线性代数期末考试试题及答案c1

线性代数期末考试试题及答案c1

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.二阶行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值为（）A.-2B.2C.10D.-102.设\(A\)是\(n\)阶方阵，若\(\vertA\vert=0\)，则（）A.\(A\)的列向量组线性无关B.\(A\)的行向量组线性无关C.\(A\)不可逆D.\(A\)是零矩阵3.向量组\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)的秩为（）A.1B.2C.3D.04.设\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A\vert=（）A.4B.8C.16D.325.齐次线性方程组\(Ax=0\)（\(A\)为\(m\timesn\)矩阵）有非零解的充分必要条件是（）A.\(r(A)=n\)B.\(r(A)\ltn\)C.\(r(A)=m\)D.\(r(A)\ltm\)6.若矩阵\(A\)与\(B\)相似，则（）A.\(A=B\)B.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)C.\(A\)与\(B\)有不同的特征值D.\(A\)与\(B\)的秩不同7.设\(A\)是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.\(\vertA\vert^2=1\)B.\(A^T=A^{-1}\)C.\(A\)的列向量组是单位正交向量组D.\(A\)一定是对称矩阵8.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2\)的矩阵是（）A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&4\\4&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1\\4&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}\)9.设\(\lambda\)是矩阵\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\(A\xi=\xi\)C.\(\lambdaA=\xi\)D.\(\lambda\xi=A\)10.若\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)的秩为（）A.0B.1C.\(n-1\)D.\(n\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些是矩阵的初等行变换（）A.交换两行B.某行乘以非零常数C.某行乘以常数加到另一行D.交换两列2.设\(A,B\)为\(n\)阶方阵，则（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.若\(AB=0\)，则\(A=0\)或\(B=0\)3.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关的充分必要条件是（）A.存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示C.向量组的秩小于\(s\)D.向量组中任何一个向量都可由其余向量线性表示4.设\(A\)为\(n\)阶方阵，以下哪些说法等价于\(A\)可逆（）A.\(\vertA\vert\neq0\)B.\(r(A)=n\)C.\(A\)的列向量组线性无关D.\(Ax=0\)只有零解5.关于矩阵的特征值与特征向量，下列说法正确的是（）A.不同特征值对应的特征向量线性无关B.一个特征值可以对应多个线性无关的特征向量C.特征值的和等于矩阵的迹D.特征值的积等于矩阵的行列式6.下列矩阵中，哪些是对称矩阵（）A.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)，下列说法正确的是（）A.其矩阵为\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)B.该二次型是正定的C.该二次型的秩为1D.可通过正交变换化为标准形8.设\(A,B\)为同阶方阵，且\(A\)与\(B\)相似，则（）A.\(A\)与\(B\)有相同的特征多项式B.\(A\)与\(B\)有相同的特征值C.\(A\)与\(B\)有相同的秩D.\(A\)与\(B\)合同9.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，向量组\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3\)，\(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1\)，则（）A.向量组\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)线性无关B.向量组\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)线性相关C.\(r(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=3\)D.\(r(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=2\)10.对于\(n\)阶方阵\(A\)，以下哪些运算结果仍为\(n\)阶方阵（）A.\(3A\)B.\(A^T\)C.\(A^{-1}\)（若\(A\)可逆）D.\(A^\)三、判断题（每题2分，共10题）1.若\(A,B\)为\(n\)阶方阵，则\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)。（）2.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩为\(r\)，则其中任意\(r\)个向量都线性无关。（）3.一个\(n\)阶方阵\(A\)的特征值一定是实数。（）4.正交矩阵的行列式的值为\(1\)或\(-1\)。（）5.若\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(r(A)=n-1\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)的秩为\(1\)。（）6.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\)（\(A\)为对称矩阵），其标准形是唯一的。（）7.若矩阵\(A\)与\(B\)等价，则\(A\)与\(B\)一定相似。（）8.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则\(k\xi\)（\(k\neq0\)）也是\(A\)对应于\(\lambda\)的特征向量。（）9.零向量一定是齐次线性方程组\(Ax=0\)的解。（）10.若\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵，则\(A\)可以表示为有限个初等矩阵的乘积。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述矩阵可逆的充要条件。答：\(n\)阶方阵\(A\)可逆的充要条件是\(\vertA\vert\neq0\)；或\(r(A)=n\)；或\(A\)的列（行）向量组线性无关；或\(Ax=0\)只有零解；或\(A\)可表示为有限个初等矩阵的乘积。2.求向量组\(\alpha_1=(1,1,0),\alpha_2=(1,0,1),\alpha_3=(0,1,1)\)的秩。答：将向量组按列构成矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\)，对\(A\)进行初等行变换化为行阶梯形矩阵\(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&-1&1\\0&0&2\end{pmatrix}\)，非零行有3行，所以向量组的秩为3。3.写出二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-2x_1x_3+6x_2x_3\)的矩阵。答：二次型矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&2&-1\\2&3&3\\-1&3&5\end{pmatrix}\)。4.已知矩阵\(A\)的一个特征值\(\lambda\)及对应的特征向量\(\xi\)，如何验证？答：计算\(A\xi\)，若\(A\xi=\lambda\xi\)成立，则\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论矩阵的相似与合同的关系。答：相似与合同是不同概念。相似矩阵有相同特征值，合同矩阵有相同的正负惯性指数。正交相似时，相似与合同等价。一般情况下，相似不一定合同，合同也不一定相似。2.阐述线性方程组有解的判定方法及解的结构。答：对于\(Ax=b\)，\(r(A)=r(A|b)\)时有解，\(r(A)\ltr(A|b)\)时无解。有解时，若\(r(A)=n\)（\(n\)为未知数个数）有唯一解；若\(r(A)\ltn\)有无穷多解，通解为特解加上对应齐次方程基础解系的线性组合。3.如何利用正交变换将二次型化为标准