2024-2025学年河南省安阳市滑县部分学校高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省安阳市滑县部分学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=1−ii2025在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知α，β为两个不同的平面，则α/​/β的必要不充分条件是(

)A.α，β平行于同一条直线 B.α，β平行于同一平面

C.α内有无数条直线与β平行 D.α内有两条相交直线与β平行3.在△ABC中，BD=13BC，AE=13A.49 B.23 C.434.如图是一个古典概型的样本空间Ω和随机事件A，B，其中样本空间Ω包含的样本点个数n(Ω)=40，n(A)=20，n(B)=15，n(A∩B)=5，则P(A−B−

A.14 B.13 C.125.在△ABC中，sinA=sinC−sinBcosB−cosC，则△ABC的形状为(

)A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形6.已知甲、乙两袋中均装有若干个大小相同的红球和白球，从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋中各摸出一个球，则2个球中恰有1个红球的概率为(

)A.14 B.13 C.127.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，P，Q分别在B1C，C1D1上，且BA.5

B.352

C.8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记BC边上的高为ℎ，若A为锐角，b=2asinB，则ℎaA.22 B.2+12 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=(1+i)(i−2)，则(

)A.复数z的虚部为−1 B.|z|=10

C.复数z的共轭复数为3−i 10.某中学高三学生有1000人，其中男生有600人，女生有400人，现采用分层随机抽样方法抽取了容量为100的样本，经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为28cm2；女生身高样本均值为160cm，方差为18cm2A.男生身高的样本容量为60 B.每个男生被抽入到样本的可能性均为35

C.所有样本的均值为166cm D.所有样本的方差为11.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是(

)A.圆锥SO的侧面积为2π

B.三棱锥S−ABC体积的最大值为223

C.若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为22+3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球(球除颜色外，其余完全相同)，则至少抽到1个黑球的概率为______．13.已知等边△ABC的边长为1，PC⊥平面ABC，且PC=1，则点C到平面PAB的距离为______．14.高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B，E，F为山的两侧共线的三点，且与山脚CD处于同一水平线上，在山顶A处测得B，E，F三点的俯角分别为30°，60°，45°，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC，DE，EF三条线段的长度分别为4，2，3，则隧道CD的长度为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z1=a+2i，z2=2−i，a∈R．

(1)当a=−1时，求z1⋅z−2的值；

(2)若z1+16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=45．

(1)若△ABC的面积为2，求AB⋅AC的值；

(2)设m=(sinB2,cosB)17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PCD，PA=PD=4,AB=13,∠ADC=90°．

(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；

(2)若E是棱PA的中点，且BE//平面PCD，求异面直线BE与18.(本小题17分)

某校在2025年高三二轮复习备考中，年级备课组命制了一套与数学新定义有关的专题训练卷(满分100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试.现从全部高三年级学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，并将成绩按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成了5组.制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．

(1)求频率分布直方图中的x的值：

(2)估计所抽取的100名学生成绩的平均数、中位数；(同一组中的数据用该组所在区间的中点值作代表)

(3)若按人数比例用分层随机抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求成绩在[70,80)内的至少有2人被抽到的概率．19.(本小题17分)

阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1−12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+∠Q3PQ4+…+∠Qk−1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk−1PQk和平面QkPQ1参考答案1.C

2.C

3.B

4.A

5.A

6.C

7.B

8.B

9.AB

10.ACD

11.BCD

12.71013.2114.615.(1)当a=−1时，可得z1=−1+2i，z−=2+i，则z1⋅z2−=(−1+2i)(2+i)=−4+3i；

(2)因为z1+z2=a+2+i为纯虚数，所以a+2=0，即a=−2；

(3)z116.(1)由题意可得sinA=1−cos2A=35，

由于S△ABC=12bcsinA=12⋅bc⋅35=2，解得bc=203，

可得AB⋅AC=cbcosA=203×45=163；17.(1)证明：因为AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，

所以AP⊥CD，

因为∠ADC=90°，所以AD⊥CD，

又AP∩AD=A，AP，AD⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，

因为CD⊂平面ABCD，

所以平面PAD⊥平面ABCD．

(2)取AD中点F，连接EF，BF，

因为AP⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AP⊥PD，

因为PA=PD=4，

所以AD=PA2+PD2=42，AF=22，

因为F为AD中点，E为AP中点，

所以EF//PD，

所以∠BEF(或其补角)为BE与PD所成的角，

又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，

所以EF//平面PCD，

又因为BE//平面PCD，EF∩BE=E，EF，BE⊂平面BEF，

所以平面BEF//平面PCD，

又平面BEF∩平面ABCD=BF，平面PCD∩平面ABCD=CD，

所以CD//BF，

又CD⊥平面PAD，所以BF⊥平面PAD，

因为EF⊂平面PAD，所以BF⊥EF，

则BF=AB2−A18.(1)由频率分布直方图可得(0.01+x+x+0.02+0.01)×10=1，解得x=0.03；

(2)所抽取的100名学生成绩的平均数为：

x−=(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=74；

由图可得前两组的频率为0.1+0.3=0.4<0.5，前三组为0.4+0.3=0.7>0.5，

所以中位数在[70,80)之间，设为a，

则0.4+(a−70)×0.03=0.5，解得a=2203；

(3)易得后三组学生人数分别为30，20，10，所以抽取人数分别3，2，1，

记成绩在[70,80)这组的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80,90)这组的2名学生分别为d，e，成绩在[90,100]这组的1名学生为f，

则从中任抽取3人的所有可能结果为(a,b,c)、(a,b,d)、(a,b,e)、(a,b,f)、(a,c,d)、(a,c,e)、(a,c,f)、

(a,d,e)、(a,d,f)、(a,e,f)、(b,c,d)、(b,c,e)、(b,c,f)、(b,d,e)、(b,d,f)、

(b,e,f)、(c,d,e)、(c,d,f)、(c,e,f)、(d,e,f)，共20种，

其中[70,80)至少有2人被抽到包含19.(1)若AC=BD，则菱形ABCD为正方形，

所以AB⊥AD，又AA1⊥平面ABCD，AA1=AB，

所以直四棱柱ABCD−A1B1C1D1为正方体，

所以在任意顶点处的离散曲率均为1−12π(π2+π2+π2)=14，

所以四棱柱ABCD−A1B1C1D1在任意三个顶点处的离散曲率的和为34；

(2)因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD．

又所以CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD，又AC∩CC1=C，

所以BD⊥平面ACC1，

设AC∩BD=O，则∠BC1O即为BC1与平面ACC1所成的角，

在△BC1O中，sin∠BC1O=OBBC1=64，

所以OB=64B