第4节　随机事件、频率与概率

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布INNOVATIVEDESIGN第4节随机事件、频率与概率202X/01/01汇报人：1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,理解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.CONTENTS目录01知识诊断自测02考点聚焦突破03课时对点精练知识诊断自测01ZHISHIZHENDUANZICE1.样本空间和随机事件(1)样本点和样本空间把随机试验中每一种可能出现的______,都称为样本点,把由所有________组成的集合称为样本空间,常用Ω表示.(2)随机事件①定义:将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件.②表示:大写字母A,B,C,….③随机事件的极端情形:必然事件、不可能事件.结果样本点

定义表示法图示包含关系一般地,如果事件A发生时,事件B一定发生,则称“A包含于B”(或“B包含A”)记作A⊆B(或B⊇A)互斥事件给定事件A,B,若事件A与B不能__________,则称A与B互斥,记作AB=⌀(或A∩B=⌀)若A∩B=⌀,则A与B互斥同时发生2.事件的关系

定义表示法图示对立事件若A∩B=⌀,且A∪B=Ω,则A与B对立不属于A

定义表示法图示并事件给定事件A,B,由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)记作______________交事件给定事件A,B,由A与B中的______样本点组成的事件称为A与B的积(或交)记作_______________A+B(或A∪B)公共AB(或A∩B)3.事件的运算

常用结论与微点提醒×√1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.(

)(2)在大量的重复试验中,概率是频率的稳定值.(

)(3)若随机事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1.(

)(4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.(

)解析随机事件的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,故(1)错误.(4)中,甲中奖的概率与乙中奖的概率相同.√×D2.(人教A必修二P235T1原题)某人打靶时连续射击两次,下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(

) A.至多一次中靶

B.两次都中靶 C.只有一次中靶

D.两次都没有中靶

解析连续射击两次中靶的情况如下:①两次都中靶;②只有一次中靶;③两次都没有中靶,故选D.C3.(北师大必修一P194A组T2改编)下列说法正确的是(

) A.互斥事件与对立事件含义相同 B.互斥事件必是对立事件 C.对立事件必是互斥事件 D.对立事件可以是互斥事件,也可以不是互斥事件

解析互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生.因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.0.7824.(苏教必修二P287T16改编)全班50名学生每人抛掷20枚图钉,最后对全班统计钉尖朝上的频数为782次,由此估计钉尖朝上的概率为

.

考点聚焦突破02KAODIANJUJIAOTUPO例1(2025·泰安调研)在某届足球赛上,a,b,c,d四支球队进入了最后的比赛.在第一轮的两场比赛中,a对b,c对d,然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛,这两场比赛的负者比赛,决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd(表示a胜b,c胜d,然后a胜c,b胜d). (1)写出比赛所有可能的结果构成的样本空间;

解

第一轮的两场比赛中,当a,c胜出时,比赛最终可能结果为acbd,acdb,

cabd,cadb;

第一轮的两场比赛中,当a,d胜出时,比赛最终可能结果为adbc,adcb,dabc,dacb;

第一轮的两场比赛中,当b,c胜出时,比赛最终可能结果为bcad,bcda,cbad,cbda;

第一轮的两场比赛中,当b,d胜出时,比赛最终可能结果为bdac,bdca,dbac,dbca.

则比赛所有可能的结果构成的样本空间为Ω={acbd,acdb,cabd,cadb,adbc,

adcb,dabc,dacb,bcad,bcda,cbad,cbda,bdac,bdca,dbac,dbca}.考点一随机事件与样本空间(2)设事件A表示“a队获得冠军”,写出A包含的所有可能结果;解A包含的所有可能结果为acbd,acdb,adbc,adcb.(3)设事件B表示“a队进入冠亚军决赛”,写出B包含的所有可能结果.解B包含的所有可能结果为acbd,acdb,cabd,cadb,adbc,adcb,dabc,dacb.确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件.(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.思维建模训练1(1)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为(

) A.5

B.6 C.7

D.8

解析因为是有放回地随机摸3次,所以随机试验的样本空间为Ω={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红),(红,黑,黑),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)}.共8个.D(2)在1,2,3,…,10这十个数字中,任取三个不同的数字,那么“这三个数字的和大于5”这一事件是

.(填“必然事件”或“不可能事件”)

解析从1,2,3,…,10这十个数字中任取三个不同的数字,那么这三个数字和的最小值为1+2+3=6,∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生,∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件.必然事件ABD例2(1)(多选)(2025·太原调研)抛掷一枚质地均匀的骰子,定义以下事件:D1=“点数大于2”,D2=“点数不大于2”,D3=“点数大于3”,D3=“点数为4”,则下列结论正确的是(

) A.D3⊆D1

B.D4⊆D3 C.D1∪D3=D3

D.D1∩D2=⌀

解析

D1={3,4,5,6},D2={1,2},D3={4,5,6},D4={4},

根据集合运算,显然A,B,D正确.考点二事件的关系与运算(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球,下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是(

)A.至少有一个红球;至少有一个白球 B.恰有一个红球;都是白球C.至少有一个红球;都是白球 D.至多有一个红球;都是红球解析对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取两球还可能都是红球,故两事件不是对立事件;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件;对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件.B1.利用事件间运算的定义,列出同一条件下的试验所有的样本点,分析并利用这些样本点进行事件间的运算.2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.思维建模训练2(1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A={两弹都击中飞机},事件B={两弹都没击中飞机},事件C={恰有一弹击中飞机},事件D={至少有一弹击中飞机},则下列关系正确的是(

) A.A∩D=⌀ B.B∩D=⌀ C.A∪C=D

D.A∪B=B∪D

解析

“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中, “至少有一弹击中飞机”包含两种情况,一种是恰有一弹击中,另一种是两弹都击中,故A∩D≠⌀,B∩D=⌀,A∪C=D,A∪B≠B∪D.BC(2)(多选)口袋里装有1红,2白,3黄共6个除颜色外完全相同的小球,从中取出两个球,事件A=“取出的两个球同色”,B=“取出的两个球中至少有一个黄球”,C=“取出的两个球至少有一个白球”,D=“取出的两个球不同色”,E=“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是(

)A.A与D为对立事件

B.B与C是互斥事件C.C与E是对立事件

D.P(C∪E)=1解析当取出的两个球为一黄一白时,B与C都发生,B不正确;当取出的两个球中恰有一个白球时,事件C与E都发生,C不正确;显然A与D是对立事件,A正确;C∪E为必然事件,P(C∪E)=1,D正确.AD例3如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间(分钟)10~2020~3030~4040~5050~60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164考点三频率与概率

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;解选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10~2020~3030~4040~5050~60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.解设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择L2.1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数,这个常数就是概率.思维建模投篮次数8101520304050进球次数681217253240进球频率

(1)计算表中进球的频率;

训练3(2025·佛山模拟)某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如表所示:(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?解随着投篮次数的增加,进球次数的频率接近0.8,故这位运动员投篮一次,进球的概率约是0.8.(3)这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能投中8次吗?解若这位运动员投篮10次,不一定会投进8次.因为进球的概率是0.8是通过大量重复实验得到的,而投篮10次是随机的,所以不一定会投进8次,也可能都不进,也可能都进.课时对点精练03KESHIDUIDIANJINGLIAN一、单选题1.从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,是必然事件的为(

) A.3个都是篮球

B.至少有1个是排球

C.3个都是排球

D.至少有1个是篮球

解析

A,B是随机事件,C是不可能事件,D是必然事件.D

C

D4.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则(

) A.A⊆B B.A=B C.A+B表示向上的点数是1或2或3 D.AB表示向上的点数是1或2或3

解析由题意,可知A={1,2},B={2,3},

则AB={2},A+B={1,2,3},

∴A+B表示向上的点数是1或2或3.C5.(2025·兰州质检)打靶3次,事件Ai表示“击中i次”,其中i=0,1,2,3,那么A=A1∪A2∪A3表示(

) A.全部击中 B.至少击中1次 C.至少击中2次 D.以上均不正确

解析由题意可得,事件A1,A2,A3是彼此互斥事件,且A0∪A1∪A2∪A3为必然事件,A=A1∪A2∪A3表示的是打靶至少击中一次.B

B

C8.某超市计划按月订购一种冷饮,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25℃,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,需求量为300瓶;如果最高气温低于20℃,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划,统计了前三年6月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:B用最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1,则x=(

)A.100 B.300 C.400

D.600最高气温[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数45253818

二、多选题9.(2025·武汉段考)从5名女生和4名男生中任选两个人参加某项活动,有如下随机事件:A=“至少有1名女生”,B=“至少有1名男生”,C=“恰有1名男生”,D=“两名都是女生”,E=“恰有1名女生”,下列结论正确的是(

) A.C=E B.A=B C.D∩E≠⌀ D.B与D互为对立事件AD解析对于A,“恰有1名男生”与“恰有1名女生”是同一个事件,即C=E,A正确;对于B,事件A=“至少有1名女生”包含“1名女生和1名男生”、“两名女生”两种情况,事件B=“至少有1名男生“包含”“1名男生和1名女生”、“两名男生”两种情况,故A≠B,B错误;对于C,事件D=“两名都是女生”,事件E=“恰有1名女生”=“1名女生,1名男生”两个事件互斥,故D∩E=⌀,C错误;对于D,样本空间Ω={“两名女生”、“1名女生,1名男生”、“两名男生”},故B与D互为对立事件,D正确.序号n=20n=100n=500频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.52410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.50610.利用计算机模拟掷两枚硬币的试验,在重复次数为20,100,500的试验中各取5组,得到事件A=“一个正面朝上,一个反面朝上”发生的频数和频率表如下:根据以上信息,下面说法正确的有(

)A.试验次数相同时,频率可能不同,说明随机事件发生的频率具有随机性B.试验次数较少时,频率波动较大;试验次数较多时,频率波动较小,所以试验次数越少越好C.随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近D.我们要得到某事件发生的概率,只需要做一次随机试验,得到事件发生的频率即为概率AC解析试验次数相同时,频率可能不同,说明随机事件发生的频率具有随机性,故A正确;试验次数较少时,频率波动较大,试验次数较多时,频率波动较小,所以试验次数越多越好,B错误;随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近,此固定值就是概率,C正确;我们要得到某事件发生的概率,需要进行多次试验才能得到概率的估计值,故D错误.11.(2025·重庆诊断)小张上班从家到公司开车有两条线路,所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如表所示:BD所需时间(分钟)30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是(

)A.任选一条线路,“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B.从所需的平均时间看,线路一比线路二更节省时间C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司,小张应该走线路一D.若小张上、下班走不同线路,则所需时间之和大于100分钟的概率为0.08解析“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件,A错误;线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+60×0.1=39(分钟),线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40(分钟),所以B正确;线路一所需时间小于45分钟概率为0.7,线路二所需时间小于45分钟概率为0.8,小张应选线路二,故C错误;所需时间之和大于100分钟则线路一,线路二的时间可以为(上班线路一50,下班线路二60),(上班线路一60,下班线路二60),(上班线路一60,下班线路二50),(上班线路二60,下班线路一50),(上班线路二60,下班线路一60),(上班线路二50,下班线路一60),共6种情况,概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1+0.1×0.2+0.1×0.1+0.1×0.1=0.08,故D正确.三、填空题12.笼子中有4只鸡和3只兔,依次取出一只,直到3只兔全部取出,记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω=

.

{0,2,4,6,8}解析最少需要取3次,最多需要取7次,那么剩余鸡的只数最多4只,最少0只,所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.

污染指数T3060100110130140概率P其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为轻微污染,则该城市2024年空气质量达到良或优的概率为

.

13.某城市2024年的空气质量状况如表所示:14.(2025·石家庄质检)为了解某中学学生遵守《中华人民共和国道路交通安全法》的情况,调查部门在该校进行了如下的随机调查,向被调查者提出两个问题:

(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“不是”,因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题,所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人(学号从1至1200)中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是

.

132

四、解答题15.(2025·湖州调考)在试验E:“连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子2次,观察每次掷出的点数”中,事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,事件Aj(j=1,2,3,4,5,6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j”,事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”,事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”. (1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B;

解由题意可知试验E的样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.解因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有(1,1),(1,2)