2025年统计学期末考试数据分析计算题库（时间序列分析试题）

2025年统计学期末考试数据分析计算题库（时间序列分析试题）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项字母填在题后的括号内。）1.时间序列分析中，描述数据长期趋势的统计方法不包括以下哪一项？（）A.移动平均法B.指数平滑法C.季节性分解法D.回归分析法2.在进行时间序列分解时，如果发现数据中存在明显的周期性波动，那么最适合使用的模型是？（）A.指数模型B.ARIMA模型C.季节性分解模型D.线性回归模型3.时间序列中的“平滑”方法主要目的是？（）A.提高数据的准确性B.消除随机波动C.增强数据的季节性特征D.改变数据的长期趋势4.如果一个时间序列数据的自相关系数在滞后1期时显著不为零，而在滞后2期及以后逐渐接近零，那么这个序列最可能是？（）A.随机游走序列B.白噪声序列C.自回归序列D.马尔可夫链5.在时间序列分析中，ARIMA模型中的“AR”代表？（）A.自回归（Autoregressive）B.移动平均（MovingAverage）C.季节性分解（SeasonalDecomposition）D.指数平滑（ExponentialSmoothing）6.时间序列数据中，季节性因素通常是指？（）A.短期内数据的随机波动B.中期内的周期性变化C.长期趋势的偏离D.每年重复出现的模式7.当时间序列数据中存在明显的趋势和季节性时，应该优先考虑的模型是？（）A.ARIMA(0,1,0)×(0,1,0)[12]B.ARIMA(1,1,1)C.ARIMA(1,1,1)×(0,1,0)[12]D.ARIMA(0,0,1)8.在时间序列分析中，ACF（自相关函数）和PACF（偏自相关函数）的主要区别是？（）A.ACF考虑了所有滞后项的影响，而PACF只考虑了直接滞后项的影响B.ACF只适用于短期数据，而PACF适用于长期数据C.ACF适用于自回归模型，而PACF适用于移动平均模型D.ACF和PACF没有区别9.如果一个时间序列数据的自相关系数在所有滞后期都显著不为零，那么这个序列最可能是？（）A.随机游走序列B.白噪声序列C.自回归序列D.马尔可夫链10.时间序列分析中，外生变量的作用是？（）A.描述数据的长期趋势B.解释数据中的随机波动C.增强数据的季节性特征D.提供模型外部的解释变量二、简答题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请将答案写在答题卡上对应题号的位置。）1.简述时间序列分析中移动平均法的原理及其适用场景。2.解释什么是季节性分解，并简述其常见的分解模型。3.描述自回归模型（AR模型）的基本形式，并说明其参数的取值范围。4.解释什么是白噪声序列，并说明其自相关系数的特点。5.在时间序列分析中，为什么需要考虑模型的平稳性？如何检验一个时间序列是否平稳？三、计算题（本大题共3小题，每小题10分，共30分。请将答案写在答题卡上对应题号的位置。）1.某公司过去五年的季度销售额数据如下表所示。请使用移动平均法（跨度为3）计算各季度的平滑销售额，并绘制平滑后的趋势图。|年份|季度|销售额（万元）||------|------|---------------||2020|Q1|120||2020|Q2|130||2020|Q3|140||2020|Q4|150||2021|Q1|160||2021|Q2|170||2021|Q3|180||2021|Q4|190||2022|Q1|200||2022|Q2|210||2022|Q3|220||2022|Q4|230|2.某城市过去十年的月度降雨量数据如下表所示。请使用指数平滑法（平滑系数α=0.3）计算各月的平滑降雨量，并绘制平滑后的趋势图。|年份|月份|降雨量（毫米）||------|------|----------------||2013|1|50||2013|2|60||2013|3|70||2013|4|80||2013|5|90||2013|6|100||2013|7|110||2013|8|120||2013|9|130||2013|10|140||2013|11|150||2013|12|160||2014|1|170||2014|2|180||2014|3|190||2014|4|200||2014|5|210||2014|6|220||2014|7|230||2014|8|240||2014|9|250||2014|10|260||2014|11|270||2014|12|280||2015|1|290||2015|2|300||2015|3|310||2015|4|320||2015|5|330||2015|6|340||2015|7|350||2015|8|360||2015|9|370||2015|10|380||2015|11|390||2015|12|400||2016|1|410||2016|2|420||2016|3|430||2016|4|440||2016|5|450||2016|6|460||2016|7|470||2016|8|480||2016|9|490||2016|10|500||2016|11|510||2016|12|520||2017|1|530||2017|2|540||2017|3|550||2017|4|560||2017|5|570||2017|6|580||2017|7|590||2017|8|600||2017|9|610||2017|10|620||2017|11|630||2017|12|640||2018|1|650||2018|2|660||2018|3|670||2018|4|680||2018|5|690||2018|6|700||2018|7|710||2018|8|720||2018|9|730||2018|10|740||2018|11|750||2018|12|760||2019|1|770||2019|2|780||2019|3|790||2019|4|800||2019|5|810||2019|6|820||2019|7|830||2019|8|840||2019|9|850||2019|10|860||2019|11|870||2019|12|880|3.某地区过去十年的年人均GDP数据如下表所示。请使用ARIMA模型（模型参数为ARIMA(1,1,1)）拟合数据，并计算未来一年的预测值。|年份|年人均GDP（万元）||------|------------------||2010|3.0||2011|3.2||2012|3.4||2013|3.6||2014|3.8||2015|4.0||2016|4.2||2017|4.4||2018|4.6||2019|4.8|四、论述题（本大题共2小题，每小题15分，共30分。请将答案写在答题卡上对应题号的位置。）1.在时间序列分析中，如何判断一个模型是否合适？请结合实际案例说明。2.时间序列分析在实际应用中有哪些局限性？如何克服这些局限性？三、计算题（本大题共3小题，每小题10分，共30分。请将答案写在答题卡上对应题号的位置。）3.某地区过去十年的年人均GDP数据如下表所示。请使用ARIMA模型（模型参数为ARIMA(1,1,1)）拟合数据，并计算未来一年的预测值。|年份|年人均GDP（万元）||------|------------------||2010|3.0||2011|3.2||2012|3.4||2013|3.6||2014|3.8||2015|4.0||2016|4.2||2017|4.4||2018|4.6||2019|4.8|要求：首先，需要对数据进行一阶差分，以消除趋势，然后拟合ARIMA(1,1,1)模型，最后使用模型预测未来一年的值。具体步骤如下：（1）计算一阶差分：一阶差分是指当前观测值与前一个观测值的差值。计算公式为：Δy_t=y_t-y_{t-1}。计算结果如下：|年份|年人均GDP（万元）|一阶差分||------|------------------|----------||2010|3.0|-||2011|3.2|0.2||2012|3.4|0.2||2013|3.6|0.2||2014|3.8|0.2||2015|4.0|0.2||2016|4.2|0.2||2017|4.4|0.2||2018|4.6|0.2||2019|4.8|0.2|（2）拟合ARIMA(1,1,1)模型：ARIMA(1,1,1)模型的基本形式为：Δy_t=φ_1*Δy_{t-1}+ε_t，其中φ_1为自回归系数，ε_t为白噪声误差项。使用最小二乘法估计φ_1，得到φ_1=0.95。因此，模型方程为：Δy_t=0.95*Δy_{t-1}+ε_t。（3）预测未来一年的值：首先，计算下一年的原始值。根据模型方程，Δy_{2020}=0.95*Δy_{2019}+ε_{2020}。假设ε_{2020}=0，则Δy_{2020}=0.95*0.2=0.19。因此，y_{2020}=y_{2019}+Δy_{2020}=4.8+0.19=4.99万元。所以，未来一年（2020年）的预测年人均GDP为4.99万元。四、论述题（本大题共2小题，每小题15分，共30分。请将答案写在答题卡上对应题号的位置。）1.在时间序列分析中，如何判断一个模型是否合适？请结合实际案例说明。要求：判断一个时间序列模型是否合适，需要考虑多个方面，包括模型的拟合优度、残差的随机性、模型的解释能力等。具体步骤如下：（1）模型的拟合优度：模型的拟合优度可以通过AIC（赤池信息准则）和BIC（贝叶斯信息准则）来判断。AIC和BIC都是衡量模型拟合优度的指标，AIC越低，BIC越低，模型的拟合优度越高。在选择模型时，需要比较不同模型的AIC和BIC值，选择AIC和BIC值最小的模型。（2）残差的随机性：残差是指观测值与模型预测值之间的差值。如果模型的残差是随机的，那么说明模型已经捕捉了数据中的所有系统性信息，残差中没有包含任何有用的信息。判断残差的随机性，可以通过绘制残差图、计算残差的自相关系数等方法来进行。如果残差图呈现出随机波动的趋势，且残差的自相关系数不显著，那么说明模型的残差是随机的。（3）模型的解释能力：模型的解释能力是指模型能够解释数据中的哪些信息。一个合适的模型应该能够解释数据中的主要趋势、季节性等特征。例如，如果数据中存在明显的季节性，那么模型应该能够捕捉到这种季节性特征。实际案例说明：假设我们有一个时间序列数据，包括过去十年的月度销售额数据。我们使用ARIMA模型来拟合这个数据，并判断模型的合适性。首先，我们计算模型的AIC和BIC值，发现AIC和BIC值都比较低，说明模型的拟合优度较高。然后，我们绘制残差图，发现残差呈现出随机波动的趋势，且残差的自相关系数不显著，说明残差是随机的。最后，我们分析模型的解释能力，发现模型能够捕捉到数据中的季节性特征。因此，我们可以认为这个ARIMA模型是合适的。2.时间序列分析在实际应用中有哪些局限性？如何克服这些局限性？要求：时间序列分析在实际应用中存在一些局限性，主要包括数据质量、模型假设、外生变量的影响等。克服这些局限性的方法包括提高数据质量、选择合适的模型、引入外生变量等。具体步骤如下：（1）数据质量：时间序列分析对数据质量要求较高。如果数据存在缺失值、异常值等问题，那么模型的预测结果可能会受到影响。提高数据质量的方法包括数据清洗、插值法等。（2）模型假设：时间序列分析中的模型通常基于一些假设，如数据的平稳性、残差的独立性等。如果数据的实际特征与模型假设不符，那么模型的预测结果可能会受到影响。克服这个局限性的方法包括对数据进行平稳化处理、选择合适的模型等。（3）外生变量的影响：时间序列分析中的模型通常只考虑数据的内在特征，而忽略了外生变量的影响。外生变量是指与时间序列数据相关的其他变量，如政策变化、经济环境等。如果外生变量对时间序列数据有显著影响，那么模型的预测结果可能会受到影响。克服这个局限性的方法包括引入外生变量、使用计量经济学模型等。实际案例说明：假设我们有一个时间序列数据，包括过去十年的月度销售额数据。我们使用ARIMA模型来拟合这个数据，并预测未来一年的销售额。首先，我们发现数据中存在一些缺失值和异常值，需要进行数据清洗。然后，我们发现数据不满足平稳性假设，需要进行平稳化处理。最后，我们发现政策变化对销售额有显著影响，需要引入外生变量。通过这些方法，我们可以提高模型的预测精度，克服时间序列分析的局限性。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：C解析：移动平均法、指数平滑法和回归分析法都可以描述数据的长期趋势，但季节性分解法主要是用来分离数据中的季节性成分，而不是描述长期趋势。2.答案：C解析：季节性分解模型专门用于处理具有明显周期性波动的时间序列数据，能够有效地捕捉和解释这种周期性。3.答案：B解析：平滑方法的主要目的是通过平均或加权平均来消除数据中的随机波动，从而揭示数据的潜在趋势。4.答案：C解析：自回归序列的特点是当前值与过去值之间存在相关性，且这种相关性随着滞后期的增加而逐渐减弱，符合题目中描述的自相关系数特点。5.答案：A解析：ARIMA模型中的“AR”代表自回归（Autoregressive），即模型中包含自回归项。6.答案：D解析：季节性因素是指每年重复出现的模式，通常表现为周期性的波动。7.答案：C解析：当时间序列数据中存在明显的趋势和季节性时，ARIMA(1,1,1)×(0,1,0)[12]模型能够同时捕捉趋势和季节性成分。8.答案：A解析：ACF考虑了所有滞后项的影响，而PACF只考虑了直接滞后项的影响，这是两者的主要区别。9.答案：C解析：自回归序列的特点是当前值与过去值之间存在相关性，如果所有滞后的自相关系数都显著不为零，那么这个序列最可能是自回归序列。10.答案：D解析：外生变量是指模型外部的解释变量，用于解释时间序列数据中的变化，增强模型的解释能力。二、简答题答案及解析1.答案：移动平均法的原理是通过计算数据点的滑动平均值来平滑数据，消除随机波动，从而揭示数据的潜在趋势。移动平均法适用于数据中存在短期随机波动，需要平滑这些波动以观察长期趋势的情况。解析：移动平均法通过计算一定跨度内的数据点的平均值，将短期波动平滑掉，从而更容易观察数据的长期趋势。这种方法简单易行，适用于需要快速平滑数据的情况。2.答案：季节性分解是指将时间序列数据分解为趋势成分、季节性成分和随机成分。常见的分解模型包括加法模型和乘法模型。加法模型假设季节性成分与数据水平无关，而乘法模型假设季节性成分与数据水平成正比。解析：季节性分解有助于理解数据中的周期性波动，并将其从趋势和随机成分中分离出来。加法模型适用于季节性波动幅度与数据水平无关的情况，而乘法模型适用于季节性波动幅度随数据水平变化的情况。3.答案：自回归模型（AR模型）的基本形式为：y_t=φ_1*y_{t-1}+ε_t，其中φ_1为自回归系数，ε_t为白噪声误差项。AR模型的参数φ_1的取值范围通常在-1到1之间。解析：自回归模型假设当前值与过去值之间存在线性关系，通过自回归系数φ_1来捕捉这种关系。φ_1的取值范围在-1到1之间，因为超出这个范围的值会导致模型不稳定。4.答案：白噪声序列是指序列中的观测值之间不存在任何相关性，且残差项为白噪声的过程。白噪声序列的自相关系数在所有滞后期都为零。解析：白噪声序列是时间序列分析中的基准模型，表示数据中没有任何系统性信息。白噪声序列的自相关系数为零，意味着当前值与过去值之间没有任何相关性。5.答案：时间序列分析需要考虑模型的平稳性，因为只有平稳的时间序列才适合进行统计推断和预测。检验时间序列是否平稳的方法包括单位根检验、绘制时间序列图等。解析：平稳性是指时间序列的统计特性（如均值、方差）不随时间变化。非平稳序列需要进行平稳化处理，如差分、对数变换等，才能进行时间序列分析。三、计算题答案及解析1.答案：移动平均法（跨度为3）的平滑销售额计算如下：|年份|季度|销售额（万元）|平滑销售额||------|------|---------------|------------||2020|Q1|120|-||2020|Q2|130|-||2020|Q3|140|130||2020|Q4|150|135||2021|Q1|160|140||2021|Q2|170|145||2021|Q3|180|150||2021|Q4|190|155||2022|Q1|200|160||2022|Q2|210|165||2022|Q3|220|170||2022|Q4|230|175|解析：移动平均法通过计算滑动窗口内的平均值来平滑数据。例如，2020年Q3的平滑销售额为(120+130+140)/3=130万元，2020年Q4的平滑销售额为(130+140+150)/3=135万元，依此类推。2.答案：指数平滑法（平滑系数α=0.3）的平滑降雨量计算如下：|年份|月份|降雨量（毫米）|平滑降雨量||------|------|----------------|------------||2013|1|50|50||2013|2|60|56||2013|3|70|62.8||2013|4|80|68.44||2013|5|90|74.908||2013|6|100|81.7354||2013|7|110|88.81478||2013|8|120|95.05234||2013|9|130|101.5367||2013|10|140|107.5761||2013|11|150|113.5133||2013|12|160|119.0599||2014|1|170|125.7417||2014|2|180|132.7231||2014|3|190|139.8197||2014|4|200|146.4558||2014|5|210|152.8188||2014|6|220|158.8754||2014|7|230|164.5378||2014|8|240|169.5731||2014|9|250|174.3919||2014|10|260|178.9737||2014|11|270|182.8321||2014|12|280|186.5696||2015|1|290|190.6917||2015|2|300|194.3871||2015|3|310|197.8661||2015|4|320|200.9017||2015|5|330|203.8301||2015|6|340|206.2890||2015|7|350|208.4033||2015|8|360|210.2821||2015|9|370|211.9947||2015|10|380|213.3982||2015|11|390|214.6794||2015|12|400|215.7178||2016|1|410|216.7213||2016|2|420|217.7164||2016|3|430|218.5089||2016|4|440|219.2157||2016|5|450|219.8248||2016|6|460|220.2564||2016|7|470|220.5189||2016|8|480|220.6517||2016|9|490|220.6951||2016|10|500|220.6783||2016|11|510|220.6634||2016|12|520|220.6490||2017|1|530|220.6417||2017|2|540|220.6360||2017|3|550|220.6303||2017|4|560|220.6245||2017|5|570|220.6186||2017|6|580|220.6126||2017|7|590|220.6065||2017|8|600|220.6004||2017|9|610|220.5943||2017|10|620|220.5881||2017|11|630|220.5820||2017|12|640|220.5759||2018|1|650|220.5697||2018|2|660|220.5635||2018|3|670|220.5573||2018|4|680|220.5511||2018|5|690|220.5450||2018|6|700|220.5388||2018|7|710|220.5326||2018|8|720|220.5263||2018|9|730|220.5200||2018|10|740|220.5137||2018|11|750|220.5074||2018|12|760|220.5011||2019|1|770|220.4947||2019|2|780|220.4883||2019|3|790|220.4819||2019|4|800|220.4755||2019|5|810|220.4691||2019|6|820|220.4627||2019|7|830|220.4562||2019|8|840|220.4497||2019|9|850|220.4432||2019|10|860|220.4367||2019|11|870|220.4302||2019|12|880|220.4236|解析：指数平滑法通过加权平均来平滑数据，权重随着时间递减。计算公式为：S_t=α*y_t+(1-α)*S_{t-1}。例如，2013年2月的平滑降雨量为0.3*60+0.7*50=56毫米，依此类推。3.答案：ARIMA(1,1,1)模型的拟合及预测步骤如下：（1）计算一阶差分：一阶差分是指当前观测值与前一个观测值的差值。计算公式为：Δy_t=y_t-y_{t-1}。计算结果如下：|年份|年人均GDP（万元）|一阶差分||------|------------------|----------||2010|3.0|-||2011|3.2|0.2||2012|3.4|0.2||2013|3.6|0.2||2014|3.8|0.2||2015|4.0|0.2||2016|4.2|0.2||2017|4.4|0.2||2018|4.6|0.2||2019|4.8|0.2|（2）拟合ARIMA(1,1,1)模型：使用最小二乘法估计模型参数，得到φ_