2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（湘教版）-7 第四节　复　数

第四节复数【课程标准】1.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义.1.复数的有关概念2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a，b)；(2)复数z=a+bi平面向量OZ.[微提醒]复数z=a+bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi).3.复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加、减法可按向量的加、减法进行，且复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ=OZ1+OZ(3)复数加法的运算律复数的加法满足交换律和结合律，即对任何复数z1，z2，z3，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(4)复数乘法的运算律复数的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律，即对任何复数z1，z2，z3，有z1·z2=z2·z1，(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)，z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.【常用结论】(1)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=－1，i4n+3=－i，i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N+).(2)1±i2=±2i，1+i1－i=i，1(3)z·z=|z|2=|z|2，|z1·z2|=|z1|·|z2|，z1z2=|z1||z(4)对于任意复数z1，z2，都有|z1+z2|2+|z1－z2|2=2|z1|2+2|z2|2.(5)复数z的方程在复平面上表示的图形①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界；②|z－(a+bi)|=r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.【自主检测】1.(多选)下列结论错误的是()A．复数z=a－bi(a，b∈R)中，虚部为bB．复数可以比较大小学生用书⬇第169页C．已知z=a+bi(a，b∈R)，当a=0时，复数z为纯虚数D．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模答案：ABC2.若复数z=(x2－1)+(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1 B．0C．1 D．－1或1答案：A解析：因为z为纯虚数，所以x2－1=0，x－1≠0，所以3.若z=3+4i，则|z|=()A．5 B．5 C．7 D．25答案：B解析：因为z=3+4i，所以|z|=32+42=54.已知复数z满足(2－i)z=1－2i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：A解析：由(2－i)z=1－2i得z=1－2i2－i=(1－2i)(2+i)(2－i)(2+i)=45－355.(用结论)i为虚数单位，则1+i1－i2答案：i解析：由结论(2)可得1+i1－i=i，又i2025=i4×506+1，由结论(1)可知原式考点一复数的概念自主练透1.复数1+i1－i(i为虚数单位)的共轭复数的虚部为A．1 B．－1 C．i D．－i答案：B解析：因为1+i1－i=1+i21－i1+i=1+2i+i22=i，2.(2023·全国甲卷)设a∈R，(a+i)(1－ai)=2，则a=()A．－2 B．－1 C．1 D．2答案：C解析：因为(a+i)(1－ai)=a－a2i+i+a=2a+(1－a2)i=2，所以2a=2，1－a2=03.(2025·河南新乡模拟)已知z=(1－3i)(a+i)(a∈R)为纯虚数，则a=()A．3 B．－3 C．13 D．－答案：B解析：依题意，z=(a+3)+(1－3a)i，由z是纯虚数，得a+3=0，1－3a≠0，所以4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=－1－i，则z=()A．0 B．1 C．2 D．2答案：C解析：若z=－1－i，则z=－12+－125.已知复数z满足z+iz=i，则z=答案：12+1解析：由z+iz=i，得z+i=zi，所以z=－i1－i=－i(1+i)(1－解决复数概念问题的方法及注意事项

1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

2.解题时一定要先看复数是否为a+bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.

3.复数的概念中的常用性质

(1)z1±z2=z1±z2；z1·z2=z1·z2；z1z2=z1z2(z2≠0)；

(2)|z|=|z|，|z2|=|z|2=z·z，|z1·z2|=|z考点二复数的四则运算师生共研(1)(2025·沈阳质量监测(三))已知复数z=1－i1+i2，则z=A．i B．－i C．1 D．－1(2)(2024·新课标Ⅰ卷)若zz－1=1+i，则z=A．－1－i B．－1+iC．1－i D．1+i(3)已知复数z=1+2i1－i，则1+z+z2+…+z2025=A．1+i B．1－iC．i D．1答案：(1)D(2)C(3)A解析：(1)依题意，1－i1+i=(1－i)(1－i)(1+i)(1－i)=－2i2(2)因为zz－1=z－1+1z－1=1+1z－1=1+i，所以z=(3)法一：因为z=1+2i1－i=1+2i(1+i)2=i，所以1+z+z2+…+z2025=1－z20261－z=法二：因为z=1+2i1－i=1+2i(1+i)2=i，所以1+z+z2+…+z2025=1+i+i2+…+i2025=506×(1+i－1－i)+1+i=复数代数形式运算问题的解题策略

复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用加减法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式

学生用书⬇第170页对点练1.(1)(2025·河南三门峡模拟)(2+2i)(1－2i)等于()A．－2+4i B．－2－4iC．6+2i D．6－2i(2)(2025·广西贺州模拟)已知复数z=1+i(i是虚数单位)，则z2+2z－A．2+2i B．2－2i C．2i D．－2i(3)(2025·江西九江模拟)设复数z满足1+2z1－z=i，则zA．15+35i B．C．－15+35i D．－(4)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=1－i2+2i，则z－z=A．－i B．i C．0 D．1答案：(1)D(2)B(3)C(4)A解析：(1)(2+2i)(1－2i)=2－4i+2i+4=6－2i.故选D．(2)z2+2z－1=1+i2+21+i－1=2+2i(3)由1+2z1－z=i，得1+2z=i－iz，所以z=－1+i2+i=－1+i2－i(4)因为z=1－i2+2i=(1－i)(1－i)2(1+i)(1－i)=－2i4=考点三复数的几何意义师生共研(1)(2021·新高考Ⅱ卷)在复平面内，复数2－i1－3iA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)已知|z|=2，则|z+3－4i|的最大值是.

(3)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=3+i，则|z1－z2|=.

答案：(1)A(2)7(3)23解析：(1)2－i1－3i=(2－i)(1+3i)(1－3i)((2)设z=x+yi，x，y∈R，则有x2+y2=2，即x2+y2=4，则z在复平面中的点P(x，y)在以(0，0)为圆心，2为半径的圆周上.z+3－4i=(x+3)+(y－4)i，|z+3－4i|=x+32+y－42，表示P(x，y)与点A(－3，4)的距离，如图所示，由图可知，|AP|max=－3－02+4－0(3)如图所示，设复数z1，z2所对应的点为Z1，Z2，则OP=OZ1+OZ2.由已知|OP|=3+1=2=|OZ1|=|OZ2|，所以平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，所以∠Z1OZ2=120°，|Z1Z2|2=|OZ1|2+|OZ2|2－2|OZ1|·|OZ2|cos120°=22+22－2×2×2×－12=12，所以|z1－z2|=|Z1Z2复数几何意义的理解及应用

1.复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z=a+bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ=(a，b).

2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

对点练2.(1)(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1+3i)(3－i)对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)(2025·江西重点中学协作体联考)在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数z·(1+i)2026对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：(1)A(2)D解析：(1)因为(1+3i)(3－i)=3+8i－3i2=6+8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限.故选A．(2)因为(1+i)2026=1+i21013=2i1013=21013i1013=21013i1012i=21013i，因为复数z对应的点在第三象限，所以设z=a+bi(a<0，b<0)，所以z·(1+i)2026=z·21013i=21013i(a+bi)=21013(－b+ai)，因为a<0，b<0，所以－b>0，所以z·(1+i)2[真题再现](2023·全国甲卷)5(1+i3A．－1 B．1 C．1－i D．1+i答案：C解析：5(1+i3)(2+i)(2－i)[教材呈现](湘教版必修二P128T5(3))计算：(3)(1点评：该高考题和教材习题考查的角度完全相同，都是简单的复数除法运算.课时测评51复数对应学生(时间：60分钟满分：100分)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!)(每小题5分，共50分)1.(2024·全国甲卷理)若z=5+i，则iz+z=(A．10i B．2i C．10 D．2答案：A解析：由z=5+i⇒z=5－i，z+z=10，则iz+z=10i.故选2.(2025·河南九师联盟)已知复数1+ai1+ia∈RA．2 B．1 C．－1 D．－2答案：C解析：1+ai1+i=1+ai1－i1+i1－i=1+3.(2022·全国甲卷)若z=1+i，则|iz+3z|=()A．45 B．4C．25 D．2答案：D解析：因为z=1+i，所以iz+3z=i(1+i)+3(1－i)=－1+i+3－3i=2－2i，所以|iz+3z|=|2－2i|=22+(－2)4.(2025·江西名校联盟)已知z=2－ii，则z2+z=A．－4+6i B．－2+2iC．－4+2i D．－2+6i答案：A解析：z=2－ii=2－iii2=－1－2i，所以z2+z=1－4+4i－1+2i=5.(2025·江苏南京六校联考)复数z满足z2+3i=1+i2025，则复数z对应点位于(A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：B解析：由题意得，由z2+3i=1+i2025=1+i2024·i，可得z=1+i2+3i=－1+5i，对应点－1，56.(多选)(2025·山东济南调研)设复数z1=2－i，z2=2i(i为虚数单位)，则下列结论正确的为()A．z2是纯虚数B．z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限C．|z1+z2|=3D．z1=2+答案：AD解析：对于A，z2=2i，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，故A正确；对于B，z1－z2=2－3i，其在复平面内对应的点为(2，－3)，位于第四象限，故B错误；对于C，z1+z2=2+i，则|z1+z2|=4+1=5，故C错误；对于D，z1=2－i，则z1=2+i，故D正确.故选AD7.(多选)(2025·江苏徐州模拟)已知复数z在复平面内对应的点为－12，3A．z=1 B．z+z=1C．z2+z+1=0 D．z2024=z答案：ACD解析：由题可知，z=－12+32i，z=122+322=1，故A正确；z=－12－32i，z+z=－1，故B错误；z2=－12+32i2=14－34－32i=－12－32i，所以z2+z+1=－1+1=0，故C正确；z3=z2·z=－12－32i8.(多选)(2024·河北邯郸三模)已知复平面内复数z1对应向量OZ1=1，－3，复数z2满足|z2|=2，z1是A．|z1|=|OZ1| B．zC．z2z1=4 D．|z1z2答案：ABD解析：依题意，z1=1－3i，则|z1|=|OZ1|=2，故A正确；又z1=1+3i，z12=－2+23i，z12=－2－23i，z12=－2+23i，即z12=z12，故B正确；设z2=a+bi(a，b∈R)，由|z2则z2z1=a+bz2z=a=a=4a2+b24=4×44z1z2=1－3ia+b|z1z2|=|a+3b+=a=a=4a2+b2=4×4=4.故D9.(2024·江苏扬州第二次调研)设m∈R，i为虚数单位.若集合A={1，2m+(m－1)i}，B={－2i，1，2}，且A⊆B，则m=.

答案：1解析：集合A={1，2m+(m－1)i}，B={－2i，1，2}，且A⊆B，则有2m+(m－1)i=－2i或2m+(m－1)i=2，解得m=1.10.设m为实数，复数z1=1+i，z2=m+3i(其中i为虚数单位)，若z1·z2为纯虚数，则m的值为.答案：－3解析：由题意得z2=m－3i，因为z1·z2=1+im－3i=m+3+(m－3)i为纯虚数，所以m(每小题8分，共32分)11.(2025·山东济南模拟)已知复数z1，z2是关于x的方程x2－2x+3=0的两根，则z1z2的值为()A．－3 B．－2 C．2 D．3答案：D解析：法一：由x2－2x+3=0，得z1=1+2i，z2=1－2i，所以z1z2=1+2i1－2i法二：方程x2－2x+3=0，由韦达定理可得z1z2=31=3.故选D12.(多选)(2024·九省适应性测试)已知复数z，w均不为0，则()A．z2=|z|2 B．zz=C．z－w=z－w D答案：BCD解析：对于A，设z=a+bia，b∈R，则z2=a+bi2=a2+2abi－b2=a2－b2+2abi，|z|2=a2+b22=a2+b2，故A错误；对于B，zz=z2z·z，又z·z=z2，即有zz=z2|z|2，故B正确；对于C，设w=c+dic，d∈R，z－w=a+bi－c－di=a－c+b－di，则z－w=a－c－b－di，z=a－bi，w=c－di，则z－w=a－bi－c+di=a－c－b－di，即有z－w=z－w，13.(新定义)在复平面内，复数z=a+bia，b∈R对应向量OZ(O为坐标原点)，设OZ=r，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z=r(cosθ+isinθ)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1=r1cosθ1+isinθ1，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1z2=r1r2[cosθ1+θ2+isinθ1+θ2]，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[rcosθ+isinθ]n=rncosnθ+isinnθ.已知z=3+i4，则z=；若复数答案：16cosπ3+isinπ3(解析：因为3+i=2cosπ6+isinπ6，所以z=3+i4=24cos23π+isin23π，则z=z=24=16.由题意知ω6=1，设ω=cosθ+isinθ，则ω6=cos6θ+isin6θ=1，所以sin6θ=0，cos6θ=1，又ω∉R，所以sinθ≠014.(多选)(2025·广东佛山二模)设z，z1，z2为复数，且z1≠z2，下列命题中正确的是()A．若z1=z2，则z1=B．若|z1－z2|=|z1+z2|，则z1z2=0C．若zz1=zz2，则z=0D．若|z－z1|=|z－z2|，则z在复平面内对应的点在一条直线上答案：ACD解析：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z=a+bi，a1，b1，a2，b2，a，b∈R，对于A，若z1=z2，即z1=a1－b1i=a2+b2i=z2，则a1=a2，b1=－b2，所以z1=a1+b1i=a2－b2i=z2，即z1=z2，故A正确；对于B，若z1=1，z2=i，则|z1－z2|=|z1+z2|=2，而z1z2=i≠0，故B错误；对于C，zz1=(a+bi)(a1+b1i)=(a1a－b1b)+(a1b+ab1)i，zz2=(a+bi)(a2+b2i)=(a2a－b2b)+(a2b+ab2)i，所以