2026年新高考数学专题复习 47.递推公式求通项的十大类型

47.递推公式求通项的十种类型一．等差数列与等比数列类型1.等差数列相邻两项递推形式为常数，）或者相邻三项递推形式.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式即可解决！例1.已知数列的前项和为，满足，，则（

）A． B． C． D．解析∵，－=1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴，即，∴（）.当时，也适合上式，.故选A.类型2.等比数列相邻两项递推或.或者相邻三项递推.特别地，在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即，我们可以对其赋值得到一个等比数列.例2．数列中，，对任意有，若，则（

）A． B． C． D．解析由任意都有，所以令，则，且，所以是一个等比数列，且公比为，则所以，故选D.二．隔项成等差（等比）数列1.在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即，它可以得到两个子数列分别是公差为的等差数列.若,则当时,,两式相减得,即数列与数列均是公差为的等差数列.2.在等比数列中，有一类比较特殊的递推类型，即，它可以得到两个子数列分别是公差为的等比数列.若,则,两式相除得,即数列与数列均是公比为的等比数列.例3．已知数列的前n项和为，且，，则数列的前2021项的和为(

)A． B． C． D．解析∵，，∴，解得．，∴，两式相减，得，数列的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，当为偶数时，．当为奇数时，为偶数，∴根据上式和(*)知，数列的通项公式是，易知是以2为首项，2为公差的等差数列，故，，设的前n项和为，则．故选A．例4．数列中，．求的通项公式；解析（1）由①②，②-①，∴的奇数项与偶数项各自成等差数列，由，∴，∴，∴，n为奇数，，∴，n为偶数．∴.例5．已知数列满足且，．求通项；解析当为奇数时，由知数列是公差为2的等差数列，，∴，为奇数；当为偶数时，由知数列是公比为2的等比数列，，∴，为偶数∴.三.累加型 累加所以,当时也成立.下面,我们通过实例展示例6．若数列满足，．求的通项公式.解析：因为，，所以，故.例7．已知数列满足，，则下列正确的是（

）A． B． C． D．解析：∵，等式两边同除以，∴，可得到，，…，，利用累加法，可得到，即，又∵，所以.，∴，故A正确；，∴，故B错误；，∴，故C错误，，∴，故D错误.故选A例9．设数列满足，，则数列的通项公式为（

）．A． B．C． D．解析：，所以当时，，，，，将上式累加得，，即，又时，也适合，．故选B．已知数列满足，，则A． B． C． D．解析数列满足，，，，，，……，累加得，又，，.故选B.四.()累乘型.已知的形式,当时,变形得到,则由累乘法可得： 例11．数列及其前n项和为满足，当时，，则（

）A． B． C． D．解析当时，，即，所以累乘得，又，所以所以则.故选C.例12．数列及其前n项和为满足，当时，，则（

）A． B． C． D．解析：当时，，即所以累乘得，又，所以，所以则.故选C.五.型（待定系数法）一般形式为常数，，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数，，令，则为等比数列，求出，再还原到，.例13．在数列中，，．求的通项公式.解析依题意，数列中，，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.例14.(2014年新课标全国1卷)已知数列满足，证明是等比数列，并求的通项公式.解析显性构造，，.例15．已知数列中，，，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．解析：，又，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，故选D.六.型例16．已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式；解析∵，∴，∴，又∵，故是以2为首项，2为公比的等比数列．，则．七.型.方法1.数学归纳法.方法2.，令，则，用累加法即可解决！（公众号凌晨讲数学）例17.(2020年新课标全国3卷)设数列满足，.（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前n项和.解析方法1归纳法.（1）猜想得，，…….因为，所以方法2构造法.由可得，累加可得.（2）由（1）得，所以.①.②得，类型8.型例8．已知数列满足，，求数列的通项公式.因为，所以，即，又，所以，所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，所以，故，所以数列的通项公式为.例19.在数列中，已知，，，则等于（

）A． B． C． D．解析：

，，所以是以为首项，公差为的等差数列，，故选:B九.已知与关系，求.（公众号凌晨讲数学）解题步骤第1步当代入求出；第2步当，由写出；第3步（）；第4步将代入中进行验证，如果通过通项求出的跟实际的相等，则为整个数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式，在本考点应用过程中，具体又可分为三个角度，第一，消留，第二个角度，消留，第三个角度，级数形式的前n项和，下面我们具体分析.例13．已知数列的前项和为，，.证明数列是等差数列.证明∵，∴，易知，∴，∴数列是公差为2的等差数列.例14．设数列的前项和为，且满足，.求.解析因为,所以，则，，即为首项为，公差为的等差数列，则，故.例15．已知数列满足．求数列的通项公式.解析，①当时，．当时，，②由①-②，得，因为符合上式，所以．例16.（2022新高考1卷）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．求得通项公式.解析，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以．当时，，所以，即（）；累积法可得（），又满足该式，所以得通项公式为．例17．已知数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．解析：因为，则，于是得，因此数列是公差为1的等差数列，首项，则，所以.故选D例18.已知数列中，，则等于（

）A． B． C． D．【详解】当时，，当时，因为，所以，两式相减得，经验证时，，符合，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故选A.九．已知前项积求.例19．已知数列满足．若对任意，（且）恒成立，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．解析：当时，由，得，两式相除得，也适合，所以，因为对任意，（且）恒成立，所以，所以，当时，由，得，则，当时，由，得，则，综上，故选A例20.记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明数列是等差数列;（2）求的通项公式．解析由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于，所以，即,其中，所以数列以为首项，以为公差等差数列.（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.十.特征方程法（强基层次）型.（选学）求解方程，根据方程根的情况，可分为（1）若特征方程有两个相等的根，则（2）若特征方程有两个不等的根，则例21．已知数列满