天津市2025年高三数学秋季开学摸底考（解析版）

2/15试卷第=page1414页，共=sectionpages1515页2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷数学（天津卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，，则（）。A． B． C． D．答案:D详解:解：因为，，所以.故选：D.2．设，则“”是“且”的（）。A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件答案:B详解:对于充分性：当，时，满足，不满足且，故充分性不成立，对于必要性，当且时，满足，故必要性成立，则“”是“且”的必要非充分条件，故B正确.故选：B3．函数的大致图象是（）。A． B．C． D．答案:B详解:的定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数，图象关于轴对称，故C错误；当时，，故D错误；，当，，单调递增，当，，单调递减，再根据对称性，故B正确.故选：B.4．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（）。①若，则为异面直线

②若，则③若，则

④若，则⑤若，则A．1 B．2 C．3 D．4答案:C详解:对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误；对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确；对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确；对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误.对⑤：若，则存在且，因为，，所以，又因为，所以，故⑤正确.故选：C.5．下列关于统计概率知识的判断，则下列结论正确的是（）。①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4；②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1；③若事件，满足，则事件与事件相互独立；④某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第百分位数为．A．只有一个正确 B．只有两个正确C．只有一个错误 D．四个题是错误的答案:B详解:对于命题①，因为样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的方差为，标准差为，所以命题①正确，对于命题②，相关关系越强，相关系数越接近于1，所以命题②错误，对于命题③，因为，得到，则事件与事件相互独立，所以命题③正确，对于命题④，将数据从小排到大得到，又，所以该样本数据的第百分位数为，故命题④错误，故选：B.6．函数的零点所在区间为（）。A． B． C． D．答案:C详解:函数在上都单调递增，则函数在定义域上单调递增，而，，所以的零点所在区间为.故选：C7．已知数列满足，，若，则（）。A． B． C． D．答案:D详解:依题意，，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，则．因为，故，则．故选：D.8．若函数（，，）的图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则为（）。A． B． C． D．答案:C详解:函数的图象上有两个相邻顶点为，，所以最高点坐标为，最低点坐标为，所以函数的周期为，又因为函数过可得，所以，，，的解析式为，将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，所以.故选：C9．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（）。A． B． C．2 D．答案:C详解:

由题意得，，双曲线的渐近线方程为，如图，不妨设点在直线上，即点在直线上，则，在直角中，，所以，故，在中，，所以，所以，故椭圆的离心率.故选：C.第Ⅱ卷填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。10．已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数．答案:详解:，因为纯虚数，则.故答案为：11．的展开式中的常数项为．答案:详解:的展开式的通项公式为，，令，则，所以展开式中常数项为.故答案为：.12．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是.答案:详解:由直线l：，得直线l恒过定点，由圆C：，得，圆心，半径为，又，即点在圆内，当直线l经过圆心时，，当直线时，，则，所以的取值范围是.故答案为：.13．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为，且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为答案:0.70.22.详解:设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件，则，所以，所以，若无人机恰好被一人击中，即事件，则，若无人机被两人击中，即事件，则，所以.故答案为：，14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．答案:详解:以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，因为，则，所以；因为点在线段上，设，且为中点，则，可得，则，且，所以当时，取到最小值为；故答案为：；.15．已知函数，若有6个零点，则实数m的取值范围为.答案:详解:因为当时，，可知函数在内单调递减，且，作出函数的图象，如图所示：令，因为有6个零点，可知有两不同的实数根，所以，解得或，令，结合函数的图象可知：当，时，则，解得；当时，则，解得；综上所述：实数m的取值范围为.故答案为：.三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16．在中，，，所对的边分别为，，，已知，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．详解:（1）由已知结合正弦定理角化边可得，又，所以，.（2）由（1）结合余弦定理可得，.又，所以为锐角，所以，.（3）由（2）知，，，所以，，所以，.17．如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．详解:（1）证明：在中，因为，且为的中点，所以，在矩形中，因为和分别为和的中点，可得，因为平面，且平面，可得，所以，又因为，且平面，所以平面.（2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，设平面的法向量为，则取，可得，所以；因为平面，且平面，可得，又因为，且，平面，所以平面，即平面，所以为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值.（3）解：因为为的中点，可得，所以，由（2）知，平面的法向量为，设点到平面的距离为，则.

18．椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为．(1)求椭圆的标准方程及离心率；(2)过点的直线交椭圆于、两点，面积为，求的方程．详解:（1）由题意得，，解得，故，故椭圆的标准方程为，离心率为；（2）由题意，直线斜率不存在时，不能构成，故设直线方程为，联立得，，设，，解得或，则，所以，设到直线的距离为，则，所以，解得，所以直线的方程为或.19．已知数列满足：①，是的前n项和；②对于，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，，…，；③，，…，与，，…，一起恰好组成数列．(1)求，的值．(2)（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）对于数列，若，，证明：当时，．详解:（1）令，显然，由，.（2）（i）由按上述规则产生共个正整数，而产生共个正整数则个正整数包含①，②，故，，当时，又，.(ii)由，当时，，由，当时，令，，，，.20．已知函数是函