7√2/3，选B。11.C解析：圆锥侧面展开图是扇形，扇形圆心角是圆锥底面周长与扇形半径的比值，圆锥底面周长是2π，扇形半径是√2，所以圆心角是2π/√2=π√2，选C。12.C解析：球外切于正四棱锥，球半径r等于正四棱锥高与底面对角线之比的2/3，底面对角线是2√2，所以球半径是2/3×3/(2√2)=√2/2，所以球体积是4/3πr³=4/3π(√2/2)³=√2π/3，选C。二、填空题13.√3/12解析：底面是等边三角形，边长为1，高为√3/2，所以体积是1/3×1²×√3/2=√3/6，选C。14.8π解析：扇形弧长是圆锥底面周长，弧长是8π/3，所以圆锥底面半径是4π/3，所以圆锥底面面积是π(4π/3)²=16π²/9，选A。15.60度解析：正四棱锥侧面与底面所成的二面角，就是侧面斜高与底面边的夹角，侧面斜高是√(高²+(底面边长/2)²)=√(3²+(1)²)=√10，底面边长是2，所以夹角是arctan(√10/2)，选D。16.16π解析：球外切于正四棱锥，球半径r等于正四棱锥高与底面对角线之比的2/3，底面对角线是2√2，所以球半径是2/3×3/(2√2)=√2/2，所以球表面积是4πr²=4π，选B。三、解答题17.60度解析：取BC中点G，连接EG和FG。EG是面BB₁C₁C的法线，FG是面BCD的法线，所以∠EGF就是二面角E-CF-D的平面角。正方体棱长为1，E是BB₁中点，所以BE=EB₁=1/2，F是CD中点，所以CF=FD=1/2。在△EGF中，EG=√(1²+(1/2)²)=√5/2，FG=√(1²+(1/2)²)=√5/2，EF=√(1²+(1/2)²)=√5/2，所以△EGF是等边三角形，∠EGF=60度。18.(1)60度(2)1/2解析：延长AE交CD于点F，因为ABCD是矩形，所以CF⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，所以CF⊥PA，所以CF⊥平面PAB。又因为EF在平面PAB中，所以EF⊥CF。在△AEF中，因为E是PC中点，PC是等腰直角三角形，所以PE=EC=PC/2=√2，而PF=PC=√2，所以EF=√(PF²-PE²)=√(2²-1²)=√3。所以∠AEF=arctan(EF/PE)=arctan(√3/1)=60度。设点E到平面PAB的距离为h。四棱锥P-ABCD的体积是V=1/3×底面积×高=1/3×2×1×2=4/3。四棱锥E-ABP的体积是V'=1/3×底面积×高=1/3×1×1×h=1/3×h。因为两个四棱锥等底同高，所以它们的体积比是V/V'=4/3:1/3=4:1，所以h=1/2。19.(1)√3/3(2)1/2解析：PH垂直于底面ABC，过H作HE垂直于AB于E，连接PE。因为PH⊥平面ABC，HE⊥AB，所以PE⊥AB，所以∠PEH是二面角P-AB-C的平面角。因为底面ABC是等边三角形，所以∠B=60度。在等腰三角形PEH中，PH=1，∠B=60度，所以∠PEH=30度，所以HE=PH×sin30度=1×1/2=1/2。所以点H到平面PAB的距离是1/2。三棱锥体积V=1/3×底面积×高=1/3×(√3/4)×2²×1=√3/3。20.√3/3解析：过B₁作B₁H垂直于平面ABC于H，连接DH。因为B₁H⊥平面ABC，DH在平面ABC中，所以∠B₁DH就是直线B₁D与平面ABC所成的角。在等边三角形ABC中，D是AC中点，所以AH=√3。在直角三角形B₁DH中，B₁H⊥平面A